Sáng kiến kinh nghiệm Tạo hứng thú, phát huy tính tích cực cho học sinh lớp 12 khi học môn Hình học thông qua việc tăng cường các bài toán ứng dụng thực tế

 BÁO CÁO KẾT QUẢ
 NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
I. LỜI GIỚI THIỆU
 Toán học nói chung và hình học nói riêng có liên hệ mật thiết với thực tiễn 
và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ 
cũng như trong sản xuất và đời sống xã hội hiện nay. Nhiều tri thức toán học, 
ngay cả toán học đơn giản ở bậc phổ thông, có thể ứng dụng hiệu quả vào đời 
sống nhưng đòi hỏi những kĩ năng và một thói quen nhất định. Trang bị những kĩ 
năng này là công việc của nhà trường và sự rèn luyện của bản thân mỗi người. 
Rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn là 
điều cần thiết đối với sự phát triển của xã hội và phù hợp với mục tiêu của giáo 
dục toán học
 Có lẽ ai đã từng học toán, đang học toán đều có suy nghĩ rằng học toán 
ngoài những phép toán đơn giản như cộng, trừ, nhân, chia... thì hầu hết các kiến 
thức toán khác là rất trừu tượng với học sinh. Vì vậy việc học toán trở thành một 
áp lực nặng nề với học sinh. Nghĩ rằng toán học khô khan, mơ hồ, xa xôi, học chỉ 
để học, học chỉ để là công cụ để giải quyết các bài toán ở môn học khác, học toán 
chỉ mục đích phục vụ thi cử... Sự hồ nghi về tính ứng dụng thực tế của môn toán 
là không tránh khỏi, nhất là trong bối cảnh chương trình học còn hạn chế trong 
trình bày các nội dung lên hệ với thực tế.
 Với mục đích giúp cho học sinh thấy rằng toán học là rất gần gũi với cuộc 
sống xung quanh, toán học rất thực tế và việc tiếp thu các kiến thức toán ở trường 
phổ thông không chỉ phục vụ mục đích thi cử mà nó còn là công cụ đắc lực để 
giúp các em giải quyết nhiều tình huống trong cuộc sống hàng ngày. Trong quá 
trình thực hiện nhiệm vụ giáo dục, bản thân tôi nhận thấy những bất cập của 
chương trình sách giáo khoa, thấy được việc khơi dậy và bồi dưỡng hứng thú học 
tập của các em khi học toán qua các bài tập vận dụng thực tế là quan trọng. Nên 
tôi rất chú trọng, tích cực trong sáng tạo, tìm tòi, đưa các bài toán thực tế đến với 
các em học sinh. Đồng thời mạnh dạn nêu lên một vài kinh nghiệm “Tạo hứng 
thú, phát huy tính tích cực chủ động học tập cho học sinh lớp 12 khi học môn 
Hình học thông qua việc tăng cường các bài toán liên hệ thực tế ” nhằm giúp 
học sinh thấy được tầm quan trọng khi học về các khái niệm toán học, từ đó giúp 
cho các em tích cực, chủ động và hứng thú hơn trong học tập môn toán, yêu nó 
hơn và học tập tốt hơn.
 Từ lý do trên, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy khối 12 ở trường THPT, cùng 
với kinh nghiệm trong giảng dạy. Tôi đã hệ thống lại một số dạng bài tập liên hệ 
thực tế ứng với một số nội dung kiến thức Hình học 12. Qua nội dung của đề tài 
 2 sinh sẽ làm quen giải quyết một số vấn đề quen thuộc, gần gũi trong đời sống 
hàng ngày. Từ đó có thể rút ra những bài học quý báu trong cuộc sống.
a) Các bài toán có nội dung thực tiễn chương I –Hình học 12: Nhóm bài tập 
tính thể tích, diện tích toàn phần của khối đa diện
 Loại 1: Bài toán ứng dụng về khối lăng trụ
 Câu 1: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho một cây nến hình lăng trụ lục 
giác đều có chiều cao và độ dài cạnh đáy lần lượt là 15cm và 5cm . Người ta xếp 
cây nến trên vào trong một hộp có dạng hình hộp chữ nhật sao cho cây nến nằm 
khít trong hộp. Thể tích của chiếc hộp đó bằng
 A. 1500 ml .B. 6 .0 C.0 6 ml . D.18 00 ml . 750 3 ml
 Hướng dẫn giải
 Ta có AD =10 cm, AB = 5 3 cm
 2
 SABCD = 50 3 cm
 3
 V = SABCD.h = 750 3 cm = 750 3 ml . 
