Sáng kiến kinh nghiệm Sửa chữa những sai sót của học sinh khi khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, bài tập liên quan - Hướng khắc phục

 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
SỬA CHỮA NHỮNG SAI SÓT CỦA HỌC 
 SINH KHI KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ 
 CỦA HÀM SỐ, BÀI TẬP LIÊN QUAN - 
 HƯỚNG KHẮC PHỤC 
 Biểu đồ so sánh mức độ sai sót của 2 lớp 12 A, B khi giải bài tập 1 
 45
 40
 35
 30
 25 Không giải được
 20 Sai PP
 15 Giải đúng
 10
 5
 0
 12A 12B Tổng 2 lớp
 Nhằm giúp học sinh nắm chắc các kiến thức về đạo hàm, có kỹ năng ứng 
dụng đạo hàm để giải các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số, tôi chọn đề tài " 
Sửa chữa những sai sót của học sinh khi khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, bài tập 
liên quan - Hướng khắc phục" 
II. Mục đích nghiên cứu 
 - Chỉ ra cho học sinh thấy những sai lầm thường mắc phải. Qua đó, học sinh 
hiểu đúng bản chất của vấn đề. 
 - Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học 
sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo. 
III. Nhiệm vụ nghiên cứu 
 - Đánh giá thực tế quá trình vận dụng giải bài tập toán lên quan đến việc ứng 
dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các bài toán liên quan (Chương 
trình Giải tích 12 – Ban cơ bản) để có được bài giải toán hoàn chỉnh và chính xác. 
IV. Đối tượng nghiên cứu – Phạm vi nghiên cứu 
 - Các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm để khảo sát 
và vẽ đồ thị hàm số - Chương I, giải tích lớp 12 . 
 - Học sinh 02 lớp phụ trách 12 A, B (tổng số học sinh 72) trường PTDT NT, 
năm học 2011 – 2012 và kinh nghiệm của một số năm học trước. 
V. Phương pháp nghiên cứu 
 - Phương pháp điều tra. 
 - Phương pháp đối chứng. 
 - Phương pháp nghiên cứu tài liệu. 
 + Quy tắc 1 để xét tính đơn điệu của hàm số là điều kiện đủ chứ không phải 
điều kiện cần. 
 1.5. Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số dựa trên hai định lí sau: 
 * Định lý 1 (Quy tắc I): Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng 
K(xh;xh) 00 và có đạo hàm trên K hoặc trên K\ x0 , với h > 0. 
 a. Nếu f' x 0trên khoảng (x00 h;x ) và f' x 0 trên khoảng 
(x00 ;x h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x). 
 b. Nếu f' x 0trên khoảng (x00 h;x ) và f' x 0 trên khoảng 
(x00 h;x ) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x). 
 * Định lý 2 (Quy tắc II): Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong 
khoảng (x00 h;x h), với h > 0. Khi đó: 
 a. Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu 
 b. Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại. 
 + Quy tắc 2 để tìm điểm cực trị của hàm số là điều kiện đủ chứ không phải 
điều kiện cần. Do vậy, điều ngược lại nói chung không đúng. 
 1.6. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên miền D: 
 f(x)  m , x D f(x)  M , x D
mmin f(x) , M max f (x) 
 D D 
  xD:00 f(x)m xD:00 f(x)M
 + Nếu f(x)  m , x D (hay f(x) M ,  x D) nhưng không 
 xD00:() fxm (hay  xD:00 f(x)M ) thì dấu "=" không xảy ra. Khi đó, 
không tồn tại giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f(x) trên miền D. 
 + Khi tìm giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f(x) trên miền D 
mà chuyển sang xét giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số g(t) với phép 
đặt t = u(x) thì cần chuyển đổi điều kiện để được bài toán tương đương. 
 1.7. Về phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x): 
 * Tiếp tuyến tại điểm M0(x0;y0) (C) có phương trình: y = f '(x0).(x - x0) + 
y0. 
 * Tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k, đi qua điểm M1(x1;y1) có phương trình: 
 f(x) k(x x11 ) y
y = k.(x - x1) + y1. Trong đó hệ số góc k thỏa mãn hệ: (I) 
 f'(x) k
 + Nếu điểm M1(x1;y1) nói trên thuộc (C) thì hệ số góc k vẫn thỏa mãn hệ (I). 
Trong trường hợp này, số tiếp tuyến có thể nhiều hơn 1 tiếp tuyến. 
