Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và tính thể tích vật thể

 MỤC LỤC 
 Trang 
1. Lời giới thiệu  2 
2.Tên sáng kiến.  3 
3.Tác giả sáng kiến...  3 
4.Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến...  3 
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến..  3 
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu..  3 
7. Mô tả bản chất của sáng kiến ..  3 
                                                         NỘI DUNG 5 
Phần 1. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng.....  5 
 Dạng 1..............................................................................................................  5 
 Dạng 2..............................................................................................  6 
Phần 2. Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể........................................................  10 
 Dạng 1..............................................................................................................  10 
 Dạng 2..............................................................................................................  11 
           Loại 1.....................................................................................................  11 
           Loại 2.....................................................................................................  13 
           Loại 3.....................................................................................................  15 
           Loại 4.............................................................................................  17 
8. Những thông tin cần được bảo mật..  21 
9. Những điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến.  21 
10. Đánh giá lợi ích thu được..  21 
11. Danh sách những tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng thử.  21 
 1 
   sơ sài. Trên các diễn đàn thì tài liệu nhiều vô kể nhưng cũng gây hoang mang cho học 
sinh vì không biết nên tham khảo tài liệu nào hay bỏ tài liệu nào, chưa kể các tài liệu viết 
rất lan man, nhiều bài toán thậm chí còn đánh đố học sinh. Nhận thức được vấn đề đó nên 
tôi viết đề tài “ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ 
TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ ” nhằm giúp cho các em học sinh lớp 12 có một tài liệu 
tham khảo cô đọng nhất, lượng bài tập từ dễ đến khó và đầy đủ các dạng. Từ đó giúp học 
sinh phát huy tốt kiến thức, kỹ năng tính diện tích, thể tích. Học sinh thấy được những 
ứng dụng của tích phân trong thực tiễn, khi đó học sinh sẽ cảm thấy hứng thú, thiết thực 
và học tốt vấn đề ứng dụng của tích phân, gặp bài toán thực tế các em sẽ không còn cảm 
giác không làm được nữa, mà sẽ giải quyết được bài toán đó rất nhanh gọn. 
2. Tên sáng kiến 
    “Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và tính thể tích vật thể” 
3. Tác giả sáng kiến 
   - Họ và tên: Tô Ngọc Dũng 
   - Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Viết Xuân – Huyện Vĩnh Tường –  
Tỉnh Vĩnh Phúc. 
  - Số điện thoại: 0976378504 
  - Email: dung.thpt.nvx@gmail.com 
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến 
  - Họ và tên: Tô Ngọc Dũng 
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến 
  - Nghiên cứu giảng dạy môn Toán lớp 12 trong trường THPT. 
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử 
Từ tháng 09 năm 2018 đến tháng 02 năm 2019 
7. Mô tả bản chất của sáng kiến: 
- Để giúp các em học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học của tích phân. Ứng dụng tích phân 
trong các bài toán thực tế về diện tích hình phẳng và thể tích vật thể. 
 3 
  NỘI DUNG 
Phần 1. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 
Dạng 1. Nếu hàm số y f ( x ) liên tục trên đoạn a;b thì diện tích S của hình phẳng 
giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f ( x ), trục hoành và hai đường thẳng x a,x b là: 
 b
S f x dx . 
 a
Bài 1: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số 
y x3 1, trục hoành Ox, trục tung và đường thẳng  x 2 . 
Giải: 
Diện tích S của hình phẳng cần tìm là 
 2 1 2 3 11 7
S x3 1 dx x 3 1 dx x 3 1 dx  
 0 0 1 4 4 2
Chú ý:  Nếu phương trình  f(x) = 0 có  k nghiệm phân biệt  x1 , x2 , , xk  thuộc  
(a ; b) thì trên mỗi khoảng (a ; x1 ), (x1 ; x2), , (xk ; b) biểu thức f(x) có dấu không đổi.  
 b
Khi đó để tính tích phân  S f (x) dx  ta có thể tính như sau: 
 a
 b x1 x2 b
 S f (x) dx f (x)dx f (x)dx ... f (x)dx . 
 a a x1 xk
Bài 2. Cho hàm số  y x3 3x 2 2 có đồ thị (C ). Tính diện tích của hình phẳng giới 
hạn bởi đồ thị (C ), trục hoành, trục tung và đường thẳng  x 2  . 
 y
 4
 f x = x3-3x2 +2
 A 2 x
 -2 -1 O 1 B 3
 (C)
 Hình 3 
 5 
  x 0
Phương trình hoành độ giao điểm:  x3 x x x 2 x 3 x 2 2 x 0 x 1  
 x 2
Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là  
 1 0 1
   S x3 x 2 2 xdx x 3 x 2 2 xdx x 3 x 2 2 xdx  
 2 2 0
 0 1 8 5 37
     x3 x 2 2 x dx x 3 x 2 2 x dx . 
