Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng tích phân để giải bài toán diện tích và thể tích

 1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài.
 Vấn đề tính diện tích của các hình quen thuộc như tam giác, tứ giác, ngũ 
giác, lục giác, gọi chung là đa giác học sinh đều đã biết công thức tính diện 
tích từ các lớp dưới. Cũng tương tự như vậy vấn đề thể tích các khối như (khối 
hộp chữ nhật, khối lập phương, khối lăng trụ, khối chóp, .gọi chung là khối đa 
diện) học sinh đều được học công thức tính thể tích. Đây là một vấn đề rất thực 
tế nhưng để học tốt nó vốn không đơn giản đối với các học sinh có tư duy hình 
học yếu, đặc biệt là tư duy cụ thể hoá, trừu tượng hoá.Việc dạy và học các vấn 
đề này ở chương trình toán lớp dưới vốn đã gặp rất nhều khó khăn bởi nhiều 
nguyên nhân, trong đó yếu tố “trực quan và thực tế” trong các sách giáo khoa 
đang còn thiếu. Do đó khi học về vấn đề mới: vấn đề diện tích của các hình 
phẳng, vấn đề thể tích của các vật thể tròn xoay ở chương trình giải tích 12 học 
sinh gặp rất nhiều khó khăn. Hầu hết các em học sinh thường có cảm giác “sợ” 
bài toán tính diện tích hình phẳng cũng như bài toán tính thể tích của vật thể tròn 
xoay. Khi học vấn đề này nhìn chung các em thường vận dụng công thức một 
cách máy móc chưa có sự phân tích, thiếu tư duy thực tế và trực quan nên các 
em hay bị nhầm lẫn, hoặc không giải được, đặc biệt là những bài toán cần phải 
có hình vẽ để “chia nhỏ” diện tích mới tính được. Thêm vào đó trong sách giáo 
khoa cũng như các sách tham khảo có rất ít ví dụ minh họa một cách chi tiết để 
giúp học sinh học tập và khắc phục “những sai lầm đó”. Càng khó khăn hơn cho 
những học sinh có kỹ năng tính tích phân còn yếu và kỹ năng “đọc đồ thị” còn 
hạn chế. Đề tài “ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN DIỆN 
TÍCH VÀ THỂ TÍCH” nhằm giúp cho học sinh 12 rèn kỹ năng tính tích phân, 
rèn kỹ năng đọc đồ thị của hàm số, từ đó khắc phục những khó khăn, sai lầm khi 
gặp bài toán tính diện tích hình phẳng cũng như tính thể tích của vật thể tròn 
xoay. Từ đó giúp học sinh phát huy tốt kiến thức về diện tích và thể tích mà học 
sinh đã học ở lớp dưới, thấy được tính thực tế và sự liên hệ nội tại của vấn đề 
này trong chương các lớp học, học sinh sẽ cảm thấy hứng thú, thiết thực và học 
tốt vấn đề ứng dụng của tích phân.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
- Giúp học sinh học tốt hơn bài toán ứng dụng tích phân.
- Tài liệu tham khảo cho học sinh lớp 12 và đồng nghiệp.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
- Học sinh trường THPT Thọ Xuân 5.
- Ứng dụng tích phân trong tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
- Tìm hiểu những khó khăn khi học sinh học bài toán ứng dụng tích phân.
- Trao đổi với đồng nghiệp.
- Tìm tài liệu, phần mềm để vẽ hình ảnh trực quan.
 1 xoay) một cách máy móc , khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo, đặc biệt là kỹ 
năng đọc đồ thị để xét dấu các biểu thức, kỹ năng “ chia nhỏ” hình phẳng để 
tính, kỹ năng cộng, trừ diện tích; cộng, trừ thể tích. Đây là một khó khăn rất lớn 
mà học sinh thường gặp phải . 
-Học sinh thường bị sai lầm trong việc tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt 
đối
2.3. Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
Dạng 1: Giả sử hàm số y f (x) liên tục trên đoạn a;b. Khi đó hình thang 
cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f (x), trục hoành và hai đường thẳng 
 b
 x a, x b có diện tích là S và được tính theo công thức: S f x dx [1].
 a
Bài 1.1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) của hàm số
 y x3 x2 2 , trục hoành Ox và các đường thẳng x 1, x 2 .
 Hình 1
Giải: Từ hình vẽ ta suy ra x3 x2 2 0,  1;2.Diện tích S của hình phẳng 
 2 2 85
trên là S x3 x2 2 dx x3 x2 2 dx (đvdt)
 1 1 12
Bài 1.2. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 
 x 2
 y f x , trục hoành và các đường thẳng x 1, x 0.
 x 1
 Hình 2
 3 2 2
Giải: S x 3 3x 2 3 ( x 3 4x 2 x 4)dx (2x 1)(x 2 1)dx
 0 0
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên là nghiệm của phương trình :
 x 3 3x 2 x 3 x 3 4x 2 x 4 2x 3 x 2 2x 1 0 x 2 (2x 1) (2x 1) 0
 1
 x 0;2
 2
 2 2x 1 0 
 (2x 1)(x 1) 0 x 1 0;2
 x 2 1 0
 x 1 0;2
 1 2 7 35
 S (2x 1)(x 2 1)dx (2x 1)(x 2 1)dx 7 (đvdt)
 0 1 6 6
Bài 2.2. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x2 -3x + 2 và 
đường thẳng y = x – 1 .
 Hình 4
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x2 -3x + 2 và đường 
thẳng 
 2 2 x 1
y = x – 1 là: x 3x 2 x 1 x 4x 3 0 
 x 3
 3 3
Suy ra diện tích của hình phẳng trên là : S x 2 3x 2 (x 1)dx x 2 4x 3dx
 1 1
Dựa vào đồ thị ta có x2 – 3x + 2 ≤ x – 1  x [1 ; 3 ] .
