Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng phương pháp vectơ giải quyết các bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian

 MỤC LỤC
I. MỞ ĐẦU 
 1. Lí do chọn đề tài..................................................................... Trang 1
 2. Mục đích nghiên cứu.............................................................. Trang 1
 3. Đối tượng nghiên cứu............................................................. Trang 1
 4. Phương pháp nghiên cứu....................................................... Trang 1
 II. NỘI DUNG 
 1. Cơ sở lý luận
 1.1. Kiến thức véc tơ........................................................... Trang 2
 1.2. Kiến thức về hình học không gian............................... Trang 2
 2. Thực trạng........ ..................................................................... Trang 3
 3. Nội dung phương pháp và vận dụng..
 3.1. Nội dung phương pháp................................................ Trang 3
 3.2. Các bài toán................................................................. Trang 4
 3.2.1. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau .......... Trang 4
 3.2.2. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng.............. Trang 12
 3.3. Bài tập và đáp số.
 3.3.1. Bài tập tự luyện............................................................ Trang 15
 3.3.2. Đáp số Trang 16
 4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm................................... Trang 16
 III. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT ....................................................... Trang 18
 1. Kết luận . Trang 18
 2. Đề xuất Trang 18 II. Nội dung sáng kiến.
 1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
 Để sử dụng tốt phương pháp véc tơ vào việc giải quyết các bài toán khoảng 
cách học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản của vectơ lớp 10 và kiến thức 
hình học không gian phần quan hệ vuông góc lớp 11. Cụ thể như sau:
 1.1. Kiến thức vectơ.
 Trong chương trình lớp 10 học sinh được học về vectơ. Qua đó, học sinh đã 
nắm được các yếu tố sau:
 - Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng, hai vectơ bằng nhau, vectơ không.
 - Tổng và hiệu của 2 véctơ, tích của một số với một vectơ.
 - Tính chất trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác:
    
 + Nếu I là trung điểm của AB, M là điểm bất kỳ : MA MB 2.MI 
 + Nếu G là trọng tâm tam giác ABC, M là điểm bất kỳ : 
     
 MA MB MC 3MG   
 - Điều kiện để A,B,C thẳng hàng : AB kAC (k ≠ 0).
 - Phân tích một vectơ qua hai vectơ không cùng phương.
 Đến chương trình lớp 11, học sinh được học thêm các tính chất của vectơ và 
các mối quan hệ giữa đường thẳng, mặt phẳng, góc trong không gian.
 - Khái niệm góc giữa hai vectơ,mối quan hệ về góc giữa hai vectơ chỉ
 phương và góc giữa hai đường thẳng.
 - Tích vô hướng của 2 véctơ: a.b a b .cos a;b 
 - Điều kiện 3 vectơ đồng phẳng.
 Định lý Trong không gian cho ba vectơ không đồng phẳng a;b;c . Khi đó,
với mọi vectơ x ta đều tìm được bộ ba số m, n, p sao cho : x ma nb pc . 
Ngoài ra bộ 3 số m, n, p là duy nhất.
 1.2. Kiến thức về hình học không gian.
 Học sinh cần nắm chắc các định nghĩa và định lý, nội dung quan trọng của 
hình học không gian :
 - Đường thẳng vuông góc đường thẳng, đường thẳng vuông góc mặt phẳng, 
góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc, khoảng cách từ 
điểm đến mặt phẳng, đường thẳng; khoảng cách giữa đường thẳng với mặt 
phẳng song song; khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song; khoảng cách giữa 
hai đường thẳng chéo nhau,.
 Định nghĩa: 
 a) Đường thẳng ∆ cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc với 
mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b.
 b) Nếu đường vuông góc chung ∆ cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần 
lượt tại M, N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng 
chéo nhau a và b.
 Tính chất: 
 a) Khoảng cách từ một đường thẳng a đi qua A và song song với (P).
 2 - Các vectơ cơ sở khi chọn phải tính được tích vô hướng, khi chọn ưu tiên 
chọn các cặp vectơ khi nhân vô hướng lại bằng 0 nhằm đơn giản bài toán.
 - Phiên dịch chính xác ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ vectơ.
 Bước 2 Giả sử ta đang cần tìm khoảng cách giữa hai đường chéo nhau AB, 
CD.
 - Gọi M, N là 2 điểm nằm trên 2 đường thẳng chéo nhau AB, CD. Biểu biễn
các vectơ MN;AB;CD qua hệ vectơ cơ sở.
   
