Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng thể tích khối nón, khối trụ, khối cầu vào giải các bài thực tế

 PHẦN 1: MỞ ĐẦU
I. lý do chọn đề tài .
 Tốn học cĩ nguồn gốc từ thực tế và là chìa khĩa trong hầu hết các hoạt động 
của con người, nĩ cĩ mặt ở khắp nơi. Tốn học là kết quả của sự trừu tượng hĩa 
các sự vật hiện tượng trong thực tế trên những phương diện khác nhau và cĩ vai trị 
rất quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thơng. Mặc dù 
là ngành khoa học cĩ tính trừu tượng cao nhưng tốn học cĩ mối liên hệ chặt chẽ 
với thực tế và cĩ thể ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau: là cơng cụ 
để học tập các mơn học trong nhà trường , nghiên cứu nhiều ngành khoa học và là 
cơng cụ để hoạt động trong sản xuất và đời sống thực tế.
Bên cạnh đĩ thực trạng học tốn ở các trường phổ thơng, đa số các em chỉ học lý 
thuyết và làm bài tập mà thiếu thực hành và liên hệ kiến thức với thực tế. Học sinh 
đang học tốn chỉ giới hạn trọng phạm vi bốn bức tường của lớp học , thành thử 
khơng để ý đến những tương quan tốn học quen thuộc trong thế giới những sự vật 
hiện tượng xung quanh, khơng biết ứng dụng những kiến thức tốn học đã thu nhận 
vào thực tế.
 Với sự đổi mới mạnh mẽ của bộ giáo dục và đào tạo về cách dạy và học trong 
trường phổ thơng, đặc biệt là cĩ thể đưa tốn thực tế nĩi chung và bài tốn thực tế 
về khối nĩn, khối trụ, khối cầu nĩi riêng vào các đề thi mơn tốn THPT Quốc Gia 
2017 và những năm tiếp theo.
 Để giúp các em học sinh cĩ cách nhìn mới mẻ các bài tốn thể tích khối đa diện 
và cĩ thể ứng dụng tốn học vào thực tế và đặc biệt giúp các em cĩ một tài liệu ơn 
thi THPT Quốc Gia về bài tốn thực tế tơi mạnh dạn đưa ra ý tưởng “ ứng dụng thể 
tích khối nĩn, khối trụ, khối cầu vào giải các bài thực tế ”.
II. Mục đích nghiên cứu.
 - Mục đích của sang kiến kinh nghiệm này là giúp các em học sinh tìm hiểu mối 
liên hệ của một số kiến thức trong chương trình tốn phổ thơng với thực tiễn
 - Giúp học sinh hứng thú hơn trong việc giải các bài tập khĩ về thể tích khối nĩn, 
khối trụ, khối cầu đồng thời giúp các em sáng tạo hơn trong ứng dụng tốn học 
trong thực tế .
III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
 1. Đối tượng nghiên cứu.
 - Học sinh lớp 12, học sinh dự thi vào các trường Đại học và Cao đẳng.
 - Kiến thức về thể tích khối nĩn, khối trụ, khối cầu lớp 12 trung học phổ thơng.
 2. Phạm vị nghiên cứu : 
 - Hình học lớp 12 phổ thơng trung học.
 - Sách giáo khoa và tài liệu tham khảo luyện thi đại học, tài liệu bồi dưỡng học 
sinh giỏi ,các đề thi thử của các trường , sở giáo dục và các đề thi vào các trường 
Đại học và Cao đẳng những năm trước.
