Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số

 MỤC LỤC
 NỘI DUNG TRANG
 1. Lời giới thiệu 2
 2. Tên sáng kiến 3
 3. Tác giả sáng kiến 3
 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến 3
 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến 3
 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu 3
 7. Mô tả bản chất của sáng kiến 3
 7.1. Về nội dung của sáng kiến 3
 7.1.1. Hệ thống kiến thức 4
 7.1.2. Phương pháp 5
 7.1.3. Các dạng toán thương gặp 6
 7.1.4. Bài tập tự giải 27
 7.1.5. Các câu hỏi trong các đề thi THPTQG, thi TNTHPT 35
 7.2. Về khả năng áp dụng của sáng kiến 42
 8. Những thông tin cần được bảo mật 43
 9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến 43
 10. Đánh giá lợi ích thu được do áp dụng sáng kiến 43
 11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp 45
dụng sáng kiến lần đầu 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46
 1 2.Tên sáng kiến: 
 “ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ”
3. Tác giả sáng kiến:
 - Họ và tên: Dương Thị Kiều Nhung.
 - Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường PTDTNT CẤP 2-3 Vĩnh Phúc.
 - Số điện thoại:0973938419. E_mail:duongnhung.dtnt@gmail.com
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Dương Thị Kiều Nhung.
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
 Giảng dạy cho học sinh lớp 12, học sinh giỏi Tỉnh và học sinh ôn thi TNTHPT, học 
sinh thi đánh giá năng lực..
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 1/9/2020.
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
7.1. Về nội dung của sáng kiến: 
 Trước khi triển khai đề tài tôi cho hai lớp 12 của trường là lớp 12A1, 12A2 kiểm tra 
với đề bài như sau: 
Đề bài (thời gian làm bài 30')
 1
Câu 1: ( 4 đ)Tìm m để hàm số y x3 2x2 2m 1 x 3m 2 nghịch biến trên ¡ .
 3
Câu 2: (3 đ). 
Tìm m để hàm số y 2x3 3 2m 1 x2 6m m 1 x 7 đồng biến trên 1;2 
Câu 3 ( 3 đ) Tìm tham số m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m chỉ nghịch biến trên một đoạn 
có độ dài bằng 3.
 Nhận xét:
Kết quả định tính: Sau khi kiểm tra tôi thấy học sinh còn tồn tại như sau:
 3 + Nếu K là một khoảng hoặc một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết 
“Hàm số y= f(x ) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn: Nếu hàm số y=f(x) 
liên tục trên đoạn a;b và có đạo hàm f '(x) 0,x K trên khoảng a;b thì hàm số đồng 
biến trên đoạn a;b .
 + Nếu f '(x) 0,x K ( hoặc f '(x) 0,x K ) và f '(x) 0 tại một số hữu hạn điểm 
của tập K thì hàm số đồng biến trên K (hoặc nghịch biến trên K).
7.1. 2. PHƯƠNG PHÁP 
1. Lập bảng xét dấu của một biểu thức P(x)
Bước 1: Tìm nghiệm của biểu thức P(x) hoặc giá trị của x làm cho biểu thức P(x) không xác 
 định.
Bước 2: Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.
Bước 3: Sử dụng máy tính tìm dấu của P(x) trên từng khoảng của bảng xét dấu.
2. Xét tính đơn diệu của hàm y=f(x) trên tập xác định
Bước 1: Tim tập xác định D.
Bước 2: Tính đạo hàm y ' f '(x) .
Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình f '(x) 0 hoặc những giá trị của x để cho f '(x) 
 không xác định.
Bước 4: Lập bảng biến thiên.
Bước 5: Kết luận.
3. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y=f(x) đồng biến, nghịch biến trên a;b cho 
trước.
Cho hàm số y f (x;m) có tập xác định K, khoảng a;b  K.
 + Hàm số nghịch biến trên a;b y ' 0,x (a;b) . 
 + Hàm số đồng biến trên a;b y ' 0,x (a;b) .
• Chú ý: 
- Đối với hàm số đa thức thì:
 + Hàm số nghịch biến trên a;b y ' 0,x (a;b) .
 + Hàm số đồng biến trên a;b y ' 0,x (a;b) .
 5 y
 -1 1
 O x
 -1
 -2
 A. 1 B. 1;1 C. 1;0 D. 0;1 
 Lời giải
 Từ đồ thị, ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng 1;0 và 1; . Vậy chọn C.
Bài toán 2 : Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau
 Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
 A. 2;3 B. 3; C. ; 2 D. 2; 
 Lời giải
 Từ bảng biến thiên ta có đạo hàm dương trên khoảng ( -2; 3). Vậy hàm số đồng biến trên ( 
 -2; 3).
Bài toán 3: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:
 Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
 A. 0; B. ; 2 C. 0;2 D. 2;0 
 Lời giải
 Từ bảng biến thiên hàm số có đạo hàm âm trên ( -2; 0) và ,(2;+∞.) .Vậy đáp án D
 Dạng 2. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số cho trước:
Bài toán 1: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng ; ?
 7 Giới hạn: lim y ; lim y 
 x x 
 Bảng biến thiên:
 Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 0; .
Dạng 3. Tìm m để hàm số đơn điệu trên các khoảng xác định của nó
 1
Bài toán 1: Cho hàm số y x3 mx2 3m 2 x 1. Tìm tất cả giá trị của m để hàm số 
 3
nghịch biến trên ¡ .
 m 1 m 1
 A. . B. 2 m 1. C. 2 m 1. D. .
 m 2 m 2
 Lời giải
 TXĐ: D = ¡ , y¢= - x2 + 2mx + 3m + 2 .
 Hàm số nghịch biến trên ¡ khi và chỉ khi y 0 , x ¡
 a 1 0
 2 2 m 1. Vậy chọn B.
 m 3m 2 0
Bài Toán 2:Tìm m để hàm số y x3 3mx2 3 2m 1 1 đồng biến trên ¡ .
 A. Không có giá trị m thỏa mãn. B. m 1.
 C. m 1. D. Luôn thỏa mãn với mọi m .
 Lời giải
 y 3x2 6mx 3 2m 1 
 Ta có: 3m 2 3.3. 2m 1 . Để hàm số luôn đồng biến trên ¡ thì 0
 2
 9m2 18m 9 0 9 m2 2m 1 0 9 m 1 0 m 1. Vậy chọn C.
 9 Tổng hợp các trường hợp ta được 3 m 0 .
 m ¢ m 3; 2; 1;0 .
 Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài ra. Vậy chọn A.
Bài toán 5:Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y m 1 x3 3 m 1 x2 3x 2 đồng 
biến biến trên ¡ ?
 A. 1 m 2 . B. 1 m 2 . C. 1 m 2 . D. 1 m 2
 Lời giải
 Ta có y 3 m 1 x2 6 m 1 x 3 .
 m 1 0
 Hàm số đã cho đồng biến trên ¡ khi và chỉ khi y 0,x ¡ m 1 0 
 0
 m 1 m 1
 m 1 
 m 1 1 m 2. Vậy chọn C
 2 
 1 m 2
 9 m 1 9 m 1 0 
 x 2
Bài toán 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y đồng biến trên 
 x 3m
khoảng ; 6 .
 A. 2 B. 6 C. Vô số D. 1
 Lời giải
 Tập xác định: D ; 3m  3m; .
 3m 2
 Ta có y 
 x 3m 2
 2
 3m 2 0 m 2
 Hàm số đổng biến trên khoảng ; 6 3 m 2 .
 6 3m 3
 m 2
 Mà m nguyên nên m 1;2 . Vậy chọn A
 x 1
Bài toán 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y nghịch biến 
 x 3m
trên khoảng 6; ?
 11 Ta có f ' x 6x 12; f ' x 0 x 2 .
 Khi đó, ta có bảng biến thiên
 3
 Suy ra min f x 3 4m 3 m . Vậy chọn A.
 ;0 4
Bài toán 2: Cho hàm số y x3 3x2 mx 4 . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để 
hàm số đồng biến trên khoảng ;0 là
 A. 1;5 . B. ; 3 . C. ; 4. D. 1; .
 Lời giải
 Ta có y 3x2 6x m .
 Để hàm số đồng biến trên khoảng ;0 thì y 0, x ;0 
 3x2 6x m 0,x ;0 
 m 3x2 6x,x ;0 .
 Đặt g x 3x2 6x , hàm số g x có bảng biến thiên
 Dựa vào bảng biến thiên ta có m 3x2 6x,x ;0 m 3. Vậy chọn B
Bài toán 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm 
 mx3
số y f (x) 7mx2 14x m 2 giảm trên nửa khoảng [1; ) ?
 3
 14 14 14 14 
 A. ; . B. 2; . C. ; . D. ; .
 15 15 15 15 
 13 2x 6
 Ta có: g x ; g x 0 x 3
 3x3
 BBT x 3 0
 1
 Vậy m max g x . 1
  3;0 
 3 3
 Vậy chọn D
 Dạng 5. Tìm m để hàm số khác đơn điệu trên khoảng cho trước
 tan x 2
Bài toán 1 :Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y đồng 
 tan x m
biến trên khoảng 0; .
 4 
 A. m 0 hoặc1 m 2 B. m 0 C. 1 m 2 D. m 2
 Lời giải
 Đặt t tan x , vì x 0; t 0;1 
 4 
 t 2
 Xét hàm số f t t 0;1 . Tập xác định: D ¡ \ m
 t m
 2 m
 Ta có f t .
 t m 2
 tan x 2
 Ta thấy hàm số t x tan x đồng biến trên khoảng 0; . Nên để hàm số y 
 4 tan x m
 đồng biến trên khoảng 0; khi và chỉ khi: f t 0t 0;1 
 4 
 m 2
 2 m 2 m 0 
 2 0t 0;1 m 0 m ;01;2 . Vậy chọn A.
 t m m 0;1 
 m 1
 1
Bài toán 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y x3 mx 
 5x5
đồng biến trên khoảng 0; 
 A. 0 B. 4 C. 5 D. 3
 Lời giải
 15