Sáng kiến kinh nghiệm Xây dựng công thức tính nhanh cho một số dạng toán thực tế lãi suất và tăng trưởng mũ trong đề thi trắc nghiệm toán THPT Quốc gia

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
 TRƯỜNG THPT NGA SƠN
 ---------------------------
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
 ĐỀ TÀI:
XÂY DỰNG CÔNG THỨC TÍNH NHANH CHO MỘT SỐ 
DẠNG TOÁN THỰC TẾ LÃI SUẤT VÀ TĂNG TRƯỞNG 
 MŨ TRONG ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM TOÁN 
 THPT QUỐC GIA
 Người thực hiện: Nguyễn Văn Vương
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
 THANH HÓA NĂM 2017
 1 I.MỞ ĐẦU
 1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
 Đất nước ta trên đường đổi mới cần có những con người phát triển toàn diện, 
năng động và sáng tạo. Muốn vậy phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào tạo, 
đòi hỏi sự nghiệp giáo dục và đào tạo phải đổi mới để đáp ứng nhu cầu xã hội. 
Đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo phụ thuộc vào nhiều yếu tố, trong đó một 
yếu tố quan trọng là đổi mới phương pháp dạy học, bao gồm cả phương pháp dạy 
học môn Toán. 
 Mục tiêu Giáo dục phổ thông đã chỉ: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải 
phát huy được tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với 
đặc điểm từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ 
năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, 
hứng thú học tập cho học sinh.”
 Trong những năm trước đây, bài toán lãi suất ngân hàng và tăng trưởng mũ 
chỉ xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính casio cấp tỉnh 
và khu vực dành cho học sinh các khối THCS và THPT. Năm 2017, khi bộ GD & 
ĐT quyết định áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho môn toán thì bài toán 
thực tế “lãi suất ngân hàng và tăng trưởng mũ” đã được coi là bài toán không thể 
thiếu trong đề thi THPT Quốc gia, minh chứng điều đó chúng ta đã thấy rất rõ 
trong các đề thi thử nghiệm của Bộ GD& ĐT. Sự đổi mới quyết đoán ấy đã làm 
thay đổi toàn bộ cấu trúc của đề thi môn Toán, với thời lượng 90 phút cho 50 câu 
trắc nghiệm thì yêu cầu đặt ra với học sinh không còn đơn thuần là tư duy chặt 
chẽ, logic, cẩn thận mà quan trọng hơn cả là sự linh hoạt, nhanh nhẹn, kĩ năng và 
thao tác tốc độ. Để thành công trong việc giải quyết tốt một đề thi trắc nghiệm 
Toán thì ngoài việc học sâu cần phải học rộng, nhớ nhiều, đặc biệt là phải biết 
xây dựng, xâu chuỗi công thức cho các dạng toán để rút ngắn thời gian làm bài. 
 Trong các đề thi thử nghiệm của Bộ, bài toán lãi suất và tăng trưởng mũ nằm ở 
mức độ kiến thức vận dụng và vận dụng cao, là bài toán dành cho học sinh khá, 
giỏi lấy điểm 8, 9, 10. Cái khó ở bài toán này được đa phần các thầy cô giáo khi 
giảng dạy đều nhận xét nó nằm ở ba yếu tố: yếu tố thứ nhất là đề bài dài, câu dẫn 
nhiễu gây khó hiểu; yếu tố thứ hai là sử dụng các tư duy quy nạp, cấp số, đây là 
những tư duy khó đối với học sinh phổ thông; yếu tố thứ ba, bài toán đòi hỏi sự 
biến đổi phức tạp dễ gây sai sót, nhầm lẫn trong tính toán cho học sinh. Đây là 
bài toán mới, được áp dụng vào thi cử năm đầu tiên, trên thị trường sách các tài 
liệu tham khảo còn ít, còn hạn chế cũng như chưa được đầu tư kĩ lưỡng về nội 
dung và hình thức. Việc có một tài liệu hoàn chỉnh, đầy đủ, phân chia các dạng 
toán khoa học luôn là một nhu cầu cấp thiết cho cả thầy cô và học sinh.
 2. MỤC ĐÍCH VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.
 - Mục đích nghiên cứu: giúp học sinh có một tài liệu học tập hoàn chỉnh, đầy 
 đủ, phân chia các dạng toán khoa học, thêm kiến thức giải quyết tốt các bài 
 toán thực tế lãi suất và tăng trưởng mũ.
 - Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài: “Xây dựng công thức tính nhanh cho một số dạng toán thực tế lãi suất 
và tăng trưởng mũ trong đề thi trắc nghiệm toán THPT Quốc gia ”. 
