Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng của phương pháp biến thiên hằng số & định lý lagrange & điều kiện cần và đủ trong giải phương trình

 1
 TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
 KHOA TOÁN
 LỚP SƯ PHẠM TOÁN K29
*Nhóm sinh viên thực hiện :
 Hồ Ngọc Cảnh
 Nguyễn Thị Kiều Chi
 Phạm Thị Yến Chi
 Nguyễn Quốc Chính
 Nguyễn Văn Công
 Huỳnh Thị Mỹ Dung
 Trần Thị Dung
 “Ứng dụng của phương pháp biến thiên 
 hằng số & định lý lagrange & điều kiện 
 cần và đủ trong giải phương trình”
 Giáo viên hướng dẫn: Dương Thanh Vỹ 
 Quy Nhơn 27/ 11/2009 3
 Chương I
 *Phương pháp biến thiên hằng số*
  Thực chất của phương pháp này là sự trao đổi vai trò giữa ẩn số và 
hằng số, ẩn số được xem là tham số và hằng số được xem là ẩn số trong 
phương trình mới.Cụ thể như sau :
 Cho phương trình f(x)=0 
 Sau một số bước biến đổi sơ cấp, ta nhận thấy trong biểu thức f(x) nếu 
viết lại ở một dạng khác là g(t) thì ta có g(a)=0.Với a=const, nghĩa là từ 
phương trình g(t)=0 thay t=a thì được phương trình f(x)=0.
 * Nảy sinh ra ý tưởng là dùng a là ẩn số,x làm tham số trong phương 
trình g(t)=0. Như vậy phương trình g(t)=0 luôn luôn có nghiệm t=a. Và khi 
xét phương trình g(t)=0 không cần điều kiện của t. Đây là điểm khác biệt của 
phương pháp này với phương pháp đặt ẩn phụ. 
 Với g(t)=0, từ phương trình f(x)=0 sau khi biến đổi, nhận xét phương 
trình này có nghiện t=a.
 Giải g(t)=0 ta được nghiệm t phụ thuộc vào x, thay t=a vào giải tìm x.
* Chú ý: - Thông thường phương trình g(t)=0 giải tìm t đơn giản không 
phức tạp như phương trình f(x)=0 ban đầu.
 - Phương pháp này giải được khi từ phương trình f(x)=0 sau vài bước biến 
đổi ta nhận ra hằng số a.
Cách ra đề:- Chọn hằng số làm ẩn cho phương trình mới.
- Lập phương trình nhận hằng số làm nghiệm (phương trình giải được 
nghiệm theo x). 5
 x 1
 5 x 1 (3)
 Khi đó ta có: 2
 x
 5 log5 x (4)
Giải (3) và (4) kết hợp với điều kiện x>1 ta tìm được x.
Cách ra đề: 
 - Chọn u =5x làm nghiệm của phương trình (*).
 - Xây dựng phương trình (*) thành phương trình bậc hai theo u với 
 2
 là 1 số chính phương có thể giải được ( (2log5 x x 1) )
 - Từ (*) thay u=5x, biến đổi sơ cấp giữa các hàm theo biến x có trong 
 phương trình ta được phương trình ban đầu (1).
 - Tùy vào mức độ khó dễ của bài toán mà trong phương trình bậc hai 
 theo u ta chọn các nghiệm u1 , u2 là các hằng số ,hàm số theo x. Sau 
 u 5x f(x)
 khi giải ta được 
 x
 u 5 g(x)
* Chú ý: Phương pháp này khác với phương pháp đặt ẩn phụ vì khi đặt ẩn 
phụ ta phải tìm điều kiện của ẩn mới cho phương trình mới tồn tại. Ở đây ta 
xét phương trình nhận hằng số (hàm số) làm nghiệm.
 * Ví dụ 2: [1] Giải phương trình sau: 42x 23x 1 2x 3 16 0 (1)
 Giải: 
 Đặt t=2x >0
 (1) trở thành t4 2t3 2.4t 42 0 (*) 
 Ta xét phương trình bậc hai có dạng u2 2t.u t4 2t3 0 (2)
 Từ (*) ta suy ra phương trình (2) có nghiệm u=4.