 1 A
 h
 B
 O r
Khối trụ: Diện tích xung quanh Sxq 2 rl
 Diện tích tồn phần của khối trụ Stp Sxq 2Sđáy
 Thể tích của khối trụ V Bh r2h
 O
 A
 h
 O r
 B
 Khối cầu: Diện tích của khối cầu S 4 r2
 4
 Thể tích của khối cầu V r3
 3
 O
 r
 2 h 
 Thể tích chỏm cầu V h R 
 3 
 h r
 OO
 R
 3 Bài 3: Cho một miếng tơn hình trịn cĩ bán kính 50cm . Biết hình nĩn cĩ thể tích 
lớn nhất khi diện tích tồn phần của hình nĩn bằng diện tích miếng tơn ở trên. Tính 
bán kính của hình nĩn.
 Giải
Đặt a 50 cm . Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình nĩn lần lượt là x, y x, y 0 . 
Ta cĩ SA SH 2 AH 2 x2 y2 
 2 2 2
Khi đĩ diện tích tồn phần của hình nĩn là Stp x x x y . S
Theo giả thiết ta cĩ x2 x x2 y2 a2 x x2 y2 x2 a2 
 4
 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 a
 x x y a x x x y a x 2a x x 2 2 
 y 2a I J
 4
 1 a 1 4 y
Khi đĩ thể tích khối nĩn là V . .y a . O
 3 y2 2a2 3 y2 2a2
 A
 H
 y2 2a2
V đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi đạt giá trị nhỏ nhất
 y
 y2 2a2 2a2 2a2
Ta cĩ y 2 y. 2 2a
 y y y
 2a2 a
Vậy V đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi y , tức là y a 2 x 25 cm 
 y 2
Bài 4: Với một miếng tơn hình trịn cĩ bán kính bằng R 6cm . Người ta muốn làm 
một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của hình trịn này và gấp phần cịn lại 
thành hình nĩn ( Như hình vẽ). Tính thể tích lớn nhất của hình nĩn cĩ khi người ta 
cắt cung trịn của hình quạt.
 Giải
Gọi x x 0 là chiều dài cung trịn của phần được xếp làm hình nĩn. 
 5 4 32 
Khi đĩ ta cĩ thể suy ra được với x thì V đạt giá trị lớn nhất bằng V m2 
 3 9
Vấn đề 2 : Ứng dụng khối trụ vào giải bài tốn thực tế .
Bài 1: Một khối gỗ hình trụ cĩ chiều cao 2m , người ta xẻ bớt phần vỏ của khối gỗ 
đĩ theo bốn mặt phẳng song song với trục để tạo thành một khối gỗ hình hộp chữ 
nhật cĩ thể tích lớn nhất bằng 1m3 . Tính đường kính của khối gỗ hình trụ đã cho.
 Giải
 I1
 I1
 1
Ta cĩ diện tích mặt của khối gỗ hình hộp nằm ở hai đầu là S .
 2
Mặt này là hình vuơng (vì trong tất cả các hình chữ nhật nội tiếp một hình trịn thì 
 1
hình vuơng cĩ diện tích lớn nhất), cĩ cạnh là a S .
 2
Đường kính của khối gỗ hình trụ chính là đường chéo của mặt hình vuơng. 
 1
Do đĩ đường kính là d R 2 . 2 1 m . 
 2
Bài 2 :Người ta thiết kế một thùng chứa hình trụ (như hình vẽ) cĩ thể tích V nhất 
định. Biết rằng giá của vật liệu làm mặt đáy và nắp của thùng bằng nhau và đắt gấp 
3 lần so với giá vật liệu để làm mặt xung quanh của thùng (chi phí cho mỗi đơn vị 
 h
diện tích). Gọi chiều cao của thùng là h và bán kính đáy là r . Tính tỉ số sao 
 r 
cho chi phí vật liệu sản xuất thùng là nhỏ nhất?
 Giải
Khơng mất tính tổng quát, giả sử thể tích của hình trụ là V 1và giá cho mỗi đơn vị 
diện tích bằng 1 . 
 1 h 1
Theo bài ta cĩ h .
 r 2 r r3
 1 2
Diện tích xung quanh của hình trụ là S 2 r.h 2 r. .
 1 r 2 r
 2
Diện tích mặt đáy S2 r .
