Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng kiến thức cơ bản giải nhanh một số bài toán trắc nghiệm số phức hay và khó luyện thi THPT Quốc gia 2017

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
 TRƯỜNG THPT NGUYỄN XUÂN NGUYÊN
 --------------------------------------------------
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 VẬN DỤNG KIẾN THỨC CƠ BẢN GIẢI NHANH
MỘT SỐ BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM SỐ PHỨC HAY 
 VÀ KHÓ LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017 
 Người thực hiện: Nguyễn Danh Thanh
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN môn: Toán
 THANH HOÁ, NĂM 2017 I. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài1
 Trong lộ trình đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo chúng ta đã 
và đang dịch chuyển giáo dục và đào tạo đáp ứng nhu cầu của người học và của 
xã hội; đề cao việc học sinh biết vận dụng những kiến thức được học vào giải 
quyết các vấn đề thực tiễn.
 Năm học 2016- 2017, là năm học đầu tiên thực hiện bước đột phá trong 
đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục đó là: đổi mới căn bản hình thức và phương 
pháp thi, kiểm tra và đánh giá kết quả giáo dục, đào tạo, bảo đảm trung thực, 
khách quan. Kì thi THPT Quốc gia 2017 có 7 môn thi trắc nghiệm khách qua, 
trong đó có môn Toán với 50 câu trắc nghiệm mõi câu có 4 phương án lựa chọn 
A- B- C- D, thời gian làm bài là 90 phút, áp lực về thời gian là rất cao, tuy nội 
dung đề thi đa phần nằm trong chương trình lớp 12, những học sinh sử dụng kết 
quả môn Toán để xét Đại học- Cao đẳng cần phải làm được câu hỏi ở mức độ 
vận dụng, trong đó có câu khó về số phức. Đây là một trong những câu hỏi 
tương đối khó. Để làm được câu hỏi này đòi hỏi học sinh ngoài việc nắm vững 
kiến thức cơ bản, luyện tập nhiều còn phải biết vận dụng kiến thức hình học 
phẳng đã được học ở lớp 10. Là một giáo viên thường xuyên dạy các mũi nhọn 
ôn thi tự nhiên định hướng Đại học, đối tượng học sinh chủ yếu là học sinh khá, 
giỏi. Nhiệm vụ trọng tâm là giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản và nghiên 
cứu sâu một số nội dung trong chương trình học để phát triển tư duy và đặc biệt 
là nguồn tham gia các kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán cũng như đạt điểm 
cao trong kì thi Quốc gia THPT.
 Từ thực tiễn giảng dạy và bồi dưỡng học sinh ôn thi đại học nhiều năm, 
cùng với kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy học sinh khối 12 ôn thi THPT 
Quốc gia năm học 2016- 2017, Tác giả nhận thấy hiện tại chưa có các tài liệu 
nào bàn sâu vào vấn đề này, đồng nghiệp, nhà trường chưa có kinh nghiệm để 
giải quyết khắc phục. 
 Do đó, việc nghiên cứu, khai thác, vận dụng các kiến thức cơ bản để giúp 
học sinh giải quyết các bài toán trắc nghiệm hay và khó về số phức để học sinh 
đạt điểm cao trong kì thi THPT Quốc gia 2017 là cấp thiết. 
 Tên đề tài: ‘‘Vận dụng kiến thức cơ bản giải nhanh một số bài toán trắc 
nghiệm số phức hay và khó luyện thi THPT Quốc gia 2017 ”.
1 Trong mục này tác giả tham khảo TLTK số 1
 2 quay 90 độ. Ví dụ như để mô tả điện xoay chiều (là thứ điện ta dùng chủ yếu ngày 
nay) hay một số thứ trong mạng điện nói chung, người ta có thể dùng số phức.
 Nội dung của đề tài đáp ứng một phần rất nhỏ trong chương trình, song tác 
giả nhận thấy rằng mỗi bài toán là một ý tưởng vận dụng kiến thức cơ bản tổng 
hợp. Vậy tác giả mong muốn các đồng nghiệp và học sinh ngày càng vận dụng 
được kiến thức cơ bản và tính chất để hình thành ý tưởng ra đề thi hay cũng như 
trong dạy và học Toán nói chung, dạy và học chương số phức nói riêng tốt nhất.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm4
 Chương số phức nằm cuối chương trình giải tích lớp 12, tuy nội dung mới 
đối với học sinh song kiến thức cơ bản không không nhiều và không khó. Lâu 
nay giáo viên và học sinh không mấy quan tâm vì cho là dễ. Trong những kì thi 
Đại học cũng như THPT Quốc gia từ năm 2016 trở về trước thì số lượng câu hỏi 
và điểm chiếm khoảng 10% nhưng chủ yếu ở mức độ thông hiểu và vận dụng 
thấp; đồng thời kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh cũng không ra vào phần số phức nên 
nhiều giáo viên không chú tâm khai thác những bài toán về số phức ở mức độ 
vận dụng cao. Tuy nhiên, trong 3 lần ra đề minh họa và thử nghiệm Bộ Giáo dục 
và Đào tạo thường có 1 đến 2 câu số phức ở mức độ vận dụng cao khiến học 
sinh và giáo viên lúng túng. 
