Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng phương pháp tọa độ giải một số bài toán về khoảng cách trong hình học không gian

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
 TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA IV
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
 " SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH 
 TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN "
 Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Dung
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc môn: Toán
 THANH HÓA NĂM 2016
 0 1. MỞ ĐẦU
1. 1. Lý do chọn đề tài
 Để bồi dưỡng cho học sinh năng lực sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề, 
lý luận dạy học hiện đại đã khẳng định: “Cần phải đưa học sinh vào vị trí chủ 
thể hoạt động nhận thức, học trong học tập”. Học sinh bằng hoạt động tự lực, 
tích cực của mình để chiếm lĩnh kiến thức. Quá trình này được lặp đi lặp lại 
nhiều lần sẽ góp phần vào hình thành và phát triển cho học sinh tư duy sáng tạo.
 Trong năm học 2015 – 2016 được nhà trường phân công dạy môn Toán 
12 ban cơ bản. Hình học không gian là một bộ môn khó trong chương trình 
Toán trung học phổ thông, đòi hỏi phải có trí tưởng tượng không gian và trình 
bày gọn gàng, đầy đủ, chặt chẽ. Qua giảng dạy tôi nhận thấy: Học sinh ban cơ 
bản học rất yếu về phần này và thời lượng cho luyện tập ít. Trong thực tế những 
năm gần đây, các bài toán về tính khoảng cách trong đề thi tốt nghiệp, đề thi Đại 
học - Cao đẳng - THCN và đặc biệt đề thi trung học phổ thông quốc gia bài tập 
rất phong phú, mà chỉ có số ít các em biết phương pháp giải nhưng trình bày 
chưa được gọn gàng, thậm chí còn mắc một số sai lầm không đáng có trong khi 
trình bày. Tại sao lại như vậy ?
 Lý do ở đây là: Bài tập trong sách giáo khoa chương trình SGK Hình Học 
lớp 12 được trình bày rất ít và hạn hẹp, mặt khác thời lượng dành cho chương 
này còn ít nên giáo viên không thể đưa ra được nhiều cách giải cho các dạng bài 
tập để hình thành kỹ năng giải cho học sinh. Trước tình hình “quá tải” về trí 
tưởng tượng không gian, giải các bài toán khoảng cách đòi hỏi học sinh phải 
nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư duy ở mức độ cao; tôi đã hướng dẫn các 
em sử dụng phương pháp tọa độ để chuyển một số bài toán khoảng cách của 
hình học không gian ở chương III – Hình học 11 và chương I – Hình học 12 
sang hình học giải tích ở chương III – Hình học 12. Phương này mang tính tính 
toán song cứ tuân thủ quy tắc mà sách giáo khoa đã xây dựng thì thực hiện lời 
giải một cách tự nhiên, bớt tư duy trừu tượng và đã có máy tính bỏ túi hỗ trợ 
việc tính toán. Để phát huy ưu điểm của phương pháp tọa độ, tôi đặt câu hỏi: Bài 
toán loại nào có thể giải bằng phương pháp tọa độ ? Nếu được thì gắn hệ tọa độ 
như thế nào ? Sau đó chọn cách tính toán và trình bày sao cho hợp lý nhất ? ... 
Từ đó dần dần truyền thụ cho học sinh phương pháp, kinh nghiệm tìm tòi, suy 
nghĩ phát hiện lời giải, coi phương pháp tọa độ là 1 công cụ để giải quyết một số 
bài toán hình học không gian một cách thuần thục.
 Chính vì vậy tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: 
“Sử dụng phương pháp tọa độ giải một số bài toán về khoảng cách trong hình 
học không gian”
1. 2. Mục đích của đề tài
 Rèn luyện tư duy qua việc giải toán là một việc làm thiết thực nhất trong 
quá trình dạy học toán, là một quá trình bao gồm nhiều khâu:
+ Rèn luyện khả năng phân tích giải bài toán: Đó là việc xem xét, nghiên cứu 
bài toán đã cho. Phải biết nhìn bài toán dưới dạng chính quy, mẫu mực. Đây là 
cách nhìn trực tiếp và đặc điểm chủ yếu của bài toán, cách nhìn này giúp ta phát 
 2 + Rèn luyện khả năng tìm kiếm các bài toán liên quan và sáng tạo các bài 
toán mới: Mục đích cuối cùng của những bài toán được tìm ra là dựng, thu 
được, xác định được ... một đối tượng nào đó, tức là tìm ra ẩn số của bài toán. 
