Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng số phức để giải một số bài toán hình học và lượng giác

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
 TRƯỜNG THPT NGUYỄN THỊ LỢI
 ........................***.........................
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI 
 TOÁN HÌNH HỌC VÀ LƯỢNG GIÁC
 Người thực hiện: Trần Công Sinh
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc lĩnh vực: Môn Toán
 THANH HÓA NĂM 2017 ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH 
 HỌC VÀ LƯỢNG GIÁC
 1. Mở đầu
 1.1. Lí do chọn đề tài
 Việc giải các bài toán hình học và lượng giác là quá trình mò mẫn, 
tìm tòi, vận dụng nhiều kiến thức và tổng hợp dựa trên những hiểu biết của 
người học. Có người phải mầy mò rất lâu, thử hết cách này đến cách khác 
mới giải được, trong khi có người lại tìm được cách giải rất nhanh. Vậy đâu 
là bí quyết cho khả năng giải các bài toán hình học và lượng giác nhanh 
gọn và chính xác? Cách rèn luyện chúng như thế nào? Vận dụng những 
kiến thức gì? Sau đây tôi xin trình bày một số kinh nghiệm nhỏ của tôi 
trong đề tài này giúp các em học sinh tìm ra những con đường giải một số 
bài toán hình học nhanh gọn, tìm tòi lời giải một bài toán ở những góc độ 
khác nhau, khía cạnh khác nhau. Đặc biệt trong giai đoạn hiện nay chúng ta 
đang nghiêm túc thực hiện cuộc vận động hai không với 4 nội dung của Bộ 
trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo thì việc trang bị cho các em học sinh những 
phương pháp tìm tòi lời giải bài toán, định hướng trong tư duy là hết sức 
quan trọng. Hơn nữa chúng ta đang cho học sinh tiếp cận và làm quen với 
ứng dụng của số phức và cách vận dụng mà lâu nay ta chưa cho học sinh 
làm quen. Trước đây ta chỉ giải các bài toán hình học bằng các phương 
pháp sơ cấp. Trong đề tài này tôi mạnh dạn đưa ra kinh nghiệm mà bản 
thân đã thực tế giảng dạy và tự tìm tòi nghiên cứu để giúp các em học sinh 
rèn luyện tư duy theo chiều hướng mới trong giải toán và tìm thấy những 
vấn đề hay của bộ môn toán.
 1.2. Mục đích nghiên cứu
 Giúp các em học sinh áp dụng kiến thức của số phức, giải được các 
bài toán hình học.
 - Rèn luyện khả năng phân tích bài toán.
 2 + Người dạy phải tổng hợp được kiến thức về số phức cho học sinh 
và chọn được những bài toán điển hình, truyền đạt theo hệ thống lôgíc từ 
đó đến khó để học sinh dễ tiếp cận với phương pháp.
 + Người học phải chủ động tiếp thu kiến thức, tìm tòi các bài toán 
mới và vận dụng linh hoạt vào quá trình giải toán. Thường xuyên tư duy 
liên tục để hiểu sâu sắc được các bài toán.
 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
 - Trong thời điểm hiện nay đặc biệt là các em học sinh trường THPT 
Nguyễn Thị Lợi thì việc học sinh tìm ra lời giải của các bài toán hình học 
và lượng giác là rất khó khăn, các em thường lúng túng khi đứng trước các 
bài toán của chương trình sách giáo khoa cơ bản. 
 - Số phức là một vấn đề mới (trước đây đã đưa vào chương trình Phổ 
thông chuyên ban) mà vấn đề áp dụng ở đây là giải các bài toán hình học 
và lượng giác nên rất phức tạp và khó khăn. Bởi vì các bài toán hình học và 
lượng giác đã là rất khó.
 - Vì vậy chất lượng ở một số học sinh, có học lực yếu nên không tìm 
ra cách giải mới (ngoài phương pháp sơ cấp) thì học lực của các em có 
chiều hướng đi xuống. 
 - Trong năm học 2016-2017 ở lớp 12E qua các bài toán áp dụng số 
phức để giải các bài toán hình học, kết quả của học sinh như bảng sau:
 Loại Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém
 sĩ số SL % SL % SL % SL % SL %
 37 4 10.8 15 40.5 18 48.7 0 0 0 0
 2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
 Trong quá trình triển khai tôi đã tổ chức cho học sinh áp dụng kiến 
thức số phức để giải một số bài toán hình học thông qua các ứng dụng cụ 
thể với những kiến thức cụ thể trong từng vấn đề.