 Kì thi THPT Quốc gia 2017, với hình thức thi trắc nghiệm và đề minh họa 
của Bộ có câu hỏi khó về số phức nên giáo viên và học cũng đã quan tâm hơn song 
lại không có tài liệu nghiên cứu sâu về vấn đề này, từ thực tiễn dạy học tác giả cũng 
gặp phải khó khăn đó nên đã nghiên cứu đúc rút thành bài học kinh nghiệm. 
2.3. Vận dụng kiến thức cơ bản giải một số bài toán trắc nghiệm số phức 
hay và khó luyện thi THPT Quốc gia 2017.
2.3.1. Các khái niệm [ 2]
a) Định nghĩa số phức
 - Mỗi biểu thức dạng a bi , trong đó a, b ¡ , i2 1 được gọi là một số phức
 - Đối với số phức z a bi , ta nói a là phần thực, blà phần ảo của z .
 - Tập hợp các số phức kí hiệu là £ .
 Chú ý:
 + Mỗi số thực a là một số phức với phần ảo bằng 0: a a 0i , ta có ¡  £ .
 a 0
 + Số phức a bi với a,b ¡ được gọi là số thuần ảo 
 b 0
4 Mục 2.2 là của tác giả, muc 2.3.1 tác giả tham khảo tại TLTK số 2
 4 2.3.3. Các tính chất của số phức 6
 Cho số phức z a bi ,a,b ¡ ,i2 1
 - Tính chất 1: Số phức z là số thực z z
 - Tính chất 2: Số phức z là số ảo z z
 Cho hai số phức z1 a1 b1i; z2 a2 b2i; a1,b1,a2 ,b2 ¡ ta có:
 - Tính chất 3: z1 z2 z1 z2
 - Tính chất 4: z1.z2 z1.z2
 z1 z1
 - Tính chất 5: ; z2 0
 z2 z2
 - Tính chất 6: | z1.z2 | | z1 |.| z2 |
 z1 | z1 |
 - Tính chất 7: ; z2 0
 z2 | z2 |
 - Tính chất 8: | z1 z2 | | z1 | | z2 |
 2 2 2 2
 - Tính chất 9: z1 z2 z1 z2 2 z1 2 z2 
2.3.4. Giải phương trình bậc hai trên tập số phức
a) Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
 Xét phương trình bậc hai: az2 bz c 0 (a 0) có b 2 4ac
 - TH1: a, b, c là các số thực
 b 
 + Nếu 0 thì phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt z 
 2a
 b
 + Nếu 0 thì phương trình có nghiệm kép thực z 
 2a
 b i 
 + Nếu 0 thì phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt z 
 2a
 - TH2: a, b, c là các số phức
 b
 + Nếu 0 thì phương trình có nghiệm kép thực z 
 2a
 + Nếu 0; a bi (x iy)2
 b (x yi)
 Khi đó phương trình có hai nghiệm z 
 2a
 Chú ý: Khi b là số chẵn ta có thể tính ' và công thức nghiệm tương tự như 
trong tập hợp số thực.
6 Mục 2.3.3. và 2.3.4. tác giả tham khảo tại TLTK số 2 và tổng hợp từ kinh nghiệm dạy học nhiều năm
 6 Ví dụ 3. Tập hợp các số phức w 1 i z 1 với z là số phức thỏa mãn 
 z 1 1 là hình tròn. Tính diện tích hình tròn đó.
 A. 4 B. 2 C. 3 D. [5]
HD: Đáp án B
 Ta có: (1 i)z (1 i) 1 i 2
 Đặt w x yi w 1 i z 1 w - 2 - i 1 i z (1 i)
 w 2 i 1 i z (1 i) 2 R 2 S R2 2 
Bài toán 2. 8
 Cho số phức z thỏa mãn | z a bi | z c di k 0 . Tìm tập hợp 
điểm biểu diễn số phức z và tìm M, n lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 
 z p qi .
 Phương pháp giải: 
Gọi z x yi x, y ¡ . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy gọi M x; y là điểm biểu 
diễn của số phức z. Gọi A a;b ,B c;d thì
| z a bi | z c di k (x a)2 (y b)2 (x c)2 (y d)2 k
 MA MB k và MA MB AB
Mặt khác: Gọi I( p;q) thì z p qi (z p)2 (z q)2 MI
 TH1: Nếu AB k thì không tồn tại M, suy ra không tồn tại z nên không 
tồn tại M, n. 
 TH1: Nếu AB k thì tập hợp điểm biểu diễn z là đoạn thẳng AB . Khi đó 
suy ra M, n.
