Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

 GiĂo viản: TrƯn Đỡnh Hiãn - Trường THPT Đặng Thỳc Hựa - Nghằ An
 MỤC LỤC
 Mục lục.................................................. 1
 Lời núi đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Chương 1.GiĂ trị nhỏ nhĐt, giĂ trị lớn nhĐt cừa hàm số . . . . . . . . . . . . . 4
 1.1.Mởt số kián thực cơ sở vã đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
 1.2.GiĂ trị nhỏ nhĐt, giĂ trị lớn nhĐt cừa hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
 1.3.Mởt số vẵ dụ tẳm giĂ trị nhỏ nhĐt, giĂ trị lớn nhĐt cừa hàm số 6
Chương 2.Kỹ thuêt giÊm bián trong bài toĂn tẳm giĂ trị nhỏ nhĐt, giĂ trị
 lớn nhĐt cừa biºu thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
 2.1.Bài toĂn tẳm giĂ trị nhỏ nhĐt, giĂ trị lớn nhĐt cừa biºu thực bơng
 phương phĂp thá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
 2.2.Bài toĂn tẳm giĂ trị nhỏ nhĐt, giĂ trị lớn nhĐt cừa biºu thực đối
 xựng........................................................ 12
 2.3.Bài toĂn tẳm giĂ trị nhỏ nhĐt, giĂ trị lớn nhĐt cừa biºu thực thº
 hiằn tẵnh đẳng cĐp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
 2.4.Bài toĂn tẳm giĂ trị nhỏ nhĐt, giĂ trị lớn nhĐt cừa biºu thực chựa
 ba bián...................................................... 30
 Kát luên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
 Tài liằu tham khÊo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
 1 GiĂo viản: TrƯn Đỡnh Hiãn - Trường THPT Đặng Thỳc Hựa - Nghằ An
 Chương 1. GiĂ trị nhỏ nhĐt, giĂ trị lớn nhĐt cừa hàm số. Trong chương
này, chỳng tụi trẳnh bày cĂc kián thực cơ sở cƯn thiát để giÊi bài toĂn tẳm giĂ trị
nhỏ nhĐt, giĂ trị lớn nhĐt cừa hàm số. é cuối chương, chỳng tụi đưa ra mởt số vẵ
dụ minh hoÔ.
 Chương 2. Kỹ thuêt giÊm bián trong bài toĂn tẳm giĂ trị nhỏ nhĐt, giĂ
trị lớn nhĐt cừa biºu thực. Trong chương này, chỳng tụi trẳnh bày chi tiát cĂc
dÔng toĂn tẳm giĂ trị nhỏ nhĐt, giĂ trị lớn nhĐt cừa mởt biºu thực chựa hai bián
mà điều kiằn ràng buởc cừa hai bián hoặc biºu thực thº hiằn tẵnh đối xựng hoặc
tẵnh đẳng cĐp, trẳnh bày mởt số dÔng toĂn tẳm giĂ trị nhỏ nhĐt, giĂ trị lớn nhĐt
cừa mởt biºu thực chựa ba bián bơng cĂch đặt ân phụ hoặc thá hai bián qua mởt
bián cỏn lÔi.
 TĂc giÊ xin gỷi lời cÊm ơn chƠn thành tới cĂc thƯy giĂo trong tờ ToĂn, cựng cĂc
em học sinh lớp 12A-K30, 10C1-K33 trường THPT Đặng Thỳc Hựa đó cởng tĂc,
giỳp đỡ tĂc giÊ trong suốt quĂ trẳnh nghiản cựu và hoàn thiằn bài biát.
 Trong quĂ trẳnh thực hiằn bài viát này, mặc dự đó rĐt cố gưng nhưng khụng thº
trĂnh khỏi nhỳng hÔn chá, thiáu sút. TĂc giÊ rĐt mong nhên được nhỳng ý kián
đúng gúp cừa quý thƯy cụ, cĂc bÔn và cĂc em học sinh để bài viát được hoàn thiằn
hơn.
 Xin trƠn trọng cÊm ơn!
