Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng đạo hàm để giải một số phương trình và phương trình chứa tham số

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
 TR ƯỜ NG THPT NGUYỄN QUÁN NHO
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 TÊN ĐỀ TÀI
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG 
 TRÌNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ
 Người thực hiện: Nguyễn Thị Lan
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
 THANH HOÁ NĂM 2016
 1 1. Mở đầu 
a. Lí do chọn đề tài
 1. Toán học là môn khoa học cơ bản của các môn học khác, đòi 
hỏi người học, người dạy phải đam mê, tâm huyết, tỉ mĩ và kiên nhẫn 
mới có thể nắm được. Nó là môn học khó, trừu tượng với thời lượng và 
nội dung chương trình sâu gây khó khăn cho người học và người dạy. 
Thực tế cho thấy nhiều học sinh đam mê, yêu thích môn toán nhưng kết 
quả thi HSG, thi đại học không cao so với các môn khác. 
 2. Bài toán tham số là các bài toán thường gặp trong các kì thi 
học sinh giỏi, tuyển sinh đại học và cao đẳng. Đây là bài toán có nhiều 
phương pháp giải và học sinh thường lúng túng hay mắc sai lầm khi 
giải quyết. Khi giảm tải chương trình thì các dạng toán phải sử dụng 
định lí đảo của tam thức bậc hai không thể vận dụng được nên học sinh 
phải vận dụng chủ yếu định lý Viét và một số cách giải khác như hàm 
số hoặc “điều kiện cần - đủ” để giải quyết các bài toán chứa tham số 
dẫn đến cách giải phức tạp. Do đó học sinh rất khó rèn luyện tốt phần 
này. Bên cạnh đó, đạo hàm là một nội dung quan trọng của chương 
trình toán THPT. Nó vừa là đối tượng, nhưng hơn thế nó vừa là công 
cụ hữu hiệu để giải quyết nhiều vấn đề phức tạp của toán THPT. Trong 
đó có việc ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán phương trình, 
phương trình chứa tham số. 
 3. Chúng ta biết rằng trong các đề thi đại học và đề thi HSG cấp 
tỉnh những năm gần đây bao giờ cũng có ít nhất một bài toán chứa 
tham số. Đó là những dạng toán khó đối với học sinh, có nhiều bài 
không thể giải được bằng phương pháp đại số thông thường, kinh điển 
hoặc có thể giải được nhưng gặp nhiều khó khăn, phức tạp.
Với việc sử dụng đạo hàm để giải các bài toán về phương trình, 
phương trình chứa tham số sẽ được giải quyết một cách rất tự nhiên, 
ngắn gọn và dễ hiểu
 Về vấn đề này, cũng đã có rất nhiều tài liệu, sáng kiến kinh 
nghiệm (SKKN). Tuy nhiên tài liệu viết chuyên sâu, hệ thống về những 
ứng dụng của đạo hàm để giải các bài toán phương trình, phương trình 
chứa tham số không nhiều và học sinh thường gặp khó khăn, lúng túng 
trong việc nhận diện, giải quyết dạng toán.
 Do đó việc chọn lựa một đề tài SKKN nhằm góp phần giải quyết 
vấn đề trên là việc làm phù hợp với thực tiễn, thể hiện tình yêu nghề 
 3 - Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của giáo viên và HS 
thông qua trao đổi trực tiếp).
- Phương pháp thực nghiệm.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 
a. Lí luận chung:
 Chương trình giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự 
giác, chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc trưng môn học, 
đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện của từng lớp học, bồi dưỡng 
học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác, rèn luyện kỹ năng vận 
dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, 
hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh. 
b. Kiến thức vận dụng:
+ Định nghĩa đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm, các công thức tính 
đạo hàm của các hàm số thường gặp, công thức tính đạo hàm của hàm 
hợp.
+ Để giải các phương trình có chứa tham số bằng phương pháp đạo 
hàm ta cần nắm cần nắm vững các mệnh đề (MĐ) sau:
Cho hàm số y f (x) liên tục trên tập D
 MĐ1: Số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) bằng số giao điểm 
của hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x).