 2 1 1
Suy ra giá vật liệu để làm hình trụ là f .1 3.1.2 r 2 6 r 2 33 12 
 r r r
 7 Vậy thể tích lớn nhất của khối trụ đựng kem là 54 cm3 
Bài 4: Một cơng ty dự kiến chi 1 tỉ đồng để sản xuất các thùng đựng sơn hình trụ 
cĩ dung tích 5 lít. Biết rằng chi phí để làm mặt xung quanh của thùng đĩ là 100.000 
đ/m2, chi phí để làm mặt đáy là 120.000 đ/m2. Hãy tính số thùng sơn tối đa mà cơng 
ty đĩ sản xuất được. (giả sử chi phí cho các mối nối khơng đáng kể).
 Giải
Gọi chiều cao hình trụ là h h 0 m .Bán kính đáy hình trụ là x x 0 m 
 5 5
Thể tích khối trụ là : V x2h h m . 
 1000 1000 x2
 1
Diện tích mặt xung quanh là : S 2 xh . 
 xq 100x
 2
Diện tích hai đáy là : Sđáy 2 x 
 1000
Số tiền cần làm một thùng sơn là : f x 240000 x2 x 0 .
 x
 1000 1
Ta cĩ : f x 480000 x khi đĩ f x 0 x 
 x2 3 480 
 Bảng biến thiên :
 x 0 1 
 3 480 
 f x 0 
 f x 
 17201,05
 109
Vậy với số tiền 1 tỉ đồng thì cơng ty cĩ thể sản xuất tối đa là : 58135 thùng.
 17201,05
Bài 5: Một người thợ xây, muốn xây dựng một bồn chứa nước hình trụ trịn với thể 
tích là 150 m3 (như hình vẽ bên). Đáy làm bằng bê tơng, thành làm bằng tơn và bề 
làm bằng nhơm. Tính chi phí thấp nhất để bồn chứa nước (làm trịn đến hàng 
nghìn). Biết giá thành các vật liệu như sau: bê tơng 100 nghìn đồng một m2 , tơn 90 
một m2 và nhơm 120 nghìn đồng một m2 .
 Giải
Gọi r,h m2 r 0,h 0 lần lượt là bán kính đường trịn đáy và đường cao của 
 150
hình trụ. theo đề ta cĩ r 2h 150 h . 
 r 2
Khi đĩ chi phí làm nên bồn chứa nước được xác định theo 
 9 1
Ta cĩ S R 0 R 3 
 2 
Bảng biến thiên
 R 0 1 
 3
 2 
 S R - 0 +
 S R 
 2.3 2 2 .3 4 2
 1
 Vậy Min S R 2.3 2 2 .3 4 2 tại R 3 
 2 
Vấn đề 3 : Ứng dụng khối cầu vào giải bài tốn thực tế .
Bài 1: Người ta chế tạo ra một mĩn đồ chơi cho trẻ em theo các cơng đoạn như 
sau: Trước tiên, chế tạo tra một mặt nĩn trịn xoay cĩ gĩc ở đỉnh là 2 60 bằng 
thủy tinh trong suốt. Sau đĩ đặt hai quả cầu nhỏ bằng thủy tinh cĩ bán kính lớn, 
nhỏ khác nhau sao cho 2 mặt cầu tiếp xúc với nhau và đều tiếp xúc với mặt nĩn. 
Quả cầu lớn tiếp xúc với cả mặt đáy của mặt nĩn. Cho biết chiều cao của mặt nĩn 
bằng 9cm. Bỏ qua bề dày của những lớp vỏ thủy tinh, hãy tính tổng thể tích của hai 
khối cầu.
 Lời giải
Gọi R là bán kính của hình nĩn. r1, r2 lần lượt là bán kính quả cầu lớn và quả cầu 
nhỏ.
Thiết diện qua trục của hình nĩn như sau: 
 11