 Thanh Chương, thĂng 05 nôm 2011
 TĂc giÊ
 3 GiĂo viản: TrƯn Đỡnh Hiãn - Trường THPT Đặng Thỳc Hựa - Nghằ An
1.1.3 Nhên x²t. Đạo hàm cừa mởt số hàm phƠn thực hỳu t¿ thường gặp
 ax+b 0 ad−cb
 1. Cho hàm số y = cx+d với a:c 6= 0; ad − cb 6= 0. Ta cú y = (cx+d)2 :
 ax2+bx+c 0 amx2+2anx+bn−mc
 2. Cho hàm số y = mx+n với a:m 6= 0. Ta cú y = (mx+n)2 :
 2
 ax2+bx+c 0 (an−mb)x +2(ap−mc)x+(bp−nc)
 3. Cho hàm số y = mx2+nx+p với a:m 6= 0. Ta cú y = (mx2+nx+p)2 :
1.2. GiĂ trị nhỏ nhĐt, giĂ trị lớn nhĐt cừa hàm số
 Trong mục này chỳng tụi trẳnh bày lÔi mởt số kián thực vã bài toĂn tẳm giĂ trị
nhỏ nhĐt, giĂ trị lớn nhĐt cừa hàm số.
1.2.1 Định nghĩa. GiÊ sỷ hàm số f xĂc định trản têp hủp D ⊂ R.
 a) Náu tồn tÔi mởt điểm x0 2 D sao cho f(x) ≤ f(x0) với mọi x 2 D thẳ số
M = f(x0) được gọi là giĂ trị lớn nhĐt cừa hàm số f trản D, ký hiằu là M = maxf(x).
 x2D
 b) Náu tồn tÔi mởt điểm x0 2 D sao cho f(x) ≥ f(x0) với mọi x 2 D thẳ số
m = f(x0) được gọi là giĂ trị nhỏ nhĐt cừa hàm số f trản D, ký hiằu là m = minf(x).
 x2D
1.2.2 Nhên x²t. Như vêy, muốn chựng tỏ rơng số M (hoặc m) là giĂ trị lớn nhĐt
(hoặc giĂ trị nhỏ nhĐt) cừa hàm số f trản têp hủp D cƯn ch¿ ró:
 a) f(x) ≤ M (hoặc f(x) ≥ m) với mọi x 2 D:
 b) Tồn tÔi ẵt nhĐt mởt điểm x0 2 D sao cho f(x0) = M (hoặc f(x0) = m).
1.2.3 Nhên x²t. Người ta đó chựng minh được rơng hàm số liản tục trản mởt
đoạn thẳ đạt được giĂ trị nhỏ nhĐt và giĂ trị lớn nhĐt trản đoạn đú.
 Trong nhiãu trường hủp, cú thº tẳm giĂ trị lớn nhĐt và giĂ trị nhỏ nhĐt cừa hàm
số trản mởt đoạn mà khụng cƯn lêp bÊng bián thiản cừa nú.
 Quy tưc tẳm giĂ trị nhỏ nhĐt, giĂ trị lớn nhĐt cừa hàm f trản đoạn [a; b] như
sau:
 1. Tẳm cĂc điểm x1; x2; :::; xn thuởc khoÊng (a; b) mà tÔi đú f cú đạo hàm bơng 0
hoặc khụng cú đạo hàm.
 5 GiĂo viản: TrƯn Đỡnh Hiãn - Trường THPT Đặng Thỳc Hựa - Nghằ An
1.3.4 Bài têp. Tẳm giĂ trị nhỏ nhĐt và giĂ trị lớn nhĐt cừa hàm số
 p p p
 2 1 − x4 + 1 + x2 + 1 − x2 + 3
 f(x) = p p :
 1 + x2 + 1 − x2 + 1
 p p p
 Hướng dăn. Đặt t = 1 + x2 + 1 − x2, 2 ≤ t ≤ 2.
1.3.5 Bài têp. Tẳm giĂ trị nhỏ nhĐt và giĂ trị lớn nhĐt cừa hàm số
 p
 f(x) = (x + 1) 1 − x2:
 BÔn đọc tự giÊi.
1.3.6 Bài têp. Tẳm giĂ trị nhỏ nhĐt và giĂ trị lớn nhĐt cừa hàm số
 f(x) = x6 + 4(1 − x2)3; với x 2 [−1; 1]:
 BÔn đọc tự giÊi.
1.3.7 Bài têp. Tẳm giĂ trị nhỏ nhĐt và giĂ trị lớn nhĐt cừa hàm số
 π π
 f(x) = sin 2x − x; với x 2 [− ; ]:
 2 2
 BÔn đọc tự giÊi.