 MĐ2: Phương trình f (x) m có nghiệm x D
 min f x m max f x 
 x D x D
 MĐ3: Cho hàm số y f (x) đơn điệu trên tập D. Khi đó 
 f u f v u v (với mọi u,v D )
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 
Qua thực tiễn học tập và giảng dạy, bản thân nhận thấy ứng dụng của 
đạo hàm trong giải các bài toán cấp THPT là rất đa dạng, đặc biệt là 
trong giải các phương trình và phương trình chứa tham số. Nhưng học 
sinh thường không mạnh dạn, tự tin sử dụng công cụ rất mạnh này (hay 
nói cách khác là chưa có kỹ năng sử dụng) trong giải toán vì:
- Đạo hàm là phần kiến thức mới với học sinh, gắn liền với toán học 
hiện đại, học sinh bắt đầu được làm quen ở cuối chương trình lớp 11. 
Trong khi đó từ cấp THCS đến cấp THPT học sinh đã được tiếp xúc 
 5 Bước 3: Tính f ' x 
 Bước 4: Lập bảng biến thiên của hàm số f x 
 Bước 5: Xác định min f x và max f x 
 x D x D
 Từ đó vận dụng một trong các mệnh đề đã nêu ở phần kiến thức 
bên trên rút ra kết luận cho bài toán.
Lưu ý: Trường hợp các phương trình chứa các biểu thức phức tạp, ta có 
thể xem xét đặt ẩn phụ để đơn giản chúng. Nếu được ta làm như sau:
+ Đặt t x ( (x) là một biểu thức trong phương trình )
+ Từ điều kiện ràng buộc của ẩn số x D , tìm điều kiện của ẩn số t, ví 
dụ t K (chú ý là phải tìm được điều kiện chặt của t)
+ Đưa phương trình ẩn số x về phương trình ẩn số t ta được f t h m 
+ Lập bảng biến thiên của hàm số f t trên tập K.
+ Từ bảng biến thiên rút ra kết luận bài toán.
 Các ví dụ minh họa
Dạng 1: Giải phương trình không chứa tham số
Ví dụ 1: Giải phương trình: 4x 1 4x2 1 1 (1)
 Nhận xét:
 Quan sát vế trái của phương trình (1), ta thấy khi x tăng thì giá trị 
của biểu thức trong căn cũng tăng.Từ đó suy ra vế trái là hàm đồng 
biến,vế phải bằng 1 là hàm hằng, đây là điều kiện thích hợp để sử dụng 
tính đơn điệu.
 Hướng dẫn giải 
 1
Điều kiện: x 
 2
Đặt f x 4x 1 4x2 1
 1 1
Ta có: f ( ) 0 x là 1 nghiệm của phương trình
 2 2
 ' 2 4x 1 
Ta có f x 0,x ; 
 4x 1 4x2 1 2 
 2 1 
Do đó hàm số f x 4x 1 4x 1 đồng biến trên ; , nên phương 
 2 
trình f x 1 nên nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất. 
 1
Vậy x là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
 2
 7 Ví dụ 5: Giải phương trình : 3x(2 9x2 3) (4x 2)( 1 x x2 1) 0
 (Olympic 30-4 ĐBSCL 2000)
 Hướng dẫn giải
 1
Ta thấy phương trình chỉ có nghiệm trong ( ;0)
 2
Phương trình 3x (2 ( 3x)2 3) (2x 1)(2 (2x 1)2 3) * 
Đặt u = - 3x, v = 2x + 1; u,v > 0. 
Phương trình * u(2 u2 3) v(2 v2 3) (1)
Xét hàm số f (t) 2t t4 3t2 với t>0
 2t3 3t
Ta có f '(t) 2 0 t 0 f (u) f (v) u v
 t4 3t2
 1
Phương trình (1) u = v -3x = 2x +1 x 
 5
 1
Vậy x là nghiệm duy nhất của phương trình 
 5
 2
Ví dụ 6: Giải phương trình : 2x x 2x 1 x 1 2 (1)
 Hướng dẫn giải
 2 2
Phương trình 1 2x x 2x 1 x2 2x 1 2x 1 x 1 2x x x2 x 2 
Xét hàm số f t 2t t.