 2. Sai sót thường gặp khi giải toán 
 2.1. Sai sót trong bài toán xét tính đơn điệu của hàm số, khi không nắm vững 
định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số hay không chú ý tới các điểm tới hạn của 
hàm số. 
CHƯƠNG III: BIỆN PHÁP THỰC HIỆN VÀ KẾT QUẢ 
 NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI 
I. Biện pháp thực hiện 
 Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, khi nghiên cứu 
đề tài tôi đã đưa ra các biện pháp như sau: 
 1. Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt 
 - Phân tích, giải thích rõ hơn các khái niệm, định nghĩa, định lý để học sinh 
nắm được bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lý đó. 
 - Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định 
lý. 
 - So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và 
khác nhau giữa chúng. 
 - Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải. 
 2. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp 
 - Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, ... 
 - Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề. 
 - Phương pháp: phương pháp giải toán. 
 3. Đổi mới phương pháp dạy học (lấy học sinh làm trung tâm) 
 - Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế. 
 - Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh. 
 - Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng sinh 
động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán. Chẳng hạn sử 
dụng bảng phụ, phiếu học tập, nếu có điều kiện thì sử dụng giáo án điện tử kết hợp 
với việc trình chiếu đồ thị hàm số, các hình vẽ, hình động liên quan trực tiếp tới bài 
giảng. 
 4. Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá 
 - Kết hợp giữa tự luận và trắc nghiệm khách quan với các mức độ nhận thức: 
nhận biết - thông hiểu - vận dụng – vận dụng ở mức độ cao. 
 - Giáo viên đánh giá học sinh. 
 - Học sinh đánh giá học sinh. 
 5. Giáo viên có đổi mới phương pháp dạy học, hình thức dạy học sao cho phù 
hợp với từng loại đối tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai làm thường 
mắc phải khi giải các bài toán về ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm 
số, một số bài toán liên quan. Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm bài tập. 
 6. Phân loại bài tập và phương pháp giải 
 - Hệ thống kiến thức cơ bản. Phân dạng bài tập và phương pháp giải. 
 - Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao. 
 - Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết 
quả mới, bài toán mới. Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo. 
Ví dụ 2: Xét tính đơn điệu của hàm số: yf(x)4x 2 x1. Học sinh trình bày 
 x x
như sau: Tập xác định: D2;2=-[]. Ta có: y' 1 y' 0 1 0 
 4x 2 4x 2
 x2 
 4x222 x 4x x 
 x2 
Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) luôn giữ nguyên một 
dấu, vì f '(0) > 0 nên ta có bảng biến thiên như sau: 
 x -2 - 2 2 2 
 y ' - 0 + 0 - 
 -3 22- 1 
 Y 
 -1 1 
Suy ra: hàm số đồng biến trên khoảng (2;2)- và nghịch biến trên các khoảng 
(2;2)-- và (2;2). 
Phân tích: Nếu để ý ở bảng biến thiên ta thấy ngay một điều vô lý là trên đoạn 
é--2; 2ù giá trị của hàm số giảm từ –3 xuống – 1. Thực ra ở đây - 2 không phải 
ëê ûú
là điểm tới hạn của hàm số. 
Lời giải đúng: 
 x
Tập xác định: D2;2=-[]. Ta có: y' 1 
 4x 2
 x x 0
y' 0 1 0 4x2 x x2
 22 
 4x 2 4x x
Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) luôn giữ nguyên một 
dấu, vì f '(0) > 0 nên ta có bảng biến thiên như sau: 
 x -2 2 2 
 y ' + 0 - 
 22- 1 
 Y 
 -3 1 
Suy ra: hàm số đồng biến trên khoảng (2;2)- và nghịch biến trên khoảng (2;2). 
 2. Sai sót khi chứng minh bất đẳng thức 
*Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh 
thường mắc phải sai lầm là không nhớ chính xác định nghĩa tính đơn điệu của hàm 
số để vận dụng. 
Xét các hàm số f(x) = x, g(x) = ex là các hàm đồng biến trên ¡ . Suy ra hàm số h(x) 
= x.ex là tích của hai hàm đồng biến nên cũng đồng biến trên ¡ . Suy ra, từ x > - 1 
 1
Þ f(x) > f(-1) hay x.ex >- . 
 e
Phân tích: 
 Lời giải trên sai lầm ở chỗ: tích của hai hàm đồng biến là một hàm đồng biến 
chỉ đúng khi hai hàm đó dương (!). 
