Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng phương pháp tọa độ để tính khoảng cách trong bài toán hình học không gian

 I.MỞ ĐẦU
 1. Lí do chọn đề tài
 Đứng trước một bài toán ,đặc biệt là bài toán khó người làm toán luôn đặt ra 
phương hướng giải quyết. Tuy nhiên đối với người ham mê toán còn đi tìm các 
cách giải quyểt khác nhau, nhất là tìm được cách giải hay ngắn gọn và mới lạ thì 
lại càng kích thích tính tò mò khám phá và lòng say mê học toán .
 Hiện nay trong các đề thi THPT Quốc gia ,đề thi chọn học sinh giỏi thường xuất 
hiện bài toán hình học không gian tổng hợp (cổ điển) mà ở đó lời giải đòi hỏi vận 
dụng khá phức tạp các kiến thức hình học không gian như: chứng minh quan hệ 
song song, quan hệ vuông góc, dựng hình để tính góc và khoảng cách, tính thể tích 
khối đa diện Việc tiếp cận các lời giải đó thực tế cho thấy thật sự là một khó 
khăn cho học sinh, nhất là học sinh có lực học trung bình, chẳng hạn bài toán tính 
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Trong khi đó, nếu bỏ qua yêu cầu 
bắt buộc phải dựng hình mà chỉ dừng ở mức độ tính toán thì rõ ràng phương pháp 
tọa độ tỏ ra hiệu quả hơn vì tất cả mọi tính toán đều đã được công thức hóa. Với 
những lí do như trên, từ thực tế giảng dạy, với kinh nghiệm thu được, tôi đã tiến 
hành thực hiện đề tài sáng kiến cho năm 2016 với nội dung “Sử dụng phương 
pháp tọa độ để tính khoảng cách trong bài toán hình học không gian”
 2. Mục đích nghiên cứu
 Với việc nghiên cứu đề tài “Sử dụng phương pháp tọa độ để tính khoảng cách 
trong bài toán hình học không gian” sẽ giúp học sinh ,đặc biệt là đối tượng học 
sinh học ở mức độ khá, kể cả trung bình có thể tính được các bài toán về khoảng 
cách một cách dễ dàng thông qua công thức có sẵn.
 3. Đối tượng nghiên cứu
 Đối tượng nghiên cứu của sáng kiến này là học sinh ở mức độ đại trà lớp 12-
THPT Trần Phú –Thanh Hóa. Tất nhiên với từng đối tượng học sinh mà sẽ có 
những ví dụ minh họa hoặc các bài toán áp dụng sẽ là khác nhau
 4. Phương pháp nghiên cứu
 Sáng kiến kinh nghiệm này được trình bầy theo hình thức tổng hợp lý thuyết sách 
giáo khoa , bài toán minh họa điển hình theo thứ tự từ đơn giản đến phức tạp và 
một số bài tập áp dụng .Qua đó mong muốn khai thác thêm được cái hay cái đẹp 
của toán học và đồng thời góp phần tăng thêm kỹ năng giải toán cho học sinh.
 II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 
 Các kiến thức được sử dụng trong sáng kiến này đều thuộc phạm vi kiến 
thức được trình bày trong Sách giáo khoa Hình học 12 chuẩn và nâng cao (chương 
III), các ví dụ được tổng hợp từ các bài tập trong Sách giáo khoa và Sách bài tập, 
các bài toán lấy từ các đề thi thử THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi các cấp. 
 Các kí hiệu thường dùng trong sáng kiến:
 + VTPT: vectơ pháp tuyến, VTCP: vectơ chỉ phương
 + (XYZ): mặt phẳng qua 3 điểm X, Y, Z
 + d(X,(P)): khoảng cách từ điểm X đến mặt phẳng (P)
 + d((P),(Q)): khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q)
 1 kiểm tra khảo sát hai lớp 12B và 12C tại trường THPT Trần Phú để đối chứng lớp 
12B áp dụng sáng kiến và lớp 12C không áp dụng sáng kiến kết quả thu được như
 sau :
 Thời gian và kết quả thực nghiệm
 Sĩ số Số học sinh Số học sinh 
 Thứ ngày Môn/Lớp không giải giải được bài 
 được bài toán toán
 Thứ tư ngày 
 Toán – 12C 7
 9/3/2016 43 36
 Thứ sáu ngày 
 Toán – 12B 32
 11/3/2016 44 12
Qua thực tế áp dụng ở trên để so sánh ta thấy việc áp dụng sáng kiến vào giảng dạy 
đã mang đến hiện quả rõ rệt, không những thế việc áp dụng sáng kiến còn tạo ra sự 
hứng thú học tập cho học sinh đặc biệt tạo ra tư duy tìm tòi sáng tạo trong quá trình 
học tập của các em . Sau những năm trực tiếp giảng dạy ôn thi tốt nghiệp, đại học 
cao đẳng trước đây cũng như ôn thi THPT Quốc gia hiện nay và bồi dưỡng học 
sinh khá giỏi ,học sinh dự thi học sinh giỏi trường , giỏi tỉnh tôi đã đi tìm tòi các 
cách giải phù hợp trong đó “Sử dụng phương pháp tọa độ để tính khoảng cách 
trong bài toán hình học không gian” là những phương pháp như thế và tôi đã 
mạnh dạn cải tiến phương pháp này đồng thời áp dụng sáng kiến này trong các 
năm học từ 2005- 2006 đến nay ở trường THPT Trần Phú Thanh Hoá.
 3.Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 
 3.1 . Các ví dụ minh
 Để làm sáng tỏ điều này tôi xin đưa ra 10 ví dụ điển hình và 8 bài tập áp dụng 
cho sáng kiến như sau 
Ví dụ 1 . Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1 và I là tâm của 
ABCD. Gọi P là trung điểm của A’D’.Tính theo a khoảng cách giữa cặp đường 
thẳng A’B, B’D và cặp đường thẳng PI, AC’. 
Giải
Tương tự ví dụ 1, ta chọn hệ trục Oxyz sao cho:
 z
 O  A, tia AB  tia Ox, tia AD  tia Oy,
 P
 tia AA’  tia Oz. A’ D’
Khi đó, ta có:
 A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1), B’ C’
 C(1;1;0), B’(1;0;1), D’(0;1;1), C’(1;1;1).
Vì P lần lượt là trung điểm của A’D’ nên , 
 1 1 1
P(0; ;1) và I là tâm của ABCD I( ; ;0) y
 2 2 2 A D
    I
Ta có: A' B (1;0; 1), B ' D ( 1;1; 1), A' B ' (1;0;0) B C
 3 b) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của BC 
và SA.
 2a a 2 a 2 a 2 2a 2
Khi MN ngắn nhất, ta có t nên M (0; ; ), N( ; ;0)
 3 3 3 3 3
  a 2 a 2 a 2
 MN ( ; ; )
 3 3 3  
Mặt khác AS (0;a 2;a 2),CB (a 2; a 2;0)
     
 MN.AS MN.CB 0 MN  AS, MN  CB 
 hay MN là đường vuông góc chung của SA và BC. 
Nhận xét: Qua ví dụ đã trình bày, ta nhận thấy một yếu tố thuận lợi cho việc tọa 
độ hóa là điều kiện đôi một vuông góc của ba cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh của 
đa diện, thông thường điều kiện này được ẩn chứa ngay trong các giả thiết cho 
trước. Tuy vậy, không phải lúc nào điều kiện trên cũng được thỏa mãn nên trong 
một số trường hợp ta cần phải có cách xây dựng hệ trục tọa độ một cách khéo léo 
hơn. Ta xét ví dụ sau đây.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, A· BC B· AD 90 , BA = 
BC = a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA = a 2 . Gọi H là hình 
chiếu vuông góc của A lên SB. 
Tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).
Giải
 
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, với A O(0;0;0), B(a;0;0), D(0;2a;0), 
C(a;a;0), S(0;0; a 2 ). Khi đó SC (a;a; a 2),CD ( a;a;0)
   
 2 2 2
Do đó: (SCD) có VTPT là SC,CD (a 2;a 2;2a )
 (SCD) :1.(x a) 1.( y a) 2.(z 0) 0
hay (SCD): x y 2z 2a 0. z
Đường thẳng SB có phương trình tham số là S
 x a t
 y 0
 z 2t
 H SB H (a t;0; 2t) .
   a H
 AH  SB AH.SB 0 t . D
 3 O  A y
 2a a 2
Vậy H ( ;0; ) . 
 3 3
Từ đó suy ra khoảng cách từ H đến (SCD) là B
 C
 2a 2a
 2a x
 3 3 a
 d(H,(SCD)) . 
 1 1 2 3
Nhận xét: Nếu so với cách tổng hợp trong việc tính d(H,(SCD)) thì lời giải này rõ 
ràng và trực tiếp hơn, dễ hiểu hơn kể cả với học sinh học ở mức độ trung bình.
 5 Để tính khoảng cách giữa haiđường thẳng DM và SC bằng phương pháp tọa độ 
như sau:
Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, ta có C  O(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A(a;a;0).
 a S
M là trung điểm AB M (a; ;0) z
 2
 a
N là trung điểm AD N( ;a;0)
 2
H (Oxy) H (x; y;0)
 H DM  CN
     
 CH,CN cùng phương và DH, DM cùng
 y
 phương
 N
 x y x y a 2a 4a A
 và x , y . 
 a a D
 a a 5 5
 2 2 H
 2a 4a 2a 4a M
Vậy H( ; ;0 ) S( ; ;a 3)
 5 5 5 5
  2a 4a  a C  O B x
Khi đó, CS ( ; ;a 3), DM (a; ;0)
 5 5 2
   a2 3
 CS, DM ( ;a2 3; a2 )
 2
    
 3
  a CS, DM .CM a 3 2a 57
Mặt khác CM (a; ;0) d(SC, DM )   .
 2 a2 19 19
 CS, DM 
 2
Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 3a, BC 
= 4a, mặt phẳng (SBC) vuông góc (ABC). Biết SB = 2a 3 và S· BC 30 . 
Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
Giải
 z
Ta có : SB = 2a 3 và S· BC 30 . 
Để ta tính khoảng cách từ điểm B S
đến mặt phẳng (SAC) bằng phương pháp
tọa độ.
Chọn hệ trục Oxyz với B là gốc tọa độ,
tia BA là tia Ox, tia BC là tia Oy, tia Oz 30 
là tia Bz song song và cùng hướng với O  B H C y
tia HS.
Khi đó: B(0;0;0), A(3a;0;0), C(0;4a;0),
S(0;3a; a 3 ).
   A
 AS ( 3a;3a;a 3), AC ( 3a;4a;0) x
   
 2 2 2 2
 AS, AC 4a 3; 3a 3; 3a 3a .(4;3; 3)
 mặt phẳng (SAC) có phương trình là
 4(x 3a) 3( y 0) 3(z 0) 0 4x 3y 3z 12a 0 .
Vậy khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) là
 7    
 3
  SN, BA .BN 4a 3 2a 39
 BN (a;a;0) d(SN, AB)   .
 2a2 13 13
 SN, BA 
 z
 S
 60 M A
 y
 B  O
 N
 C
 x
* Tiếp theo ta đề cập một số ví dụ về hình lăng trụ:
Ví dụ 9. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC vuông, AB = BC = a, cạnh 
bên AA’ = a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a khoảng cách giữa hai 
đường thẳng AM, B’C.
Giải z
Từ giả thiết ta có tam giác đáy ABC vuông B’ A’
cân tại B, kết hợp với tính chất của lăng trụ
đứng, ta chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, với
B  O(0;0;0), C(a;0;0), A(0;a;0), B’(0;0; a 2 ). C’
Bây giờ ta tính khoảng cách giữa AM và B’C.
M là trung điểm của BC
 a  a A y
 M ( ;0;0) AM ( ; a;0) O  B
 2 2
    a2 2 M
Mặt khác, B 'C (a;0; a 2) AM , B 'C (a2 2; ;a2 ) .
 2 C
 x
    a3 2
  AM , B 'C .AC a 7
Lại có AC (a; a;0) d(AM , B 'C)   2 . 
 a2 7 7
 AM , B 'C 
 2
Nhận xét: Theo phương pháp tổng hợp việc tính khoảng cách giữa hai đường 
thẳng AM và B’C trong bài toán này hoàn toàn không dễ, đòi hỏi dựng được mặt 
 9