1.3.8 Bài têp. Tẳm giĂ trị nhỏ nhĐt và giĂ trị lớn nhĐt cừa hàm số
 2x + 3
 f(x) = p :
 x2 + 1
 BÔn đọc tự giÊi.
1.3.9 Bài têp. Tẳm giĂ trị nhỏ nhĐt và giĂ trị lớn nhĐt cừa hàm số
 p
 f(x) = x( 1 − x2 + x):
 BÔn đọc tự giÊi.
 7 GiĂo viản: TrƯn Đỡnh Hiãn - Trường THPT Đặng Thỳc Hựa - Nghằ An
Tứ bÊng bián thiản ta cú min f(x) = f(1) = 5: Do đú min P = 5 đạt được khi
 5
 x2(0; 4 )
 1
x = 1; y = 4 :
 Nhên x²t. Bài toĂn này được giÊi bơng cĂch thá mởt bián qua mởt bián cỏn lÔi
và x²t hàm số chựa mởt bián.
2.1.2 Vẵ dụ. Cho x; y 2 R thoÊ mÂn y ≤ 0; x2 + x = y + 12: Tẳm giĂ trị nhỏ nhĐt,
giĂ trị lớn nhĐt cừa biºu thực P = xy + x + 2y + 17:
 Bài làm. Tứ giÊ thiát y ≤ 0; x2+x = y+12 ta cú y = x2+x−12 và x2+x−12 ≤ 0 hay
−4 ≤ x ≤ 3: Khi đú P = x3+3x2−9x−7: X²t hàm số f(x) = x3+3x2−9x−7; x 2 [−4; 3]:
Ta cú f 0(x) = 3(x2 + 2x − 3), f 0(x) = 0 , x = −3 v x = 1: Ta cú bÊng bián thiản
 x −4 −3 1 3
 f 0(x) + 0 − 0 +
 20 20
 f(x)   @  
   @  
   @R  
 −13 −12
Tứ bÊng bián thiản ta cú min f(x) = f(1) = −12, max f(x) = f(−3) = f(3) = 20:
 x2[−4;3] x2[−4;3]
Do đú min P = −12 đạt được khi x = 1; y = −10 và max P = 20 đạt được khi
x = −3; y = −6 hoặc x = 3; y = 0:
 Nhên x²t. Bài toĂn này được giÊi bơng cĂch thá mởt bián qua mởt bián cỏn lÔi
nhưng phÊi đỏnh giĂ bián cỏn lÔi. Tứ đú tẳm giĂ trị nhỏ nhĐt, giĂ trị lớn nhĐt cừa
hàm số chựa mởt bián bị chặn.
2.1.3 Vẵ dụ. Cho x; y > 0 thoÊ mÂn x + y = 1. Tẳm giĂ trị nhỏ nhĐt cừa biºu thực
 x y
 P = p + p :
 1 − x 1 − y
 Bài làm. Tứ giÊ thiát x; y > 0, x + y = 1 ta cú y = 1 − x, 0 < x < 1. Khi đú
ta cú P = p x + 1p−x : X²t hàm số f(x) = p x + 1p−x , f 0(x) = 2−px − x+1p ,
 1−x x 1−x x 2(1−x) 1−x 2x x
 9 GiĂo viản: TrƯn Đỡnh Hiãn - Trường THPT Đặng Thỳc Hựa - Nghằ An
2.1.7 Bài têp. Cho x; y > 0 thoÊ mÂn x + y = 1. Tẳm giĂ trị nhỏ nhĐt cừa biºu
 2 2 1 1
thực P = x + y + x2 + y2 .
 BÔn đọc tự giÊi.
2.1.8 Bài têp. Cho x + y = 1. Tẳm giĂ trị nhỏ nhĐt cừa biºu thực
 P = x3 + y3 + 3(x2 − y2) + 3(x + y):
 BÔn đọc tự giÊi.
2.1.9 Bài têp. Cho a; b; x; y 2 R thoÊ mÂn 0 < a; b ≤ 4; a + b ≤ 7 và 2 ≤ x ≤ 3 ≤ y.
 2x2+y2+2x+y
Tẳm giĂ trị nhỏ nhĐt cừa biºu thực P = xy(a2+b2) .