Lời giải đúng: 
Xét hàm số f(x) = x.ex, ta có f '(x)= ex(x+1) ³ 0, "³-x 1, dấu "=" xảy ra chỉ tại 
 x= -1. Suy ra, hàm số đồng biến trên nửa khoảng [-+¥1; ). Từ x > - 1 Þ f(x) > 
 1
f(-1) hay x.ex >- . 
 e
 3. Sai sót khi giải các bài toán liên quan tới đạo hàm 
* Sai lầm khi vận dụng các công thức tính đạo hàm. 
Ví dụ 5: Tính đạo hàm của hàm số y = (2x+1)x. Học sinh trình bày như sau: 
Ta có y' = x(2x++=+ 1)x1-- (2x 1)' 2x.(2x 1) x1. 
Phân tích: 
Lời giải trên đã vận dụng công thức (uaa-) '=a .u1 .u ' . Vận dụng như vậy là sai, vì 
công thức này chỉ áp dụng cho số mũ a là một hằng số. 
Lời giải đúng: 
 1
Điều kiện: x>- , x0 ¹ (khi đó y > 0) 
 2
 y' 2x
Từ y = (2x+1)x Þ=ln y x.ln(2x + 1) Þ=(ln y)'() x.ln(2x + 1) ' Þ=ln(2x ++ 1) 
 y2x1+
 é 2x ù
Þ=yx'(21).ln(21) +x ê x ++ ú 
 ëê 21x+ ûú
* Sai lầm khi tính đạo hàm của hàm số tại một điểm. 
Các em hay mắc phải sai lầm ở dạng này là áp dụng công thức (uaa-) '=a .u1 .u ' , 
aÎ ¡ , nhưng quên rằng nếu như a không nguyên thì công thức này chỉ đúng khi 
u nhận giá trị dương. 
Ví dụ 6: Cho hàm số yx= 3 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ 
thị (C) tại điểm có hoành độ x = - 1. 
Một số học sinh trình bày như sau: 
Với x = - 1 ta có y(1)1=-3 2 = 
 2 1
 2 -
Ta có y = x 3 suy ra y ' = x 3 
 3
* Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị của hàm số, nhiều học sinh cũng quên 
rằng đó chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần. 
Quy tắc: 
 ïì f'(x)0 = 0
 + íï Þ x là điểm cực tiểu. 
 ï 0
 îï f''(x)0 > 0
 ïì f'(x)0 = 0
 + íï Þ x là điểm cực đại. 
 ï 0
 îï f''(x)0 < 0
Điều ngược lại nói chung là không đúng. Do vậy khi tìm được điểm x0 , cần thử lại. 
Ví dụ 8: Cho hàm số y = f(x) = mx4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm 
số đạt cực đại tại x = 0 ? 
Một số học sinh trình bày như sau: 
f '(x) = 4mx3 , f ''(x) = 12mx2. 
 ïì f'(0)= 0 ïì 4m.0 = 0
Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x = 0 là: íï Û íï hệ vô nghiệm. 
 îï f''(0)< 0 îï12m.0< 0
Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại x = 0. 
Phân tích: 
Ta thấy, với m = - 1, hàm số y = - x4 có y ' = - 4x3 , y ' = 0 Û x = 0. 
Bảng biến thiên: 
 x -¥ 0 +¥ 
 y ' + 0 - 
 y 0 
 -¥ -¥ 
Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 0. 
Lời giải trên sai ở đâu? 
 ì
 ï f'(x)0 = 0
Nhớ rằng, nếu x0 thỏa mãn í Þ x là điểm cực đại của hàm số, còn điều 
 ï 0
 îï f''(x)0 < 0
ngược lại thì chưa chắc đúng . Vì nếu x0 là điểm cực đại thì vẫn có thể f ''(x0) = 0. 
Lý do là điều kiện f ''(x0) < 0 chỉ là điều kiện đủ để hàm số g(x) = f '(x) nghịch biến 
trong lân cận (x0 - h; x0 + h) (với h > 0), khi đó: 
ïì f'(x)>="Î- f'(x)000 0, x (x h;x )
íï Þ x là điểm cực đại của hàm số. 
ï 0
îï f'(x)<="Î+ f'(x)000 0, x (x;x h)
Lời giải đúng: 
Cách 1: