Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng của hàm số mũ và hàm số lôgarit vào bài toán liên hệ thực tế

 MỤC LỤC Trang
I. LỜI GIỚI THIỆU.. 3
II. TÊN SÁNG KIẾN 3
III. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN .. 3
IV. CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN  3
V. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN. 4
VI. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC ÁP 
 DỤNG THỬ 4
VII. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN 4
A. NỘI DUNG SÁNG KIẾN 4
1. Cơ sơ lí thuyết 4
 1.1.Hàm số mũ. 4
 1.2 Hàm số lôgarit 5
2. Một số dạng bài tập ứng dụng thực tế của hàm số mũ, hàm số 
 lôgarit... 6
3. Bài tập luyện tập ... 24
B. KHẢ NĂNG ÁP DỤNG CỦA SÁNG KIẾN... 28
VIII. NHỮNG THÔNG TIN CẦN BẢO MẬT 28
IX.CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN.. 28
X. ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN CÓ THỂ 
THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN THEO Ý KIẾN CỦA 28
TÁC GIẢ VÀ THEO Ý KIẾN CỦA TỔ CHÚC, CÁ NHÂN ĐÃ 
THAM GIA ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU, KỂ CẢ ÁP 
DỤNG THỬ......
1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp 
dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả. 28
2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng 
sáng kiến theo ý kiến của tổ chức cá nhân 29
XI. DANH SÁCH NHỮNG TỔ CHỨC/CÁ NHÂN ĐÃ THAM GIA 
 ÁP DỤNG THỬ.. 30
TÀI LIỆU THAM KHẢO. 31 - Địa chỉ : Trường THPT Quang Hà.
- Số điện thoại: 0974719678
 E_mail: hoangthithuha.gvquangha@vinhphuc.edu.vn
V. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
- Đối tượng áp dụng sáng kiến: 
+ Ôn thi THPT Quốc gia: Học sinh lớp 12B, 12H ( năm học 2018 – 2019).
+ Bỗi dưỡng học sinh giỏi vòng Tỉnh
- Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Học sinh thi học sinh giỏi vòng Tỉnh và thi THPT 
Quốc gia.
VI. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC DÙNG THỬ
- Ngày áp dụng lần đầu: Tháng 11 năm 2018
VII. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN
A. NỘI DUNG SÁNG KIẾN
1. Cơ sở lý thuyết:
1.1. Hàm số mũ 
a) Định nghĩa :
 Cho số thực dương a 1, hàm số y = ax được gọi là hàm số mũ cơ số a.
b) Tính chất của hàm số mũ y = ax (0 < a ≠ 1)
 1. TXĐ của hàm số là D = R 
 2. x R, ax > 0 Tập giá trị T = (0; + ) ; 
 a0 = 1 ; 1x = 1
 x x x x
 3. a 1 .a 2 = a 1 2 ; 
 x
 a 1 x x
 4. = a 1 2
 x
 a 2
 x x x .x
 5. (a 1 ) 2 = a 1 2
 a a x
 6.(ab)x = ax.bx , ( ) x 
 b b x
 7. Khi a > 1 thì hàm y = ax đồng biến trên R và
 4 1
 8. log α x log x (x > 0)
 a α a 
 logb x
 9. loga x (x > 0)
 logb a
 10. Khi a > 1 thì hàm y = loga x đồng biến trên (0; + ) và 
 limloga x ; limloga x 
 x 0 x 
 Khi 0 < a < 1 thì hàm y = loga x nghịch biến trên (0; + ) và
 limloga x ; limloga x 
 x 0 x 
11. Đồ thị hàm số lôgarit
 a > 1 0 < a < 1
2. Một số dạng bài tập ứng dụng thực tế của hàm số mũ, hàm số lôgarit
2.1. Bài toán 1: Lãi đơn
Số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền gốc sinh ra. 
Công thức tính lãi đơn:
 Sn M(1 nr)
Trong đó: 
S: Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn
M: Tiền gửi ban đầu
n : Số kỳ hạn tính lãi
 6 Bài 3: Một người gửi vào ngân hàng theo hình thức lãi đơn với tiền gốc 30 triệu 
đồng. Sau 2 năm người đó nhận được 33,4 triệu đồng cả vốn lẫn lãi. Tính lãi 
suất theo năm của tiền gửi?