Học sinh ít đi sâu, ít suy nghĩ xem liệu có những bài toán nào liên quan đến bài 
này không ? Nếu thay một một điều kiện nào đó của bài toán ta sẽ có bài toán 
như thế nào ? giải được không ? Bài toán tổng quát của dạng này ra sao ? ... Nếu 
cứ tiến hành thường xuyên và áp dụng đúng đối tượng thì việc rèn luyện khả 
năng phân tích, tổng hợp, tổng quát hóa, đặc biệt hóa, trừu tượng hóa ... Từ đó 
thúc đẩy sự phát triển tư duy sáng tạo của học sinh. 
 Qua đó đã rèn luyện cho học sinh biết lựa chọn cách giải sao cho gọn 
gàng, đầy đủ, chặt chẽ và vận dụng Hình học giải tích để làm một số bài tập 
khoảng cách của hình học không gian nhằm nâng cao chất lượng Toán 12 ban 
cơ bản, tiếp cận với đề thi trung học phổ thông quốc gia.
1. 3. Đối tượng nghiên cứu
 Xây dựng, thử nghiệm và rút kinh nghiệm thông qua học sinh lớp 12 của 
trường THPT Hoằng Hóa 4.
1. 4. Phương pháp nghiên cứu
 Phương pháp phân tích tổng hợp tài liệu, nghiên cứu sách giáo khoa Hình 
học 12, Hình học nâng cao 12, Tự chọn nâng cao 12, Phương pháp vấn đáp 
gợi mở , kiểm tra đánh giá. Sau đó thống kê để xử lí số liệu thu được và rút 
kinh nghiệm cho bài học sau.
 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2. 1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
 Hình học là môn học có tác dụng lớn trong việc rèn luyện tư duy logíc và 
sáng tạo cho học sinh.
 Các học sinh ở cấp THPT nói chung, học sinh khối 12 nói riêng đang 
trong quá trình được phát triển, bồi dưỡng và chọn lọc trình độ khác nhau giữa 
các học sinh cùng một lớp và có thể có không ít biến đổi. Vì vậy, nội dung và 
phương pháp dạy học ở các lớp phải linh hoạt phù hợp với điều kiện cụ thể của 
thầy và trò, của việc tổ chức dạy học. Phương pháp tọa độ trong không gian 
được nghiên cứu chi tiết cụ thể trong chương III – Hình học 12. Bởi vậy khi dạy 
phần này cần khai thác các ứng dụng của nó.
2. 2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
 Trình độ học sinh khá chênh lệch, thể hiện ở thái độ học tập, sự yêu thích 
môn học. Hình giải tích có vai trò quan trọng được đề cập khá nhiều trong bộ đề 
thi tuyển sinh, học sinh khó tìm ra phương pháp hoặc tìm ra phương pháp nhưng 
trình bày còn rườm rà, chưa đầy đủ, chưa chặt chẽ. Có sự chênh lệch đó là do: 
+) Nhận thức của học sinh. +) Chất lượng giờ dạy. +) Thời gian học tập của học 
sinh.
 Tất cả các nguyên nhân đó đều ảnh hưởng trực tiếp đến kết quả học tập.
2. 3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1 Điều trước tiên là học sinh phải nắm vững định nghĩa hệ tọa độ Oxyz, tọa
 4 (Các công thức 2, 3 chỉ được nêu, không chứng minh ở Tài liệu chủ đề tự chọn 
nâng cao Toán 12)
 Mặc dù mục đích chỉ cần học sinh nhớ công thức để vận dụng song tôi vẫn 
đi chứng minh (sử dụng cách chứng minh của Hình học 12 nâng cao trang 100, 
101) để học sinh thấy sự tự nhiên, không gượng ép; tạo tâm thế thoải mái cho 
học sinh khi sử dụng công thức. 
2.3.3 Khi học sinh đã nắm chắc các vấn đề nêu trên thì giáo viên có thể đưa ra 
một vài bài toán hình học không gian đã làm ở chương III – Hình học 11, sách 
bài tập Hình học 12, đề thi THPT Quốc gia 2015, đề thi khảo sát chất lượng của 
một số trường THPT và Sở GD – ĐT để học sinh tìm tòi phát hiện cách giải 
bằng phương pháp tọa độ. Từ đó so sánh hai phương pháp, thấy được“cái 
hay”của phương pháp này, bằng hoạt động tự lực, tích cực của mình để chiếm 
lĩnh kiến thức.
Trước tiên lấy ví dụ trong sách giáo khoa để tạo cảm giác gần gũi cho học 
sinh
Bài 1 (Ví dụ - trang 118 Hình học 11)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA vuông 
góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 
chéo nhau SC và BD.
 z
 S
 a
 D
 A
 y
 a
 B
 x a C
Học sinh nhận thấy SA, AD và AB đôi một vuông góc từ đó gắn hệ tọa độ Oxyz; 
xác định tọa độ điểm S, D, B, C (xác định hình chiếu của S, D, B, C trên các trục 
toạ độ); công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau; nên các 
em đã đưa ra ngay lời giải hoàn chỉnh: 
 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với A  O; B tiaOx; D tiaOy; S tiaOz . 
Khi đó B(a; 0; 0), D(0; a; 0), S(0; 0; a), C(a; a; 0) (Hình chiếu của C trên Ox là 
B và AB = a, hình chiếu của C trên Oy là D và AD = a) 
 SC(a;a; a) a(1;1; 1); BD( a;a;0) a( 1;1;0) . 
 6 Khi đó A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), S(0; 0; a 2 ), C(a; a; 0) (Hình chiếu của C trên Ox 
là B, trên Oy là D). 
 SB a;0; a 2 a 1;0; 2 a u1; AC a;a;0 a 1;1;0 a u2
 u1,u 2  ( 2; 2;1), AS(0;0;a 2)
 2.0 ( 2).0 1.a 2 a 2 a 10
 d(SC, BD) 
 2 2 1 5 5
Từ hai bài toán trên so sánh hai phương pháp: hình học không gian thuần 
tuý và hình học giải tích, thấy được “cái hay” của phương pháp toạ độ, bằng 
hoạt động tự lực, tích cực của mình để chiếm lĩnh kiến thức.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D 
với AB = AD = a, DC = 2a, SD = a và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ 
A đến mặt phẳng (SBC).
 Lời giải:
 z
 S
 C
 D 2a
 y
 a
 A
 x a B
 Lời giải:
 Chọn hệ trục tọa độ Dxyz với A tiaOx; C tiaOy; S tiaOz . 
Khi đó A(a; 0; 0), C(0; 2a; 0), S(0; 0; a), B(a; a; 0) (hình chiếu của B trên Ox là 
A, trên Oy là trung điểm của DC). 
Ta có: BS ( a; a;a) a(1;1; 1) a u1 , BC ( a;a;0) a( 1;1;0) a u2 .
 u1 ,u2  1;1;2 . 
Mặt phẳng (SBC) đi qua S(0;0;a) và có 1 vectơ pháp tuyến (1;1;2).
=> (SBC): x + y + 2(z – a) = 0 x + y + 2z – 2a = 0.
 a a 6
Vậy d(A,(SBC)) . 
 6 6
Bài 4 (Bài 1.18 – trang 18 sách bài tập Hình học 12)
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = 2a, AA’ = a. Lấy 
điểm M trên cạnh AD sao cho AM = 3MD. Tính khoảng cách từ M đến mặt 
phẳng (AB’C).
 8 S
 K O J B
 A
 A B
 x
 x
 I
 D C
 y D C y
O là trung điểm của AB => tam giác OAD và OBC đều cạnh a => hình chiếu 
 a 3
của D, C trên Ay là I và AI = (độ dài đường cao tam giác đều cạnh a), 
 2
hình chiếu của C trên Ax là J (trung điểm của OB), hình chiếu của D trên Ax là 
K (trung điểm của AO).
 3a a 3 a a 3 
Khi đó A(0; 0; 0), B(2a; 0; 0), C ; ;0 , D ; ;0 , S 0;0;a 3 
 2 2 2 2 
 3a a 3 a 3 a
 SB 2a;0; a 3 a 2;0; 3 a u ; SC ; ; a 3 3;1; 2 u
a) 1 2
 2 2 2 2
 u1 ,u2  3;1;2 
Mặt phẳng (SBC) đi qua B(2a; 0; 0) và có vecto pháp tuyến 3;1;2 .
=> (SBC): 3x y 2z 2a 3 0. Do đó: 
 a 3 a 3
 2a 3
 2a 3 a 6 2 2 a 6
 d A, SBC ; d D, SBC .
 3 1 4 2 3 1 4 4
 a a 3 a a
 SD ; ; a 3 1; 3; 2 3 u u ,u 0;4;2) 2(0;2;1)
b) 3  2 3  
 2 2 2 2
 Mặt phẳng (SCD) qua D và có vecto pháp tuyến (0; 2; 1) 
=> (SCD): 2y z a 3 0. Vì AB // CD nên AB // (SCD). 
 a 3 a 15
Vậy d AB, SCD d A, SCD .
 4 1 5
 Qua 5 bài tập đưa ra nhận xét: Với một số bài trình bày theo phương 
pháp tọa độ là tối ưu, với một số bài mức độ ở 2 phương pháp tọa độ và không 
 10