Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán thực tế của lớp 12

 SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán thực tế của lớp 12 
 BÁO CÁO KẾT QUẢ 
 NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 
1. Lời giới thiệu 
 Dạy học Toán ở trường phổ thông theo định hướng gắn Toán học với thực tiễn, thực 
hiện nguyên tắc liên môn trong dạy học và tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh là 
xu hướng đổi mới dạy học hiện nay. 
 Mục đích của dạy học Toán nói chung với lưu ý học sinh biết mô hình hóa Toán học 
các tình huống thực tiễn được xem là yếu tố cơ bản của năng lực hiểu biết Toán- năng lực 
đã và đang được chương trình đánh giá quốc tế PISA khảo sát ở nhiều nước trên thế giới 
nhằm mục đích cải thiện chất lượng đào tạo. 
 Trên thực tế với kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm tôi thấy học sinh gặp rất nhiều 
khó khăn khi giải các bài toán thực tế. Vì vậy đề tài nhằm tập hợp, biên soạn và sáng tạo 
ra một số tình huống thực tiễn mang lại cho giáo viên các ví dụ minh họa theo các mức 
độ nhằm giúp giáo viên có nguồn tư liệu và phương pháp để rèn luyện kĩ năng giải các 
bài Toán thực tế cho các em giúp các em vượt qua dào cản tâm lý đó. 
 Hiện nay, định hướng đổi mới chương trình giáo dục phổ thông là chuyển từ chương 
trình định hướng nội dung dạy học sang chương trình định hướng năng lực, định hướng 
chuẩn đầu ra về phẩm chất và năng lực của chương trình cấp THPT. Quan điểm đổi mới 
dạy học trong tương lai là : “ định hướng năng lực hay định hướng kết quả đầu ra”. Với 
quan điểm này chương trình dạy học không quy định chi tiết nội dung dạy học mà quy 
định những kết quả đầu ra mong muốn của giáo dục. Tóm lại, quan điểm giáo dục mới 
không chỉ chú trọng vào những nội dung học sinh “được học”mà chủ yếu tập trung vào 
những gì mà học sinh “học được”. Quan điểm này không nhấn mạnh vào những nội dung 
khoa học bộ môn mà chú trọng vào việc học sinh có năng lực giải quyết các vấn đề gì 
trong thực tiễn từ những nội dung đã học. 
 Từ đó đề tài này tập trung vào việc xây dựng một số bài toán thực tiễn gắn liền với 
chương: “Ứng dụng đạo hàm ” của Đại số và Giải tích12 theo định hướng tiếp cận các 
năng lực của người học. 
* Cơ sở lý luận: 
 Mục đích của dạy học Toán là phải mang lại cho học sinh những kiến thức phổ thông, 
những kĩ năng cơ bản của người lao động. Qua đó rèn luyện tư duy logic, phát triển năng 
lực sáng tạo góp phần hình thành thế giới quan cho các em.Quan điểm này đã dẫn đến 
khái niệm hiểu biết Toán theo PISA: “ hiểu biết Toán là năng lực của một cá nhân cho 
 1 
 SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán thực tế của lớp 12 
7. Mô tả bản chất của sáng kiến: 
 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 
 GIẢI TOÁN THỰC TẾ 
 CÁC BÀI 
 LÝ THUYẾT BÀI TẬP 
 TOÁN THỰC 
 VÀ CÁC TNKQ VÀ 
 TẾ VÀ 
 VẤN ĐỀ HƯỚNG 
 PP GIẢI 
 LIÊN QUAN DẪN GIẢI 
 3 
 SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán thực tế của lớp 12 
 Khái niệm tiếp tuyến lúc này được hiểu theo những quan niệm mới như là vị trí 
“tới hạn” của cát tuyến hay đường thẳng trùng với một phần vô cùng nhỏ với đường 
cong tại tiếp điểm. Chính từ quan niệm “vị trí tới hạn” này mà hệ số góc k của tiếp 
tuyến với đường cong y f x được định nghĩa (theo ngôn ngữ ngày nay) bởi biểu thức 
 f x h f x 
 k lim f ' x 
 h 0 h
 ● Đối với bài toán vật lí: tìm vận tốc tức 
 thời. 
 Thừa nhận rằng có thể xem vận tốc tức thời vtt 
 của vật thể có phương trình chuyển động là 
 s S t là giới hạn của vận tốc trung bình trong 
khoảng thời gian t;t t khi t 0, Newton (1643 – 1727) cũng đã đi đến biểu thức 
xác định (có cùng bản chất với biểu thức hệ số góc của tiếp tuyến) mà theo ngôn ngữ 
ngày nay ta viết là: 
 S t t S t 
 vtt lim S' t 
 t 0 t
Từ đây ta đưa ra định nghĩa của đạo hàm: 
2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm 
 Cho hàm số y f x xác định trên khoảng a;b , xoo a;b ,x x a;b . 
 f x x f x 
Nếu tồn tại, giới hạn (hữu hạn) lim oo được gọi là đạo hàm của fx tại 
 x 0 x
điểm xo , kí hiệu f ' xo hay y' xo . 
 f xo x f x o f x f x o 
 f ' xo lim lim 
 x 0 x x
 xo x xo
3. Các quy tắc tính đạo hàm và bảng công thức đạo hàm thường gặp 
* Các quy tắc tính đạo hàm. 
Giả sử u u x , v v x , w w x là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng 
xác định. Ta có: 
● u v w ' u' v' w' ● uv ' u'v v'u 
 u u'v v'u
● uvw ' u'vw v'uw w'uv ● ' v v x 0 
 v v2
 1 v'
● ku ' ku' (với k là hằng số) ● ' v v x 0 
 v v2
* Bảng công thức các đạo hàm thường gặp 
 Đạo hàm của fx với x là biến số Đạo hàm của fu với u là một hàm số 
 5 
 SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán thực tế của lớp 12 
 Hàm số y f x đồng biến (tăng) trên K nếu x,x K:x x fx fx 
 1 2 1 2 1 2 
 Hàm số y f x nghịch biến(giảm) trên K nếu : x1 ,x 2 K : x 1 x 2 f x12 f x . 
 Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi là hàm số đơn điệu trên K. 
* Các định lí: 
  Định lí 1: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên a;b . 
 Nếu f x 0 ,  x a;b thì hàm số fx đồng biến trên a;b . 
 Nếu f x 0 ,  x a;b thì hàm số fx nghịch biến trên a;b . 
  Định lí 2: (Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu trên K) 
 Cho hàm số y f x có đạo hàm trên a;b . 
 Hàm số fx đồng biến trên a;b f x 0 ,  x a;b và phương trình fx 0 
 có hữu hạn nghiệm thuộc a;b . 
 Hàm số fx nghịch biến trên a;b f x 0 ,  x a;b và phương trình 
 fx 0 có hữu hạn nghiệm thuộc a;b . 
  Định lí 3: (Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu trên K) 
 Nếu hàm fx đồng biến(hoặc nghịch biến) trên khoảng a;b và fx liên tục 
 trên nửa đoạn a;b thì fx sẽ đồng biến(hoặc nghịch biến) trên nửa đoạn 
 a;b . 
 Nếu hàm fx đồng biến(hoặc nghịch biến) trên khoảng a;b và fx liên tục 
 trên nửa đoạn a;b thì fx sẽ đồng biến(hoặc nghịch biến) trên nửa đoạn 
 a;b . 
 Nếu hàm fx đồng biến(hoặc nghịch biến) trên khoảng a;b và fx liên tục 
 trên đoạn a;b thì fx sẽ đồng biến(hoặc nghịch biến) trên đoạn a;b . 
5. Cực trị của hàm số 
* Định nghĩa: Giả sử hàm số y f x xác định trên tập hợp D, D  và xDo . 
  x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số fx nếu tồn tại một khoảng a;b 
 chứa x0 sao cho a,b  D và f x f x0 với  x a;b và xx 0 . 
 Khi đó fx 0 được gọi là giá trị cực đại của hàm số fx . 
  x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số nếu tồn tại một khoảng (a;b) 
 chứa x0 sao cho (a,b) D và f(x) f(x0 ) với  x (a;b)\ x0 . 
 Khi đó f (x0 ) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số . 
 Điểm cực đại, cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. 
* Các định lý: 
 7 
 SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán thực tế của lớp 12 
Định lý về sự tồn tại GTLN – GTNN: “ Nếu hàm số liên tục trên đoạn ab; thì đạt giá 
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó “. 
* Một số lưu ý: 
 Khi nói đến GTLN, GTNN của hàm số f mà không chỉ rõ trên tập 
 nào thì ta hiểu là trên tập xác định của f . 
 min f x f a 
 x a; b 
 Nếu hàm số đồng biến trên ab; 
 max f x f b 
 x a; b 
 min f x f b 
 x a; b 
 Nếu hàm số nghịch biến trên ab; 
 max f x f a 
 x a; b 
* Phương pháp GTLN – GTNN của y f x bằng đạo hàm trên đoạn D a; b 
 Bước 1: Tính đạo hàm fx' 
Bước 2: Tìm các điểm tới hạn (nếu có) xi a;,, b i1 n sao cho fx' 0 (hoặc không 
có đạo hàm) 
 fx'? i 
Bước 3: Tính fa ? 
 fb ?
 maxfx max fxfx 12 ; ;...; fxfafb n ; ; 
Bước 4: So sánh và kết luận D 
 minfx min fxfx ; ;...; fxfafb ; ; 
 D 12 n 
Lưu ý: 
 Trường hợp tập D a; b (hoặc D a;;; b D a b ) thì ta làm tương tự như 
 bước 1 và bước 2. Đến bước 3 thì ta “lập bảng biến thiên” để từ đó đưa ra kết 
 luận. 