 TH1: Nếu AB k thì tập hợp điểm biểu diễn z là một Elip nhận A,B 
làm 2 tiêu điểm. Từ đó suy ra M, n.
 Nhận xét: sử dụng phương pháp trên đòi hỏi học sinh phải nắm vững một 
số kiến thức hình học phẳng và hình tọa độ trong mặt phẳng.
Ví dụ 4. Xét số phức z thỏa mãn z 2 i z 4 7i 6 2. Gọi m, M lần 
lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z 1 i . Tính P m M. 
 5 2 2 73
 A. P 13 73. B. P .
 2
 5 2 73
 C. P 5 2 73. D. P . [4]
 2
8 Ví dụ 3 từ TLTK số 5, phương pháp giải nhanh và bài toán 2 là của tác giả, ví dụ 4 từ tài liệu tham khảo số 4
 8 Bài toán 3. 10
 Cho số phức z thỏa mãn | z a bi | z c di . Tìm số phức 
 w z p qi có môdun nhỏ nhất. .
 Phương pháp giải: 
Gọi z x yi x, y ¡ . Ta có: 
 | z a bi | z c di (x a)2 (y b)2 (x c)2 (y d)2
 Ax By C 0
 Rút y theo x rồi thế vào môdun của w ta tìm được z
Ví dụ 6. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện | z 1 2i | | z i |, tìm số phức 
có môdun nhỏ nhất.
 1 3 3 1 2 16 16 2
 A. z i B. z i C. z i D. z i [5]
 5 5 5 5 5 5 5 5
HD: Đáp án A
Gọi z a bi, a,b R . 
Ta có z 1 2i z i a 1 b 2 i a b i i 
 a 1 2 b 2 2 a2 b 1 2 2a 6b 4 a 3b 2 
 2
 2 2 2 2 2 3 2 10
 z a b 3b 2 b 10b 12b 4 10 b 
 5 5 5
 3 1 1 3
Dấu “ ” xảy ra b a . Vậy z i. 
 5 5 5 5
Ví dụ 7. Cho các số phức z, w thỏa mãn z 2 2i z 4i , w iz 1. Giá trị 
nhỏ nhất của w là: 
 2 3 2
 A. B. 2C. D. 2 2 [5]
 2 2
HD: Đáp án A
Đặt z a bi a,b ¡ , khi đó z 2 2i a 2 b 2 i và z 4i a b 4 i 
Nên ta có a 2 2 b 2 2 a 2 b 4 2 a b 2 b 2 a 
Khi đó w iz 1 a bi i 1 1 b ai w a 2 b 1 2 a 2 a 1 2 
 2
 2 2 2 1 1 1 1 2 2
Dễ thấy a a 1 2a 2a 1 2 a w min w 
 2 2 2 2 2 2
10 Ví dụ 6, ví dụ 7 tác giả tham khảo tại TLTK số 05. Bài toán 3 và phương pháp giải nhanh là của tác giả.
 10 z z 1 2
 1 2 2 2 2
Áp dụng (*) với z1 z2 2 1 1 3 1 z1 z2 1 
 z1 z 2 3
 1 1 1 1 z z 1
Mặt khác P z z z z . z z 1 2 
 3 1 3 2 3 1 2 3 1 2 3 3
12Bài toán 5. 
 Vận dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai nghiệm phức.
 Phương pháp giải: 
 - Phương trình bậc hai az2 bz c 0 (a 0) trên tập hợp số phức với hệ số 
thực luôn có 2 nghiệm là 2 số phức liên hợp.
 2
 - Gọi z1, z2 là 2 nghiệm của phương trình az bz c 0 (a 0) a, b, c là các 
 b
 z z 
 1 2 a
số thực hoăc số phức. Khi đó ta có: 
 c
 z .z 
 1 2 a
 z
Ví dụ 11. Cho số phức z thỏa mãn z không phải là số thực và w là số 
 2 z2
thực. Giá trị lớn nhất của biểu thức M z 1 i là:
 A. 2.B. 2 2. C. 2. D. 8. [5]
HD: Đáp án B
 z
Ta có: w wz2 z 2w 0
 2 z2
Phương trình (1) có hai nghiệm là hai số phức liên hợp z, z nên:
 2 c
 z z.z 2 z 2 . w z 1 i z w 1 i w 1 i 2.
 a
Do đó tập hợp biểu diễn w là đường tròn tâm I(1; 1) , bán kính R 2. 
 w 2 12 12 2 2
 max
 z
Ví dụ 12. Cho số phức z 0 sao cho z không phải là số thực và w là 
 1 z2
 z
số thực. Tính .
 1 z 2
 1 1 1
 A. B. C. 2 D. [5]
 5 2 3
12 Bài toán 5 là của tác giả, các ví dụ 11, 12 tác giả tham khảo tại TLTK số 05, PP giải nhanh là của tác giả
 12