Chọn D
 Câu 2: Một trang trại chăn nuôi dự 
định xây dựng một hầm biogas với thể tích 12 m 3 để chứa chất thải chăn nuôi và 
tạo khí sinh học. Dự kiến hầm chứa có dạng hình hộp chữ nhật có chiều sâu gấp 
rưỡi chiều rộng. Hãy xác định các kích thước đáy (dài, rộng) của hầm biogas để 
thi công tiết kiệm nguyên vật liệu nhất (không tính đến bề dày của thành bể). Ta 
có kích thước (dài; rộng – tính theo đơn vị m, làm tròn đến 1 chữ số thập phân sau 
dấu phẩy) phù hợp yêu cầu là:
 A. Dài 2,42m và rộng 1,82mB. Dài 2,74m và rộng 1,71m
 C. Dài 2,26m và rộng 1,88mD. Dài 2,19m và rộng 1,91m
 Hướng dẫn giải
Gọi chiều sâu và chiều rộng của bể lần lượt là 3x và 2x (m)
 12 2
Chiều dài của bể là m 
 2x.3x x2
Để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của bể phải nhỏ nhất. Ta 
có
 2 2 2 10 2 5 5 3 2
Stp = 2 2x.3x + 2x. 2 +3x. 2 = 2 6x + = 2 6x + + 6 150 m 
 x x x x x 
 4 C. a 1,8m; b 1,2m; c 0,6m D. a 1,2m; b 1,2m; c 0,9m
 Hướng dẫn giải
Thể tích bể cá là: V abc 1,296
Diện tích tổng các miếng kính là S ab 2ac 3bc (kể cả miếng ở giữa)
 S 1 2 3 1 2 3 33 6 33 6
Ta có: 33 . . 
 abc c bac b a abc 1,296
 1 2 3
 Cauchy cho 3 so , ,
 c b a
 1 2 3 a 1,8
Dấu “=” xảy ra khi c b a b 1,2 . Chọn C
 abc 1,296 c 0,6
 Câu 5: Để thiết kế một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật có chiều cao là 
 60cm , thể tích 96000cm3 . Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có 
giá thành 70000 VNĐ/m2 và loại kính để làm mặt đáy có giá thành 100000 
VNĐ/m2. Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá.
A. 320000 VNĐ. B. 32000 VNĐ. C. 832000 VNĐ.D. 83200 VNĐ.
 Hướng dẫn giải
Gọi x, y(m)(x > 0, y > 0) là chiều dài và chiều rộng của đáy bể, khi đó theo đề ta
 0,16
suy ra 0,6xy = 0,096 Û y = . Giá thành của bể cá được xác định theo hàm
 x
số sau:
 æ ö
 ç 0,16÷ 0,16
 f (x) = 2.0,6çx + ÷.70000 +100000x
 èç x ø÷ x
 æ ö
 ç 0,16÷
 Û f (x) = 84000çx + ÷+16000 (VNĐ)
 èç x ø÷
 æ 0,16ö
 ¢ ç ÷ ¢
 f (x) = 84000ç1- ÷,f (x) = 0 Û x = 0,4
 èç x2 ø÷
Ta có bảng biến thiên sau:
 6 A. x = 20.B. x = 15.C. x = 25 . D. x = 30 .
 Hướng dẫn giải
Ta có PN = 60 - 2x , gọi H là trung điểm của PN suy ra AH = 60x - 900
 1
 S = . 60 - 2x 60x - 900 = 60 - 2x 15x - 225 = f x ,
 DANP 2 ( ) ( )( ) ( )
do chiều cao của khối lăng trụ không đổi nên thể tích khối lăng trụ max khi f (x) 
max.
 -45(x - 20)
 f'(x) = = 0 Û x = 20,f(20) = 100 3,f(15) = 0
 15x - 225
 max f (x) = 100 3 khi x = 20. Chọn A
 Câu 8: (SỞ GD BẮC NINH) Một công ty sản xuất gỗ muốn thiết kế các 
thùng đựng hàng bên trong dạng hình lăng trụ tứ giác đều không nắp có thể tích là 
 62,5dm2 . Để tiết kiệm vật liệu làm thùng, người ta cần thiết kế thùng sao cho có 
tổng S diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy là nhỏ nhất, S bằng
 A. 106,25dm2 .B. 75dm2 . C. 50 5dm2 . D. 125dm2 .
 Hướng dẫn giải
Gọi a là độ dài cạnh đáy của hình lăng trụ.
 62,5
Theo bài ta có chiều cao của lăng trụ là . Suy ra
 a 2
 62.5 250 125 125 125 125
S = 4. .a +a 2 = +a 2 = + +a 2 33 . .a 2 = 75. Dấu bằng xảy 
 a 2 a a a a a
ra khi a = 3 125 = 5 dm . Vậy S là nhỏ nhất bằng 75 dm2. Chọn B
 Câu 9: (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Một viên phấn bảng có dạng một khối trụ 
với bán kính đáy bằng 0,5cm , chiều dài 6cm . Người ta làm một hình hộp chữ 
nhật bằng carton đựng các viên phấn đó với kích thước 6cm×5cm×6cm . Hỏi cần 
ít nhất bao nhiêu hộp kích thước như trên để xếp 460 viên phấn?