Hướng dẫn
Áp dụng công thức Sn M(1 nr)
Với M = 30(triệu đồng), Sn = 33,4(triệu đồng), n = 2(năm)
 S M 33,4 30
Từ công thức trên ta suy ra: r n 0,057
 Mn 30.2
Vậy lãi suất tiền gửi là 0,057 (tức 5,7%) một năm.
2.2. Bài toán 2: Lãi kép
 Là số tiền lãi không chỉ tính trên số tiền gốc mà còn tính trên số tiền lãi do 
tiền gốc sinh ra thay đổi theo từng chu kỳ.
a) Lãi kép, gửi một lần
 n
 Sn M (1 r)
Trong đó:
Sn: Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn
M: Tiền gửi ban đầu
n : Số kỳ hạn tính lãi
r: Lãi suất định kỳ, tính theo %
*) Xây dựng công thức:
Số tiềncủa:
Tháng 1 (k = 1): S1 M Mr M(1 r)
 2
Tháng 2 (k = 2): S2 M (1 r) M (1 r)r M (1 r)
.
 n 1 n 1 n
Tháng n (k = n): Sn M (1 r) M (1 r) r M (1 r)
 n
Vậy Sn M (1 r)
Từ công thức trên ta tính được các đại lượng khác 
 8 Hướng dẫn
 n S
Áp dụng công thức tính lãi kép S M (1 r) suy ra r n n 1
 n M
 35,5
Nên r 4 1 0,043
 30
Vậy lãi suất là 0,043(hay 4,3% mỗi tháng)
Bài 7: Một người vay ngân hàng một số vốn theo hình thứ lãi kép, lãi gộp vốn 6 
tháng một lần, với lãi suất 9,6% một năm. Tổng số tiền cửa hàng phải trả sau 4 
năm 6 tháng là 53625000 đồng. Hỏi người đó đã vay số vốn ban đầu là bao 
nhiêu?(làm tròn đến đơn vị nghìn đồng)
Hướng dẫn
 1
Lãi suất 9,6% một năm là .9,6% 4,8% một chu kì sáu tháng
 2
3 năm 6 tháng là 8,5 chu kì.
 S
Áp dụng công thức: S M (1 r)n suy ra M n
 n (1 r)n
 53625000
Nên M 24602000 (đồng)
 (1 9,6%)8,5
b)Lãi kép, gửi định kỳ.
*)Trường hợp 1: Tiền được gửi vào cuối mỗi tháng
 M
 S (1 r)n 1 
 n r 
Trong đó:
Sn: Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn
M: Tiền gửi hàng tháng
n : Số kỳ hạn tính lãi
r: Lãi suất định kỳ, tính theo %
*) Xây dựng công thức:
Tiền gửi tháng thứ nhất sau n – 1 kỳ hạn (n – 1 tháng) thành: M(1 r)n 1
Tiền gửi tháng thứ hai sau n – 2 kỳ hạn (n – 2 tháng) thành: M(1 r)n 2
..
 10 M M
 M M (1 r) M[(1 r) 1] [(1 r)2 1] [(1 r)2 1]
 [(1 r) 1] r
Cuối tháng thứ hai, số tiền là: 
 M M M
 S [(1 r)2 1] [(1 r)2 1]r [(1 r)2 1](1 r)
 2 r r r
..
 M
Cuối tháng thứ n, số tiền cả gốc lẫn lãi là: S [(1 r)n 1](1 r)
 n r
Từ công thức trên ta tính được các đại lượng khác: 
 Sn.r 
 ln 1 r 
 S .r M 
 M n , n 1
 (1 r)[(1 r)n 1] ln(1 r)
*) Bài tập 
Bài 9: Đầu mỗi tháng ông Mạnh gửi ngân hàng 580000 đồng với lãi suất 
0,7%/tháng. Sau 10 tháng thì số tiền ông Mạnh nhận được cả gốc lẫn lãi (sau khi 
ngân hàng đã tính lãi tháng cuối cùng) là bao nhiêu?
Hướng dẫn
 M
Áp dụng công thức S (1 r)n 1 
 n r 
Với M = 580000 (đồng), r = 0,7%/ tháng, n = 10(tháng)
Số tiền sau 10 tháng ông Mạnh nhận được cả gốc lẫn lãi là: 
 580000
 S (1 0,7%)10 1 5986152 (đồng)
 n 0,7% 
Bài 10: Ông Nghĩa muốn có ít nhất 100 triệu đồng sau 10 tháng kể từ khi gửi 
ngân hàng với lãi 0,7%/tháng thì mỗi tháng ông Nghĩa phải gửi số tiền ít nhất 
bao nhiêu vào đầu tháng?