 2 0 3 12 12
Bài 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số  y x1 x 2 , đường thẳng 
y 0  và đường thẳng  x 1. 
Giải: 
 x 0
Phương trình hoành độ giao điểm:  x1 x2 0 x 0 . 
 2
 1 x 0
 1 1 2 2 1
Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm: S x1 x2 dx x 1 x 2 dx . 
 3
 0 0
 x
Bài 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ): y 3x 2 4  và đường thẳng  
 4
y = x  (đồ thị như hình vẽ). 
 y
 4
 3
 2
 1
 O x
 -3 -2 -1 1 2 3 4
 -1
 d -2
 (C)
 -3
Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là :  
x 2 1 2 x 0 x 0 x 0
 3x 4 x x( 3x 4 1) 4 2 2  
4 4 3x 4 16 x 4 x 2
 7 
 Hình 7 
Ta có mô hình cổng đồng trong mặt phẳng tọa độ như hình vẽ trên. Diện tích cổng đồng 
gồm diện tích hình chữ nhật và diện tích phần giới hạn bởi parabol  P  và trục hoành. 
Từ tọa độ 3 điểm thuộc parabol  P  ta tìm được phương trình của parabol  P  là:
 2,5
 22 1 22 1 5 15 55 2
 P : y x S x dx 5.1,5    m  
 25 2 2,5 25 2 3 2 6
 55
Vậy số tiền ông Hùng cần trả để làm cổng đồng là:  .7000000 64170000  (đồng) 
 6
Bài 10. Người ta trồng hoa vào phần đất được gạch sọc được giới hạn bởi cạnh AB, CD ,  
đường trung bình MN  của mảnh đất hình chữ nhật  ABCD  và một đường cong hình sin 
(như hình vẽ). Biết AB 2 ( m ) và AD 2( m ). Tính diện tích phần còn lại. 
 A.  4 1.  B.  4( 1). 
 4 2 4 3
 C.     D.    
 2 2    
Bài 11. (THPT Chuyên Đại học Vinh)  Trong Công viên Toán học có những mảnh đất 
mang hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi 
một trong những đường cong đẹp trong toán học. Ở đó  y
có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành 
từ đường Lemmiscate có phương trình trong hệ tọa độ 
 2 2 2
Oxy   là  16y x (25 x )  như  hình  vẽ  bên.  Tính  diện  x
tích  S   của  mảnh  đất  Bernoulli  biết  rằng  mỗi  đơn  vị 
trong hệ tọa độ Oxy  tương ứng với chiều dài 1 mét. 
 125 125 250 125
 A.  S ( m 2 ).  B.  S ( m 2 ).   C.  S ( m 2 ).  D. S ( m 2 ).  
 6 4 3 3
Giải: 
Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là x 5, x 0, x 5 . 
Diện tích của mảnh đất Bernoulli bằng 4 lần diện tích của mảnh đất nhỏ trong góc phần 
tư thứ nhất. 
 9 
  . Khi đó thể tích của vật thể C giới hạn bởi hai mặt phẳng P và Q được tính theo 
 b
công thức V S x d x . 
 a
Bài 13. Thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng  x 0  và  x 3, có thiết 
diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox  tại điểm có hoành độ  x 0 x 3  là 
một hình chữ nhật có hai kích thước bằng  x  và 2 9 x 2 , bằng: 
 A. V 3.  B. V 18.   C. V 20.   D. V 22.  
Giải: 
Diện tích của hình chữ nhật có hai kích thước  x  và 2 9 x 2  bằng: 2x 9 x 2 
 3
Do vậy thể tích của vật thể đã cho bằng V 2 x 9 x2 dx  
 0
 x 0 t 3
Đặt  9 x2 t x 2 9 t 2 xdx tdt . Đổi cận   
 x 3 t 0
 0 0
 22 3 
Suy ra V 2 t dt t 18 . Chọn B. 
 3 
 3 3
Bài 14. Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng có phương trình  x 0  và  x 2 , biết 
rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox  tại điểm có hoành độ 
x 0;2 là một phần tư đường tròn bán kính  2x 2 , ta được kết quả nào sau đây? 
 16
 A. V 32 .  B. V 64 .  C. V .  D. V 8 . 
 5
Giải: 
 12 1
Ta có diện tích thiết diện là S x 2 x2 x 4 . 
 4 2
 2
 2 1 1x 5 16 
Thể tích cần tìm là V x4 dx . . Chọn C. 
 2 2 5 5
 0 0
Dạng 2: Tính thể tích của khối tròn xoay 
Loại 1. 
 Tính thể tích vật thể tròn xoay khi  
 quay miền D được giới hạn bởi các 
 đường y f x ; y 0 ; x a; 
 x b quanh trục Ox được tính  
 11