Do đó x2 – 4x + 3 ≤ 0  x [1 ; 3] 
 3 x 3 3 4 4
 S (x 2 4x 3)dx ( 2x 2 3x) (đvdt)
 1 3 1 3 3
 x
Bài 2.3. Hình phẳng sau được giới hạn bởi đồ thị (C ):y 3x 2 4 và đường 
 4
thẳng y = x . Hãy tính diện tích của hình phẳng đó .
 5 Giải: Chọn D.
 Hình 7
Ta có mô hình cổng sắt trong mặt phẳng tọa độ như hình trên. Diện tích cổng 
gồm diện tích hình chữ nhật và diện tích phần giới hạn bởi parabol P và trục 
hoành. Từ tọa độ 3 điểm thuộc parabol P ta tìm được phương trình của 
 2,5
 2 2 1 2 2 1 5 15 55 2
parabol P là: P : y x S x dx 5.1,5 m 
 25 2 2,5 25 2 3 2 6
 55
Vậy cần: .700000 6417000. (đồng)
 6
Bài 2.5. Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng 4 5 (m). Trên 
đó người thiết kế hai phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol 
có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa 
đường tròn (phần tô màu), cách nhau một khoảng bằng 4 (m), phần còn lại của 
khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước 
cho như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là 100.000 đồng/m 2. Hỏi cần 
bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất đó? (Số tiền được làm tròn 
đến hàng nghìn)
 A. 3.895.000 (đồng). B. 1.948.000 (đồng). 4m
 C. 2.388.000 (đồng). D. 1(đồng).194.00 0[4]. 4m 4m
Giải: Chọn B
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó phương trình 
nửa đường tròn là:
 2
 y R2 x2 2 5 x2 20 x2 .
Phương trình parabol P có đỉnh là gốc O sẽ có 
dạng y ax2 . Mặt khác P qua điểm M 2;4 
 Hình 8
 7 50 x2 48 x2
Khi đó S S S 2 30 1 dx 2 28 1 dx .
 1 2 2 2
 50 50 48 48
 a x2
Tính tích phân I 2 b 1 dx, a,b ¡ .
 2 
 a a
Đặt x asin t, t dx a costdt .
 2 2 
Đổi cận x a t ; x a t .
 2 2
 2 2 2 2
 2 2 sin 2t 
 I 2 b 1 sin t.a cost dt 2ab cos t dt ab 1 cos 2t dt ab t ab 
 2 
 2 2 2 2
.
Do đó S S1 S2 50.30 48.28 156 .
Vậy tổng số tiền làm con đường đó là 600000.S 600000.156 294053000 (đồng).
Dang 3. Giả sử H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục 
hoành và hai đường thẳng x a, x b trong đó a b . Quay hình phẳng 
 H quanh trục hoành ta được một vật thể tròn xoay. Thể tích của vật thể này
 b
 2
 được tính theo công thức: V f x dx [1]
 a
Bài 3.1. Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn 
bởi y x2 , y 0, x 0, x 2 quanh trục hoành Ox .
 2 2
 2 32 
Giải: V x2 dx x4dx (đvtt)
 0 0 5
Bài 3.2. Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn 
bởi bốn đường sau quanh trục hoành Ox: y = x2 – 2x , y = 0 , x = 0 , x = 1.
 1 1 x 5 x 3 1 8 
V (x 2 2x) 2 dx (x 4 4x 3 4x 2 )dx ( x 4 4 ) (đvtt)
 0 0 5 3 0 15
Bài 3.3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn 
bởi bốn đường sau quanh trục hoành Ox. y = x3 – 3x , y = 0 , x = 0 , x = 1.
 1 1 x 7 x 5 x 3 1
V (x 3 3x) 2 dx (x 6 6x 4 9x 2 )dx ( 6 9 ) 
 0 0 7 5 3 0
 x 7 6x 5 1 68 
 ( 3x 3 ) (đvtt)
 7 5 0 35
Bài 3.4. Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn 
bởi bốn đường sau quanh trục hoành Ox. y x 2 2x , y = 0 , x = 0 , x = 1.
 9 2 2 53 
V (4 x 2 ) 2 dx (16 8x 2 x 4 )dx 
 2 (đvtt)
 1 1 15
Thể tích của vật thể tròn xoay cần tính là : 
 53 188 
V V V 9 (đvtt)
 2 1 15 15
 Hình 10
Dạng 4. Vật thể tròn xoay khi quanh một hình phẳng quanh trục tung . Giả sử 
 H là hình giới hạn bởi đồ thị hàm số x g y , trục tung và hai đường thẳng
 y m, y n trong đó m n . Quay hình H quanh trục tung ta được vật thể 
 n
 2
tròn xoay. Thể tích vật thể được tính theo công thức: V g y dy [2]
 m
Bài 4.1. Cho hình phẳng giới hạn bởi các các đường sau : y ln x , trục tung , 
và hai đường thẳng y = 0, y = 1 .Tính thể của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay 
hình phẳng trên quanh trục tung .
Giải : Ta có y ln x x e y
Do đó thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng tạo bởi đồ thị 
 y
hàm số x e , trục tung và hai đường thẳng y = 0, y = 1 là :
 1
 2 y 1 2 y 1 1 2 0 2
 V e dy e (e e ) (e 1) (đvtt)
 0 2 0 2 2
Bài 4.2. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong (C ) : x2 4y2 4 , trục 
tung, hai đường thẳng x = 2 , y = 2. Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi 
khi quay hình phẳng trên quanh trục tung.
 Hình 11
 11