 3 sự thật đáng buồn, phần lớn các bạn học sinh khi ôn thi hay làm thử đề thi trắc 
nghiệm toán đều bỏ qua hoàn toàn bài toán thực tế lãi suất và tăng trưởng mũ 
hoặc chỉ khoanh “chùa” đáp án, trong khi bài toán này không phải bài toán quá 
khó, bài toán mấu chốt của đề . Bằng kinh nghiệm đã tích lũy được ở những năm 
học phổ thông và 5 năm giảng dạy Toán ở trường THPT Nga Sơn, dù là ít ỏi, 
nhưng tôi thấy rằng: Với những học sinh học được, thích học bài toán thực tế lãi 
suất và tăng trưởng mũ, khi gặp một bài toán khó các em luôn tư duy được ra lời 
giải và giải tới đáp số đúng nhưng lại mất một khoảng thời gian khá lâu, với thời 
lượng quy định chưa đến 2 phút cho một câu trắc nghiệm thì đó hiển nhiên sẽ là 
sự thất bại. Từ đó ta thấy rằng mấu chốt của vấn đề không còn nằm ở tư duy mà 
nằm hoàn toàn ở kĩ năng. Câu hỏi đặt ra là “ làm gì để khắc phục được điều bất 
cập trên. Nếu chúng ta vận dụng kiến thức đã có, tư duy, chia dạng, xây dựng và 
xâu chuỗi thành hệ thống công thức để nhớ thì liệu rằng có hiệu quả rút ngắn 
được thời gian làm bài và tạo cho học sinh sự hứng thú hơn khi gặp các bài toán 
dạng này trong đề thi không?”. Đó là mục đích đề tài “Xây dựng công thức tính 
nhanh cho một số dạng toán thực tế lãi suất và tăng trưởng mũ trong đề thi 
trắc nghiệm toán THPT Quốc gia ” mà tôi hướng đến. 
 3. GIẢI PHÁP
 3.1 Bài toán lãi đơn
 (Số tiền lãi tháng kế tiếp chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số 
 tiền lãi tháng trước đó do số tiền gốc sinh ra)
 3.1.1 Bài toán: Gửi vào ngân hàng số tiền M, lãi suất tháng r (hoặc kì hạn: 3 
 tháng (quý), 6 tháng, 1 năm,) , thời gian gửi n tháng (hoặc kì hạn). 
 Tính số tiền thu được T (cả vốn lẫn lãi)
 • Xây dựng công thức:
 + Số tiền thu được sau tháng 1: T1 M Mr M (1 r)
 + Số tiền thu được sau tháng 2: T2 T1 Mr M (1 r) Mr M (1 2Mr)
 + Số tiền thu được sau tháng n: Tn M (1 nr)
 • Kết luận
 * Số tiền thu được: T M (1 nr) (1)
 * Xác định các đại lượng trong công thức (1)
 T
 + Số tiền ban đầu: M (1a)
 1 nr
 T M
 + Lãi suất: r (1b)
 Mn
 T M
 + Thời gian gửi: n (1c)
 Mr
 3.1.2 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Một người gửi vào ngân hàng 50.000.000 đồng với lãi suất 0,9% /tháng 
theo hình thức lãi đơn. Tính số tiền người này thu được sau một năm (12 tháng)?
 A. 55.400.000 đ B. 55.675.484 đ C. 50.450.000 đ D. 50.550.000 đ
Giải:
 5 2
 + Số tiền thu được sau tháng 2: T2 T1 T1r M (1 r) M (1 r)r M (1 r)
 2 2 3
 + Số tiền thu được sau tháng 3: T3 T2 T2 r M (1 r) M (1 r) r M (1 r)
 n
 + Số tiền thu được sau tháng n: Tn M (1 r)
 • Kết luận
 * Số tiền thu được: T M (1 r) n (2)
 * Xác định các đại lượng trong công thức (2)
 T
 + Số tiền ban đầu: M (2a)
 (1 r) n
 T
 + Lãi suất: r n 1 (2b)
 M
 T
 + Thời gian gửi: n log (2c)
 1 r M
 3.2.2 Ví dụ minh họa 
Ví dụ 1: Bác Khánh gửi tiết kiệm vào ngân hàng 100.000.000 đồng theo hình 
thức lãi kép, lãi suất 0,7%/tháng. Tính cả vốn và lãi bác thu được sau 9 tháng?
 A. 106.300.000 đ B. 932.095.263 đ C. 106.479.312 đ D. 107.000.000 đ
Giải:
Theo công thức (2) số tiền bác Khánh thu được là: 
T M (1 r) n 100000000(1 0,7%)9 106479311,7 (đồng). Đáp án C
Ví dụ 2: Ông An gửi vào ngân hàng 50.000.000 đồng theo thể thức lãi kép với 
lãi suất 0,67%/tháng. Sau một thời gian ông An rút về cả vốn lẫn lãi được 
55.267.654 đồng. Hỏi ông An đã gửi ngân hàng bao lâu?