 Ngoài cách sử dụng đạo hàm như đã trình bày ở trên, đôi khi để giải quyết 
 nhanh bài toán ta có thể sử dụng thêm các kiến thức về cực trị của hàm số 
 bậc hai hay các bất đẳng thức đã học có thể kể đến như: 
► Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân 
 a , a ... a
Cho n số không âm: a , a ,...,a . Khi đó ta có: 12 n n a .a ...a 
 12 n n 12 n
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a12 a ... an . 
► Bất đẳng thức Bunyakovsky. 
Cho hai bộ n số: a1 ,a 2 ,...,ann ;b 1 ,b 2 ,...,b khi đó ta có bất đẳng thức: 
 9 
 SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán thực tế của lớp 12 
 PHẦN B : CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG THỰC TẾ 
Qua tìm hiểu, tổng hợp và phân tích, tác giả nhận thấy các bài toán thực tế liên quan đến 
việc sự dụng đạo hàm có thể chia thành 2 phần lớn: 
 Một là, các bài toán thực tế đã được mô hình hóa bằng một hàm số toán học. 
Qua các ví dụ minh họa sau đây, tác giả sẽ chỉ ra cho bạn đọc những dạng toán thường 
gặp là gì ? Các lĩnh vực khoa học khác đã ứng dụng đạo hàm như thế nào trong việc giải 
quyết bài toán mà họ đã đặt ra ? 
 Hai là, các bài toán thực tế mà mô hình thực tiễn chưa chuyển về mô hình toán 
học. Như chúng ta biết, để có thể ứng dụng đạo của hàm số thì trước tiên ta phải “thiết 
lập được hàm số”. Như vậy ta có thể mô tả quy trình mô hình hóa dưới đây 
Ta có thể cụ thể hóa 3 bước của quá trình mô hình hóa như sau: 
 Bước 1: Dựa trên các giả thiết và yếu tố của đề bài, ta xây dựng mô hình Toán 
học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả “dưới dạng ngôn ngữ Toán học” cho mô hình 
mô phỏng thực tiễn. Lưu ý là ứng với vấn đề được xem xét có thể có nhiều mô hình toán 
học khác nhau, tùy theo các yếu tố nào của hệ thống và mối liên hệ giữa chúng được xem 
là quan trọng ta đi đến việc biểu diễn chúng dưới dạng các biến số, tìm các điều kiện 
tồn tại của chúng cũng như sự ràng buộc, liên hệ với các giả thiết của đề bài. 
 Bước 2: Dựa vào các kiến thức liên quan đến vấn đề thực tế như trong kinh tế, đời 
sống, trong khoa học kỹ thuật như Vật lý, Hóa học, Sinh học,... Ta thiết lập hoàn chỉnh 
hàm số phụ thuộc theo một biến hoặc nhiều biến. (Ở đây trong nội dung đang xét ta chỉ 
xét với tính huống 1 biến). 
 Bước 3: Sử dụng công cụ đạo hàm của hàm số để khảo sát và giải quyết bài toán 
hình thành ở bước 2. Lưu ý các điều kiện ràng buộc của biến số và kết quả thu được có 
phù hợp với bài toán thực tế đã cho chưa . 
Sau đây để bạn đọc hiểu rõ hơn, tác giả sẽ lấy các ví dụ minh họa được trình bày theo 
các chủ đề ứng dụng đạo hàm: 
● Trong Hình học (bài toán 1 đến bài toán 11 ). 
● Trong Vật lý (bài toán 12 đến bài toán 17). 
● Trong Kinh tế (bài toán 18 đến bài toán 21). 
● Trong Đời sống và các lĩnh vực khác (bài toán 22 đến bài toán 28). 
Bài toán 1. Từ một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước là ab với ab. Người ta cắt bỏ 
4 hình vuông bằng nhau ở 4 góc rồi gò thành một hình hộp chữ nhật không có nắp. Hỏi 
cạnh của hình vuông cắt đi phải bằng bao nhiêu để hình hộp đó có thể tích lớn nhất ? 
 Phân tích: 
 11