 8 2
* Gọi cạnh đáy hình chóp là x, x (0; ) .
 2
 2 2
 2 x x 1 x 2
Chiều cao của hình chóp là: h 
 2 2 2 2
 1 1 x 2 1 x4 x5 2
Thể tích của khối chóp: V x2 
 3 2 3 2
 2
* Xét hàm số: y x4 x5 2 trên(0; ) ;
 2
 x 0 (l)
 3 4 
 y ' 4x 5x 2 ; y ' 0 2 2
 x (n)
 5
BBT:
 x 2 2 2
 0 
 5 2
 y’ ║ + 0 - ║
 y ║ ║
 ║ ║
 2 2
Vậy khi x thì khối chóp đạt GTLN. 
 5
 Câu 2: Ông Bình muốn thiết kế mái cho một xưởng may có diện tích 
 20000 m2 có hai đồ án như sau:
- Công ty A thiết kế dạng hình vuông với mái là hình chóp tứ giác đều có chiều 
cao bằng70m .
- Công ty B thiết kế dạng hình tròn với mái là nửa mặt cầu úp xuống.
Hỏi thiết kế của công ty A giúp tiết kiệm diện tích mái hơn bao nhiêu m2 ?
A. 11857 m2. B. 20000 m2. C. 9000 m2. D. 5000 m2.
 Hướng dẫn giải
Phương án A: Hình chóp tứ giác đều
 2
Chiều cao mặt bên là h2 + (50 2) = 4900 + 5000 = 30 11(h = 70)
 10 b) Các bài toán có nội dung thực tiễn chương II –Hình học 12: Nhóm bài tập 
tính thể tích, diện tích toàn phần của khối tròn xoay
 Loại 1: Bài toán ứng dụng về khối trụ
 Câu 1. (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Một nhà máy cần thiết kế một chiếc bể 
đựng nước hình trụ bằng tôn có nắp, có thể tích là 64π m3 . Tìm bán kính đáy r 
của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra tốn ít nhiên liệu nhất.
A. r = 3 m . B. r = 3 16 m . C. r = 3 32 m . D. .r = 4 m 
 Hướng dẫn giải
Gọi hình trụ có chiều cao h, độ dài đường sinh l, bán kính đáy r.
 64π 64 64
Ta có:V = πr2h h = = l =
 πr2 r2 r2
Để tốn ít nhiên liệu nhất thì diện tích toàn phần nhỏ nhất.
 128π
Ta có: S = 2S +S = 2πr2 +2πrl = 2πr2 + .
 tp day xq r
 128
Xét hàm số f r = 2πr2 + với r > 0 .
 r
 128π
Ta có f r = 4πr- ;f r = 0 r = 3 32 .
 r2
Lập bảng biến thiên ta có f r đạt GTNN khi r = 3 32 . Chọn C
 Câu 2. (LƯƠNG ĐẮC BẰNG) Bạn A muốn làm một chiếc thùng hình trụ 
không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác đều ABC có cạnh bằng 
90 cm . Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu 
(với M , N thuộc cạnh BC ; P và Q tương ứng thuộc cạnh AC và AB) để tạo 
thành hình trụ có chiều cao bằng MQ. Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn A 
có thể làm được là:
 91125 91125 108000 3 13500. 3
A. .B. .C. .D.cm .3 cm3 cm3 cm3
 4π 2π π π 
 A
 Q P
 B M N C
 Hướng dẫn giải
 12 Hướng dẫn giải
Tiền tôn: S. 90000 = 20.90000=1800000(đ)
Cách 1: Chu vi đáy C: 2πr = 20 r 
Tiền nước: V.9955 = πr2h9955 = 253501,99(đ)
Cách 2: Tiền nước: V.9955 = 20.0,8.9955 = 159280 đ
Tổng tiền = 1800000 + 159280 = 1959280 (thỏa mãn)
 Câu 5. Phần không gian bên trong của chai nước A
 r
ngọt có hình dạng như hình bên. Biết bán kính đáy bằng B
 R 5cm, bán kính cổ r 2cm, AB 3cm, BC 6cm,
 CD 16cm.Thể tích phần không gian bên trong của chai C
nước ngọt đó bằng:
 Hướng dẫn giải
Thể tích khối trụ có đường cao CD : 
 2 3
V1 R .CD 400 cm .
Thể tích khối trụ có đường cao AB : 
 2 3
V2 r .AB 12 cm . D
 R
 M
 B E
 r=2
 R=5
 C F
 MC CF 5
Ta có MB 4
 MB BE 2
Thể tích phần giới hạn giữa BC : V R2.MC r2.MB 78 cm3 .
 3 3 
 3
Suy ra: V V1 V2 V3 490 cm .Chọn C
 14