Ta có f t 1 2t ln 2 0,t R nên hàm số f t 2t t đồng biến trên R.
Do đó f x 1 f x2 x x 1 x2 x x 1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : x = 1
Nhận xét: Ở các ví dụ 1 đến ví dụ 6 đều sử dụng các tính chất: Nếu 
hai vế của phương trình đơn điệu ngược chiều (vế luôn đồng biến, vế 
kia luôn nghịch biến trên cùng tập K) hoặc một vế đơn điệu, vế kia là 
hằng số thì phương trình có tối đa một nghiệm nên nếu nhẩm được một 
nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất.
 x2 x 1
Ví dụ 7: Giải phương trình : log x2 3x 2
 3 2x2 2x 3
 Hướng dẫn giải 
 9 Nhận xét:Nếu f x 0 có n nghiệm thì f ' x 0 có không quá n 1 
nghiệm 
Dạng 2: Giải phương trình chứa tham số 
Ví dụ 1. ( ĐH khối A – 2007) Tìm m để phương trình sau có nghiệm 
thực : 3 x 1 m x 1 2 4 x2 1 
 Hướng dẫn giải
Điều kiện: x 1
 x 1 x 1
Phương trình đã cho 3 2 4 m ( 1 )
 x 1 x 1
 x 1
Đặt t 4 . Khi đó phương trình ( 1 ) trở thành : 3t 2 2t m 
 x 1
 x 1 2
Vì t 4 4 1 
 x 1 x 1
 x 1
Xét hàm số t x 4 trên đoạn 1; 
 x 1
 3
 4
 ' 1 x 1 
Ta có : t x 2 0,x 1
 2 x 1 x 1 
 x 1
 lim t lim 4 1
 Mặt khác x x x 1 0 t 1
 t 1 0
Bài toán đã cho trở thành: 
 f (t) 3t 2 2t m
Tìm m để hệ có nghiệm.
 0 t 1
Ta có f '(t) 6t 2 nên có bảng biến thiên sau:
 1
 t 0 3 1
 f’(t) + 0 -
 f(t) 1
 3 
 0 -1 
 1 1
Khi đó: max f (t) f ( ) ; còn lim f (t) 1
 0 t 1 3 3 t 1 
 11 Tìm m để phương trình x2 mx 2 2x 1 có hai nghiệm thực phân biệt. 
 Hướng dẫn giải
 3x2 4x 1 mx (1)
 2x 1 0 
Phương trình đã cho 2 2 1 . 
 x mx 2 (2x 1) x (2)
 2
Do x = 0 không là nghiệm của (1) với mọi m, nên hệ trên 
 3x 2 4x 1
 f (x) m (3)
 x
 1
 x (4)
 2 .
 2
Ta có f’(x) = 3x 1 và bảng biến thiên 
 x2
 1
 x 2 0 
 f’(x) + +
 f(x) 
 9 
 2
 9
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt m .
 2
Nhận xét: Bài này có thể hướng dẫn học sinh giải bằng cách sử dụng 
lý Viét 
 3x2 (4 m)x 1 0 (1)
 Tìm m để hệ 1 có hai nghiệm phân biệt.
 x (2)
 2
Ví dụ 4. ( ĐH khối B – 2004)
 Tìm m để phương trình sau có nghiệm 
 2 2 4 2 2
 m( 1 x 1 x 2) 2 1 x 1 x 1 x ( 1 )
 Hướng dẫn giải
Điều kiện: 1 x 1
Đặt t 1 x2 1 x2
Ta thấy 1 x2 1 x2 t 0 và t = 0 khi x = 0
Từ t 1 x2 1 x2 t 2 2 2 1 x4 2 t 2 và t 2 khi x 1
Do đó ta có: 0 t 2 
 t 2 t 2
Phương trình ( 1) trở thành: m t 2 t 2 t 2 m ( 2 ) 
 t 2
 13