 Giải (2): ( t)2 t4 2t3 t2(t 1)2 0
Phương trình (2)có 2nghiệm: u t t(t 1) t2 2t và u t t(t 1) t2 7
 1 21
 x 
 Từ (2) ta suy ra 2
 1 17
 x 
 2
  Nhận xét: - Bài toán trên có thể giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ
 x2 t 5
 x 5 t .Sau đó chuyển về hệ hoặc giải bằng phương pháp 
 2
 t x 5
 biến đổi tương đương.
 - Cách giải trên đây đã thay đổi vai trò giữa ẩn số và hằng số.Ẩn 
 x chuyển thành vai trò của tham số,còn hằng số 5 đươc xem là ẩn mới trong 
 phương trình bậc 2 theo u,nhờ việc chuyển này mà thay vì ggiải phương 
 trình bậc 4 theo x,ta chỉ cần giải phương trình bậc 2 theo u,phương trình này 
 ta lại biết được 1 nghiệm.
 - Phương trình bậc 2 theo u có là một số chính phương nên 
 việc tìmu dễ dàng hơn.
  Tổng quát: Ta có thể nhận dạng phương trình f2(x) f(x) a a 
 với điều kiện f(x) 0 và a=const tùy ý .Khi đó ta có thể thay f(x) bởi các 
 hàm sơ cấp như hàm lũy thừa,hàm mũ,hàm logarit,nhưng khi giải cần phải 
 đặt điều kiện.Chẳng hạn như :
 Với f(x)=3x thì ta có phương trình 32x 3x a a
 2
 Với f(x)=log5x thì ta có phương trình log5 x log5 x a a
* Ví dụ 4: [3] Giải phương trình sau: (2x 1 1) x 1 2x 2 0 (1)
 Giải: Điều kiện : x 1
 Ta có (1) 2x 1 x 1 x 1 2x 2 0 9
 u+x3 0 (3)
 2 2
 u xu x 0 (4)
 Từ (3) ta có x3 3 x = 3 3 
 Từ (4) ta có u2 xu x2 0 (5), với x2 4( x2 ) 5x2 0 
 x 5x ( 1 5)x 6
 u 3 x 
 1 5
 (5) 2 2 
 x 5x ( 1 5)x 6
 u 3 x 
 2 2 1 5
  Tổng quát: - Cách giải này không giải quyết cho lớp bài tập nào cụ thể, 
mà trong quá trình biến đổi, ta khéo léo nhìn ra hằng số nào đó trong phương 
trình là nghiệm.Từ đó ta chuyển phương trình đã cho có bậc cao hơn hay 
phức tạp hơn về các dạng phương trình đơn giản quen thuộc đã biết cách 
giải, và điều quan trọng ở đây là ta đã biết trước một nghiệm của nó
 - Vì không phải tất cả các phương trình sau khi chuyển về 
một phương trình mới là giải được nên phương pháp này còn hạn chế,chẳng 
hạn như: khi chuyển về ta được không phải là một số chính phương,khi 
đó gặp khó khăn và không thể giải được.
  Mở rộng: Vấn đề đây ra ở đây là ta chọn hằng số dể làm ẩn nên nếu ta 
thay các hằng số đó bằng hàm f(x) hoặc lầ một tham số thì giải như thế 
nào?Để trả lời vấn đề này ta xét ví dụ sau:
 * Giải phương trình x3 x2 x (1 m)3 (m2 2m)x m(x2 x4 ) (1)
 Giải: (1) mx4 x3 (1 m)x2 (1 m)2 x (1 m)3 0
 (1 m)3 x(1 m)2 x2(1 m) mx4 x4 x4 x3 0
 (1 m)3 x(1 m)2 (x4 x2 )(1 m) x4 x3 0 (*) 11
 x4 2
 17 0 (*)
 2
 x0
 2
 17 x0 (**)
Tư (*) và (**) ta có 
 2
 x0 17 Vô nghiệm
 x4 2
 0 17 x4 17x2 2 0
 2 0 0
 x0
 17 3 17 3
 x2 x 
 0 2 0 2
 17 3
Thử lại ta thấy x là nghiệm của (1)
 0 2
 Nhận xét: Nếu sử dụng phương pháp biến đổi (1) về phương trình
 x6 – 15x2 + 2 = 0
Đặt x2 = t > 0 ta được t3 – 15t + 2 = 0
Đây là phương trình bậc 3 không có nhận xét về cách đoán nghiệm vô tỷ 
nên việc đoán nghiệm để đưa về phương trình tích là khó khăn.