 Hướng dăn. Tẳm giĂ trị lớn nhĐt cừa Q = a2 + b2, X²t hàm số g(y) = f(x; y) với
ân y và x là tham số, tẳm giĂ trị nhỏ nhĐt cừa g(y) là h(x). Sau đú tẳm giĂ trị nhỏ
nhĐt cừa hàm số h(x) với x 2 [2; 3].
2.1.10 Bài têp. Cho x; y 2 R thoÊ mÂn x3 ≤ y. Tẳm giĂ trị nhỏ nhĐt cừa biºu thực
 P = x2 + y2 − 8x + 16:
 Hướng dăn. Náu x > 0 thẳ x6 ≤ y2 tứ đú x²t hàm số f(x) = x6 + x2 − 8x + 16.
Náu x ≤ 0 thẳ x2 + y2 − 8x + 16 ≥ 16 với mọi x ≤ 0, x3 ≤ y.
2.1.11 Bài têp. Cho x; y 2 (0; 1) thoÊ mÂn x + y = 1. Tẳm giĂ trị nhỏ nhĐt cừa
biºu thực P = xx + yy.
 x f(x)+f(y) x+y
 Hướng dăn. X²t hàm số f(x) = x , x 2 (0; 1). Chựng minh 2 ≥ f( 2 ):
 p
 x 1−x 1
Ta cú P = x + (1 − x) = f(x) + f(1 − x) ≥ 2f( 2 ) = 2:
2.1.12 Bài têp. Cho x; y > 0 thoÊ mÂn x + y = 2. Chựng minh rơng xy ≤ xxyy.
 BÔn đọc tự giÊi.
 11 GiĂo viản: TrƯn Đỡnh Hiãn - Trường THPT Đặng Thỳc Hựa - Nghằ An
 Bài làm. Đặt t = x + y. Tứ giÊ thiát x2 + y2 + xy = x + y + 1 ta cú (x + y)2 − xy =
(x + y) + 1 hay xy = t2 − t − 1. Áp dụng bĐt đẳng thực (x + y)2 ≥ 4xy suy ra
 2 2 t2−t−1 t2−t−1
3t − 4t − 4 ≤ 0 hay − 3 ≤ t ≤ 2. Khi đú P = t+1 . X²t hàm số f(t) = t+1 ,
 0 t2+2t 0
f (t) = (t+1)2 , f (t) = 0 , t = 0 v t = −2(loÔi). BÊng bián thiản
 2
 t − 3 0 2
 f 0(t) − 0 +
 1 1
 3 3
 f(t) @  
 @  
 @R  
 −1
Tứ bÊng bián thiản ta cú min P = min f(t) = f(0) = −1 đạt đưủc khi (x; y) =
 2
 t2[− 3 ;2]
(−1; 1) hoặc (x; y) = (1; −1) và max P = max f(t) = f(− 2 ) = f(2) = 1 đạt được khi
 2 3 3
 t2[− 3 ;2]
 1
x = y = − 3 hoặc x = y = 1.
2.2.4 Vẵ dụ. Cho x; y 2 R thoÊ mÂn 0 < x; y ≤ 1 và x + y = 4xy. Tẳm giĂ trị nhỏ
nhĐt, giĂ trị lớn nhĐt cừa biºu thực P = x2 + y2 − xy.
 t
 Bài làm. Đặt t = x + y. Tứ giÊ thiát 0 < x; y ≤ 1 và x + y = 4xy suy ra xy = 4 và
 2 2 3 2 3 0 3
1 ≤ t ≤ 2. Khi đú P = (x+y) −3xy = t − 4 t. X²t hàm số f(t) = t − 4 t, f (t) = 2t− 4 ,
 0 3
f (t) = 0 , t = 8 (loÔi). BÊng bián thiản
 t 1 2
 f 0(t) +
 5
 2
 f(t)  
 1
 4
 1 1
Tứ bÊng bián thiản ta cú min P = min f(t) = f(1) = 4 đạt được khi x = y = 2
 t2[1;2]
 p p
 5 2− 2 2+ 2
và max P = max f(t) = f(2) = 2 đạt được khi (x; y) = ( 2 ; 2 ) hoặc (x; y) =
 t2[1;2]
 p p
 2+ 2 2− 2
( 2 ; 2 ).
 13