Hướng dẫn
 M
Áp dụng công thức S (1 r)n 1 (1 r)
 n r 
 S .r
Suy ra M n
 (1 r)[(1 r)n 1]
 6
Với Sn = 100.10 (đồng), r = 0,7%/ tháng, n = 10 tháng.
 12 2
S2 [M (r 1) X ] [M (r 1) X ]r X M (r 1) X[(r 1) 1]
Số tiền còn nợ cuối tháng thứ ba: 
 2 3 2
S3 [M (r 1) X[(r 1) 1]](1 r) X M (r 1) X[(r 1) (r 1) 1]
 n n 1 n 2
Số tiền còn nợ cuối tháng thứ n: Sn M (r 1) X[(r 1) (r 1) ... (r 1) 1]
Đặt y r 1
 yn 1 
 S Myn X (yn 1 yn 2 ... y 1) Myn X 
 n r
 (1 r)n 1 
 S M (1 r)n X 
 n r
 (1 r)n 1 
Đến hết tháng thứ n hết nợ, ta có: S 0 M(1 r)n X 0
 n r
 M (1 r)n r
 X 
 (1 r)n 1
*) Bài tập 
Bài 12 (Đề minh họa THPTQG năm 2017)
 Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12%/ năm. 
Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách sau: sau đúng một tháng kể từ ngày 
vay, ông bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, 
số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền vay sau đúng 3 tháng kể từ 
ngày vay. Hỏi theo cách đó số tiền m mà ông A phải trả cho ngân hàng theo 
cách đó là bao nhiêu? Biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời 
gian ông A hoàn nợ.
Hướng dẫn
Lãi suất 12%/năm tương ứng với 1%/tháng nên r = 0,01
Số tiền còn nợ cuối tháng thứ nhất: S1 M Mr m M(r 1) m
Số tiền còn nợ cuối tháng thứ hai: 
 2
S2 [M (r 1) m] [M (r 1) m]r m M (r 1) m[(r 1) 1]
Số tiền còn nợ cuối tháng thứ ba: 
 2 3 2
S3 [M (r 1) m[(r 1) 1]](1 r) m M (r 1) m[(r 1) (r 1) 1]
 14 Sau tháng thứ nhất số tiền trong sổ còn lại là: S1 M(r 1) X
Sau tháng thứ hai số tiền trong sổ còn lại là: 
 2
S2 [M (r 1) X ](r 1) X M (r 1) X[(r 1) 1]
Sau tháng thứ ba số tiền trong sổ còn lại là: 
 2 3 2
S3 =[M (r 1) X[(r 1) 1]](1 r) X M (r 1) X[(r 1) (r 1) 1]
..
Sau tháng thứ n số tiền trong sổ còn lại là:
 n
 n n 1 n 2 n (1 r) 1 
 Sn M (r 1) X[(r 1) (r 1) ... (r 1) 1] M (1 r) X 
 r 
 (1 r)n 1 
Vậy: S M(1 r)n X 
 n r
Sau tháng thứ n số tiền trong sổ vừa hết thì:
 n n n
 n (1 r) 1 n (1 r) 1 M (1 r) r
 M (1 r) X 0 M (1 r) X X n
 r r (1 r) 1
*) Bài tập 
Bài 14: Một người gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi kép, kì 
hạn 1 tháng, lãi suất 0,65%/ tháng. Mỗi tháng người đó rút ra 1 triệu đồng vào 
ngày ngân hàng bắt đầu tính lãi. Hỏi sau 2 năm người đó còn lại bao nhiêu tiền?
Hướng dẫn
 (1 r)n 1 
Áp dụng công thức: S M(1 r)n X 
 n r
Với M = 100 (triệu đồng), r = 0,65%/tháng, n = 24 (tháng).
Số tiền sau 2 năm còn lại là: 
 (1 0,65%)24 1 
 S 100(1 0,65%)24 1. 90,941121(triệu đồng)
 2 0,65%
2.5. Bài toán 5: Bài toán tăng lương:
 Một người được lĩnh lương khởi điểm là M đồng/tháng. Cứ sau k tháng (1 
chu kì) thì người đó được tăng thêm r (%)/ tháng. Hỏi sau n chu kì người đó 
được lĩnh tất cả số tiền bao nhiêu?
 16