*Ví dụ 7: [4] Giải phương trình sau
 2 2
 log2 x log2 x 5logx 8 25log2 2 (1)
Giải: Điều kiện: 0 < x ≠ 1
 Đặt = t. Ta có 13
 Nhận xét:: Trong phương trình chứa tham số chúng ta thường giải 
phương trình ứng với một giá trị nào đó của tham số. Như vậy trong phương 
trình (3) tham số chính là số 5.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
Giải các phương trình sau:
 3 137 18770
 1) x 3) x (17 x) 17
 x3 x
 2 13 168 4 3 2
 2) x 4) lg x lg x 2lg x 9lgx 9 0
 x4 x2
 Chương II 
 *Phương pháp điều kiện cần và đủ*
  Phương pháp này khá hiệu quả khi giải phương trình,giải quuyết được 
một lớp các bài toán .
I. Phương pháp chung :
*Khi đó ta thực hiện các bước sau :
 Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa.
 Bước 2: Tìm điều kiện cần cho hệ dựa trên đánh giá hoặc tính đối xứng 
của hệ.
 Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ, trong bước này cần có một số kĩ năng cơ 
bản.
II. Các dạng toán:
Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm duy 
nhất .
Phương pháp :Sử dụng tính duy nhất để tìm nghiệm của bài toán. 15
 ì
 ï x + 2- x = 2
 Do đó (2) í
 ï 4 4
 îï x + 2- x = 2
 x = 1
 Vậy m = 4 pt có nghiệm duy nhất là x = 1
Nhận xét : Bài này ta tìm nghiệm yo của pt thông qua việc thay đổi vai 
trò của x và 2-x.
* Ví dụ 2:[2] Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất
 ) 
 log3 2 ( 4 x 0 x 0 5 a (1)
 Giải:
 Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm xo . Khi đó 
 )
 log3 2 ( 4 x 0 x 0 5 a
 log3 2 ( ( 1 x 0 ) 5 ( 1 x 0 ) 4 a
 Khi đó (– 1 –xo ) là nghiệm của (1) 
 Vì (1) có nghiệm duy nhất nên 
 1
 xo = -1 – xo => xo= -
 2
 1
 Với xo = - ta được 
 2
 1 1
 (1) log ( 4 5) a a 1
 3 2 2 2
 Vậy a = 1 là điều kiện cần để pt có nghiệm duy nhất. 
 Điều kiện đủ: Với a = 1 phương trình (1) có dạng 
 )
 log3 2 ( 4 x x 5 1 (2) 17
 1
 4 x x 5 x 
 2
 1
 Vậy x là nghiệm duy nhất.
 2
* Bài toán trên còn có thể giải bằng phương pháp đồ thị 
Viết lại (1) dưới dạng: 4 x x 5 log a với a > 0 (2)
 3 2 
 Phương trình (1) có nghiệm duy nhất phương trình (2) có nghiệm 
duy nhất.
 Đường thẳng y log a cắt đồ thị hàm số y 4 x x 5 tại 
 3 2 
đúng một điểm .
Xét hàm số y 4 x x 5
 MXĐ: D = [-5,4]
 1 1
Đạo hàm : y' 
 2 4 x 2 x 5
 1 1
 y 0 0
 2 4 x 2 x 5
 4 x x 5
 1
 x = 
 2
 Bảng biến thiên: 
 1
 2