 A. 16 tháng B. 1 năm C. 15 tháng D. 1 năm rưỡi
Giải:
Theo công thức (2c) thời gian ông An gửi là:
 T 55267654
n log log 15 (tháng). Đáp án C
 1 r M 1 0,67% 50000000
Ví dụ 3: Một người gửi vào ngân hàng số tiền 60.000.000 đồng theo thể thức lãi 
kép, sau 2 năm người này rút về được 70.094.179 đồng cả vốn lẫn lãi. Hỏi lãi suất 
hàng tháng người này gửi là bao nhiêu?
 A. 0,7% B. 8% C. 1,1% D. 0,65%
Giải 
2 năm tương ứng 24 tháng. Theo công thức (2b) lãi suất hàng tháng là:
 T 70094179
r n 1 24 1 0,65% . Đáp án D
 M 60000000
Ví dụ 4: Anh Bình gửi 25.000.000 vào ngân hàng theo thể thức lãi kép trong thời 
gian 10 năm với lãi suất 5%/năm. Hỏi rằng người đó nhận được số tiền nhiều hơn 
hay ít hơn bao nhiêu nếu ngân hàng trả lãi suất 0,42%/tháng?
 A. Ít hơn 617.213 đồng B. Nhiều hơn 617.213 đồng
 C. Bằng nhau D. Nhiều hơn 712.100 đồng
Giải: 
Số tiền anh Bình có được (cả vốn lẫn lãi) sau 10 năm với lãi suất 5%/năm là:
 7 f '(r) 600.106 (1 r)3 636.106 (1 r) 2 0 r 6%
Lập bảng biến thiên ta được f (r) nhỏ nhất khi r 6% . Đáp án D
Ví dụ 8: Bạn An thanh toán tiền mua xe bằng các kì khoản năm: 5.000.000 đồng, 
10.000.000 đồng, 15.000.000 đồng, 20.000.000 đồng và 25.000.000 đồng. Kì 
khoản đầu thanh toán 1 năm sau ngày mua, với lãi suất áp dụng là 6%. Hỏi chiếc 
xe bạn An mua giá bao nhiêu tiền?
 A. 60.734.562 đồng B. 61.212.350 đồng
 B. 93.106.419 đông D. 94.202.419 đồng
Giải:
 T
Theo công thức (2a): M , ta có giá trị chiếc xe là:
 (1 r) n
 5.106 10.106 15.106 20.106 25.106
A 60734562 . Đáp án A
 (1 6%)1 (1 6%) 2 (1 6%)3 (1 6%) 4 (1 6%)5
Ví dụ 9: Một người gửi tiết kiệm 100.000.000 đồng vào ngân hàng. Có 4 hình 
thức kì hạn gửi: 1 tháng, 3 tháng, 6 tháng, 1 năm, biết lãi suất được trả cho cả 4 
hình thức là như nhau và lãi suất là 0,65%/tháng. Hỏi người đó nên gửi theo hình 
thức nào để sau 10 năm thu được số tiền nhiều nhất?
 A. Kì hạn 1 tháng B. Kì hạn 3 tháng
 C. Kì hạn 6 tháng D. Kì hạn 1 năm
Giải:
+ Số tiền người đó thu được theo kì hạn 1 tháng sau 10 năm (120 tháng) là:
T M (1 r) n 100000000(1 0,65%)120 217597302 đồng
+ Theo kì hạn 3 tháng thì lãi suất là: 0,65%.3 1,95%
 10.12
Người đó đã gửi 10 năm tương ứng 40 kì hạn
 3
 Số tiền người đó thu được theo kì hạn 3 tháng sau 10 năm là:
T M (1 r) n 100000000(1 1,95%) 40 216515606 đồng
+ Theo kì hạn 6 tháng thì lãi suất là: 0,65%.6 3,9%
 10.12
Người đó đã gửi 10 năm tương ứng 20 kì hạn
 6
 Số tiền người đó thu được theo kì hạn 6 tháng sau 10 năm là:
T M (1 r) n 100000000(1 3,9%) 20 214936885 đồng
+ Theo kì hạn 1 năm thì lãi suất là: 0,65%.12 7,8%
 Số tiền người đó thu được theo kì hạn 1 năm sau 10 năm là:
T M (1 r) n 100000000(1 7,8%)10 211927643 đồng
Vậy số tiền thu được theo kì hạn 1 tháng là nhiều nhất. Đáp án A
Chú ý:
 - Nếu bài toán gửi tiền theo kì hạn n tháng mà cho lãi suất r /tháng thì lãi 
 suất theo kì hạn là nr /kì.
 - Nếu bài toán gửi tiền theo kì hạn n tháng mà cho lãi suất r /năm thì lãi 
 suất theo kì hạn là nr /kì. 
 12
 3.3 Bài toán lãi kép dành cho gửi tiền hàng tháng.
 9