 Rèn luyện khả năng phân tích bài toán
 4 minh cho bạn đọc).
 - Phép đối xứng qua góc toạ độ: z' = -z. Hình 3
 - Phép đối xứng qua trục Ox: z' = z 
(liên hợp của z).
 - Phép tịnh tiến theo vectơ OA (hình y
 y
2): z' z
 A
 z' = z + a (1)
 z
 z
 (vì OZ OZ OA )
 0 x
 - Phép quay góc xung quanh gốc toạ 0 x
độ O:
 z' = qz (2) Hình 5
 Hình 4
 Trong đó q = cos isin (hình 3). Điều này suy ra dễ dàng 
nếu nhớ lại quy tắc nhân hai số phức: khi nhân hai số phức thì môđun của 
tích bằng tích các môđun, còn agumen của tích thì bằng tổng các agumen 
của hai thừa số.
 - Phép vị tự tâm O tỉ số k; z' = kz
 - Phép quay góc quanh O rồi tiếp theo, phép vị tự tâm O tỉ số k 
(hình 4);
 z' = pz với p k(cos isin )
 - Phép đối xứng qua điểm A. Vì A là trung điểm đoạn ZZ' (hình 5)
 nên OA = (1/2)(OZ OZ' ), từ đó a = (1/2)(z + z') hay z' = 2a - z. Đó 
là công thức của phép đối xứng qua điểm A.
 6 - Điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD là một hình bình hành là các 
đường chéo AC và BD của nó có trung điểm trùng nhau, hay 
 a + c = b + d (7)
 - Điều kiện cần để hai đoạn thẳng AM và AN vuông góc và bằng 
nhau là
 m - c = i (n - a) (8)
 áp dụng công thức (3) trong đó 
 C
 0 B B1
 p = cos( 90 ) = i 
 - Điều kiện cần và đủ để hai 
 C1
 A
 tam giác ABC và A1B1C1 
 A
 đồng dạng và cùng hướng là 1
 Hình 7
 (a b) /(c b) (a1 b1 ) /(c1 b1 ) (9)
 Thật vậy, nếu thực hiện phép quay góc quanh điểm B (hình 7) rồi 
tiếp theo đó, phép vị tự tâm B tỉ số k = BA/BC thì C biến thành A. Theo 
công thức (4) ta có 
 a - b = (c b) (10)
 với p = k( cos i sin )
 Hai tam giác ABC và A1B1C1 đồng dạng và cùng hướng khi và chỉ 
khi
 CBA = C1B1A1 = (cùng hướng), và B1A1/B1C1 = BA/BC = k
 a1 - b1 = p(c1 - b1) (11)
 Từ các hệ thức (10) và (11) ta rút ra
 (a-b)/(c-b) = (a1 - b1)/(c1 - b1)
 Đó chính là điều kiện cần và đủ để hai tam giác đã cho đồng dạng và 
cùng hướng.
 Chú thích: Hai tam giác ABC và A1B1C1 được gọi là cùng hướng 
nếu trong khi đi trên chu vi của tam giác ABC từ A đến B rồi đến C và trở 
về A cũng như khi đi trên chu vi của tam giác A 1B1C1 từ A1 đến B1 rồi đến 
 8 Ta có 1/3(k+l+m) = 1/3(a - pb + b - pc + c - pa)/(1 - p) = 1/3(a + b + 
c).
 Điều này chứng tỏ rằng trọng tâm của các tam giác KLM và ABC 
trùng nhau.
 Chú ý: Nếu dựng các tam giác ABK, BCL, CAM ở phía trong tam 
giác ABC thì kết quả trên vẫn còn đúng. Tóm lại chỉ cần các tam giác đó 
cùng hướng là được.
 3. Người ta dựng phía ngoài tứ giác lồi ABCD hai hình vuống 
ABMN và CDKL. Chứng minh rằng các trung điểm các đường chéo của 
các tứ giác ABCD và MNKL là các đỉnh của một hình vuông hoặc có thể 
trùng nhau.