 AM xAB
 - M, N lần lượt thuộc AB, CD   
 CN yCD
 - Sử dụng tính chất tìm điều kiện để MN là đoạn vuông góc chung của AB, 
CD. Từ đó tìm x, y.
 Bước 3. Chuyển các kết luận vectơ sang các tình chất hình học không gian 
tương ứng.
 3.2. Các bài toán.
 3.2.1. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
 Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu 
vuông góc của S trên măt phẳng (ABC) là H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2 
HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối 
chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a. 
(Trích đề thi tuyển sinh Đại học môn toán khối A, A1 năm 2012.)
 Lời giải
 *Tính thể tích hình chóp: S
Sử dụng định lí cosin trong tam giác AHC
 HC2 AH2 AC2 2.AH.AC.cos600
 M
 2
 4a 2a 1 7a2
 HC2 a2 2. . 
 9 3 2 9
 a 7
 HC C
 3 A
Mặt khác HC là hình chiếu của SC lên mặt 
phẳng (ABC) nên góc giữa SC và mặt phẳng 
 H N
(ABC) là S· HC 600 
 B
 a 21
 SH HC.tan 600 
 3
 1 a 21 a2 3 a3 7
 V . . 
 S.ABC 3 3 4 12
Cách 1 Sử dụng phương pháp hình học không gian thuần túy.
Kẻ Ax song song BC. Goị N, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên Ax, 
SN. Ta có: 
 BC / / SAN 
 3
 3 d SA;BC d B;(SAN) d H; SAN 
 BA HA 2 
 2
 4 Thế vào (1) ta được: 
  7 7 3 
 MN a b c
 16 8 16
  2
 7 7 3 a 42 
 MN a b c 
 16 8 16 8
 Vậy khoảng cách giữa SA và BC là MN.
 Nhận xét:Trong những bài toán có câu thể tích, tôi không khuyến khích dùng 
phương pháp vectơ vì đa số các câu thể tích có thể giải quyết ngay bằng phương 
pháp hình học thông thường. Nhưng đối với nội dung khoảng cách giữa hai 
đường thẳng chéo nhau nếu giải quyết bài toán theo phương pháp hình học 
thuần túy cần dựng thêm hình, đây là một việc khá khó khăn đối với học sinh 
khá . Khi đó, phương pháp vectơ đã giải quyết rất hiệu quả, ta còn xác định được 
chính xác vị trí của 2 điểm M, N.
 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc 
với (ABCD), SC tạo với đáy một góc 450 . Tính theo a thể tích khối chóp 
S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB.(Trích đề thi THPT 
quốc gia 2015)
 Lời giải S
*Tính thể tích của khối chóp
Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là:
 · 0
 SCA 45 
 SA AC a 2 H
Vậy thể tích của khối chóp là : A
 1 1 a3 2 D
 V B.h .a2 .a 2 
 3 3 3 M
*Tính khoảng cách giữa AC và SB.
Cách 1: Phương pháp hình học C B
không gian thuần túy.
Qua A kẻ đường thẳng d song song với AC. Gọi M là hình chiếu của S trên d, H 
là hình chiếu của A trên SM.
 AM  BM
 SAM  BM
Ta có: SA  BM 
 AH  BM
Mặt khác: AH  SM 
 AH  SBM 
Ta có: d AC;SB d AC; SMB d A; SMB AH 
Trong tam giác ABM vuông tại M, A· BM 450 
 a 2
 AB BM AM 
 2
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông ABM có:
 6 Nhận xét Đối với bài toán này, việc kẻ thêm đường thẳng qua A và song song 
với AC không hề dễ dàng đối với học sinh khá trở xuống. Trong bài toán này 
mọi giả thiết đều rất phù hợp để ta lựa chọn phương pháp vectơ , với phương 
pháp này học sinh dễ dàng giải quyết bài toán.
 Ví dụ 3 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’. Cạnh đáy có độ dài là 
a, biết góc giữa 2 đường thẳng AB’ và BC’ là 60 0 . Tính khoảng cách giữa 2 
đường thẳng AB’ và BC’ theo a.
 Lời giải    
Chọn hệ vectơ cơ sở là: AB a;AC b;AA' c . B C
 a.b 0;b.c 0; a b a
Khi đó: 
 a2
 a.b A
 2 H
   