 Lời giải: Theo công thức (8) ta có hình (9) n - a = i(b-a), a - b = i(m - 
b) 
 Từ đó rút ra n = a + i(b - a), m = b + i(b - a).
 Tương tự ta có l = c + i(d - c) và k = d + i(d - c).
 Gọi U, V, S, T theo thứ tự là trung 
điểm các đường chéo AC, BD, KM và LN 
ta có
 L
 B C
 u = (a + c)/2, v = (b + d)/2 M
 s = [b + d + i(b + d - a - c)]/2 
 N
 t = [a + c +i(b + d - a - c)]/2 ta có A K
 D
 v + t = [a + b + c +d + i(b + d - a - 
c)]/2 = u + s.
 v - t = (b + d - a - c)(1 - i)/2
 u - s = (a + c - b - d)(1 + i)/2
 Giả sử b + d - a - c 0 ta có
 (v - t)/(u - s) = -(1 - i)/(1 + i) = -(1 - i)2/[(1 + i)(1 - i) = i
 10 1 1 
 cos2B ca ac , cos2C ab ba
 2 2 
 1
 P cos2A+cos2B+cos2C= bc cb ca ac ab ba 
 2 
 A
 C 
 B
 1
 P aa ab ac bb ba bc cc ca cb aa bb cc 
 2 
 1
 aa b c bb a c cc a b 3 
 2 
 3 1 3
 a b c a b c , do: a b c a b c 0
 2 2 2
 3    
 Do đó Pmin = - , khi và chỉ khi a + b + c = 0 hay OA + OB + OC = 0 ,
 2
 Suy ra O = G, điều đó có nghĩa là tam giác ABC là tam giác đều.
 Như vậy, thông qua ví dụ này giáo viên đã khắc sâu được kiến thức về 
chọn toạ độ thích hợp cho một bài toán. Đặc biệt giúp học sinh ôn tập lại 
kiến thức đã học như: công thức tính góc, tính chất về môđun, tính chất về 
toạ độ của các điểm thuộc đường tròn đơn vị, ... Qua bài toán cũng góp phần 
rèn luyện kỹ năng tính toán, kỹ năng biến đổi số phức cho học sinh.
 12 những góc độ khác nhau, biết xét các trường hợp đặc biệt để tìm lời giải cho 
những bài toán lớn.
 - Với chức năng kiểm tra, bài tập giúp giáo viên và học sinh đánh giá 
được mức độ và kết quả của quá trình dạy và học, đồng thời nó cũng đánh 
giá khả năng độc lập toán học và trình độ phát triển của học sinh.
 - Thông qua giải bài tập, giáo viên có thể tìm những điểm mạnh, 
những hạn chế trong việc tiếp thu và trình bày tri thức của học sinh. Qua đó 
có thể bổ sung, rèn luyện và bồi dưỡng tiếp cho học sinh.
 Có thể nói răng hiệu quả của việc dạy toán ở trường phổ thông phần 
lớn phụ thuộc vào việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức 
năng có thể có của các tác giả viết sách giáo khoa đã có dụng ý đưa vào 
chương trình. Người giáo viên phải có nhiệm vụ khám phá và thực hiện 
dụng ý của tác giả bằng năng lực sư phạm của mình.
 - Các biện pháp đã thực hiện
 Trong quá trình triển khai ý tưởng của đề tài tôi đã tổ chức cho học 
sinh rèn luyện để phát triển tư duy theo các hình thức.
 - Tổ chức cho học sinh trong những tiết ôn tập chương, ôn tập học kỳ, 
các giờ bài tập có từ 2 tiết trở lên.
 - Tổ chức cho học sinh học tập trong các giờ bồi dưỡng buổi chiều, tổ 
chức học tập theo nhóm để từ đó phân loại học sinh và tạo cho các em học 
sinh có thể hỗ trợ nhau trong quá trình chủ động tìm tòi kiến thức.
 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
 Trong suốt năm học kể từ khi ôn tập những kiến thức khối 12 cho học 
sinh các buổi chiều và kiến thức của học sinh lớp 12A2 học sinh đã tiếp thu 
và việc tìm ra lời giải các bài toán học sinh đã tiến bộ rõ rệt, kết quả thu 
được như sau:
 Loại Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém
 sĩ số SL % SL % SL % SL % SL %
 37 7 18.9 20 54.1 10 27 0 0 0 0
 14