 - Biểu diễn AB';BC' qua hệ vectơ cơ sở: K
    
 AB' AA' A'B' a c
    B' C'
 BC' BB' B'C' a b c
   
 - Dựa vào góc giữa 2 vectơ AB';BC' 
   2  a2 A'
 AB'.BC' a c a b c a a.b c2 c2
 2
  
 AB' a2 c2
  2 
 BC' a b c a2 b2 c2 2a.b a2 c2 
 a2
     c2 
 AB'.BC ' 2 1
 cos AB';BC' cos AB';BC'   
 2 2
 AB' BC ' a c 2
 c a 2; c=0 (loai)
Vậy AA’ = a 2 hay c a 2 
*Tính khoảng cách giữa AB’ và BC’
   
 AH xAB' x a c
- Lấy điểm H AB';K BC' sao cho :   
 BK yBC' y a b c
     
 HK HA AB BK x a c a y a b c x y 1 a yb y x c 1 
   
 HK.AB' 0
Để HK là đoạn vuông góc chung của AB’ và BC’ thì:   
 HK.BC' 0
 2
 2 2 a
 x y 1 a2 y. y x 2a2 0
 x y 1 a a.b.y y x c 0 
 2
 2 2 2 2
 2 2 2 a
 x y 1 a yb y x c x 2y 1 a.b 0 x y 1 a ya y x 2a x 2y 1 0
 2
 8 1
 d MN;AC d MN; SAC d N; SAC d B; SAC 
 2 
 a 2
 d MN;AC 
 4
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC là a 2 
 4
*Cách 2: Phương pháp vectơ
Gọi I thuộc MN, H thuộc AC sao cho:
   3 x   
 MI xMN xa c;AH yAC 2ya 
 2 2
Khi đó:
     x 1 1 1 1 
 IH IM MA AH 3a c b c 2ya 3x 4y a b x 1 c 
 2 2 2 2 2
   
 IH.MN 0
Để IH là đoạn vuông góc chung của AC và MN thì :   
 IH.AC
 3 2 1 2 3 a2 1
 3x 4y a x 1 c 0 3x 4y x 1 a2 0 x 1
 4 4 4 2 4 
 y 3 / 4
 3x 4y 0 3x 4y 0
  1 
 IM b
 2
  a 2
 IM IM 
 4
 a 2
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là IM 
 4
 3
 Nhận xét Ta thấy x = 1 nghĩa là I  N ; y nghĩa là H là trung điểm của 
 4
OC. Dễ dàng thấy được đoạn vuông góc chung của AC và MN là HN. Trong 
bài toán này, xuất hiện yêu cầu chứng minh vuông góc với mục đích để học sinh 
thấy rõ lợi thế của phương pháp vectơ.
 Ví dụ 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,
SA = a, SB a 3 và SAB  ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, 
BC. Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN và khoảng cách giữa SM 
và DN.
 Lời giải
Ta có: SA2 SB2 AB2 
 Tam giác SAB là tam giác vuông tại S.
ÁP dụng hệ thức lượng trong tam giác SAB:
 SA2 a 3
 AH a ; AH 
 AB 2
 10