Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng phương pháp hàm số giải bài toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức

 1. MỞ ĐẦU
 - Lý do chọn đề tài:
 Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức là các 
phần quan trọng trong chương trình toán phổ thông và thường gặp trong các kỳ 
thi học sinh giỏi, tuyển sinh đại học, cao đẳng. Phương trình, hệ phương trình, 
bất phương trình, bất đẳng thức được đề cập nhiều trong các tài liệu tham khảo 
với nhiều phương pháp giải đa dạng và phong phú. Trong quá trình học tập và 
giảng dạy, ta bắt gặp nhiều bài toán về phương trình, hệ phương trình, bất 
phương trình, bất đẳng thức mà việc giải quyết chúng là không hề đơn giản, 
buộc ta phải sử dụng một phương pháp đặc biệt nào đó. Vì vậy, trong phạm vi 
bài viết này, với mong muốn giúp các em học sinh có thêm một công cụ hữu 
hiệu giải quyết các bài toán về phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, 
bất đẳng thức trong các kỳ thi học sinh giỏi và tuyển sinh đại học, cao đẳng 
trong toàn quốc nên tôi chọn đề tài “Sử dụng phương pháp hàm số giải bài 
toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức”.
 - Đối tượng nghiên cứu:
 - Học sinh lớp 12 trường THPT Lê Lai.
 - Kiến thức về sử dụng tính đơn điệu của hàm số, sử dụng giá trị lớn nhất, 
 giá trị nhỏ nhất của hàm số.
 Nội dung đề tài được trình bày thành ba phần chính, trong mỗi phần tác 
giả trình bày theo trình tự: Kiến thức cơ sở, một số ví dụ có lời giải cụ thể và bài 
tập đề nghị.
 Đề tài được nghiên cứu, thử nghiệm trong phạm vi lớp 12C1; 12C2 
trường THPT Lê Lai, vào các tiết tự chọn thuộc chủ đề phương trình, hệ phương 
trình, bất phương trình, bất đẳng thức.
 - Phương pháp nghiên cứu:
 a) Nghiên cứu tài liệu:
 Nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến đề tài:
 - Sách giáo khoa Giải tích lớp 12 .
 - Tài liệu tham khảo.
 b) Điều tra:
 - Thực dạy và kết quả kiểm tra:
 1 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
 2.1. Cơ sở lí luận: 
 - Thông qua quá trình dạy học tôi đã tìm tòi góp nhặt, nghiên cứu các 
 dạng bài toán liên quan.
 - Trong thực tiễn tôi đã vận dụng khá tốt các nội dung của chuyên đề. 
 Từ đó hình thành cơ sở nghiên cứu chuyên đề này
 2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến:
 a) Thực trạng việc dạy của giáo viên: 
 Có một số giáo viên đã vận dụng phương pháp hàm số để giải các bài toán 
 Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức nhưng còn ở 
 mức độ chung chung. 
 b) Thực trạng việc học của học sinh:
 Đa số học sinh chỉ biết giải các bài tập tương tự với những bài mà mình đã 
 giải rồi, và bế tắc khi gặp bài toán mới và lúng túng trong việc lựa chọn cách 
 giải phù hợp.
 Chất lượng thực tế qua khảo sát chất lượng năm 2014-2015:
 Không đạt yêu 
 Đạt yêu cầu
 Số cầu
 Lớp
 lượng Số Số 
 % %
 lượng lượng
 12C1 38 17 44,7 21 55,3
 12C2 43 15 35 28 65
 c)Sự cần thiết của đề tài:
 Qua phân tích thực trạng việc học của học sinh và việc dạy của giáo viên, tôi 
 nhận thấy đề tài cần thiết đối với giáo viên trực tiếp giảng dạy nhằm giới thiệu 
 những kinh nghiệm và phương pháp phù hợp để nâng cao hiệu quả dạy học 
 tích cực cho học sinh lớp 12.
 2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải 
quyết vấn đề:
 a)Vấn đề được đặt ra:
 Hiện nay cách dạy mới là làm sao phát huy được tính tích cực, chủ động và 
 sáng tạo của học sinh trong học tập và rèn luyện. Để phát huy điều đó, chúng 
 ta cần phải đưa ra được những phương pháp dạy học hợp lí nhằm tạo cho học 
 sinh có hứng thú trong học tập, để đem lại kết quả trong học tập tốt hơn, và 
 hiệu quả giảng dạy cao hơn .
 b)Sơ lược quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm:
 3 Bài tập đề nghị
 1. Giải phương trình log x 11 x .
 2 2
 2. Giải phương trình 9x (13 x2 ).3x 9x2 36 0 .
 2
 x x 3 2
Ví dụ 2. Giải phương trình log3 2 x 3x 2
 2x 4x 5 
 Giải
 - Tập xác định ¡ .
 - Ta có,
 2
 x x 3 2
 log3 2 x 3x 2 .
 2x 4x 5 
 2 2 2 2
 log3 (x x 3) (x x 3) log3 (2x 4x 5) (2x 4x 5) * .
 - Xét hàm số f t log3 t t .
 Tập xác định 0; .
 1
 f ' t 1 0 t 0.
 t ln 3
 Suy ra, hàm số f t đồng biến trên khoảng 0; .
 - Do đó, * f (x2 x 3) f (2x2 4x 5) x2 x 3 2x2 4x 5 
 2 x 1
 x 3x 2 0 
 x 2.
 Vậy phương trình có nghiệm x 1, x 2.
Bài tập đề nghị
 x3 3y y3 3x
 1. Giải hệ phương trình 
 2 2
 2x y 4.
 x3 3y y3 3x
 2. Giải hệ phương trình 
 2 2
 3x y 1.
Ví dụ 3. Giải phương trình 3x 2x 1.
 Giải
 - Tập xác định ¡ .
 - Ta có, 
 3x 2x 1 3x 2x 1 0 * .
 5 - Từ hệ phương trình ta có x x2 2x 2 3x 1 y y2 2y 2 3y 1 * .
 - Xét hàm số f t t t 2 2t 2 3t 1 ,
 +) Txđ: ¡ .
 t 1 t 2 2t 2 t 1
 +) f ' t 1 3t 1 ln 3 3t 1 ln 3 0 t ¡ .
 t 2 2t 2 t 2 2t 2
 Do đó, * x y.
 - Với x y thế vào phương trình 1 của hệ ta có, 
 x x2 2x 2 3x 1 1 x 1 x2 2x 2 3x 1 3 .
 - Từ phương trình 3 suy ra 3x 1 x 1 x2 2x 2 1 4 .
 - Từ 3 và 4 suy ra: 3x 1 x 1 x 1 31 x 3x 1 31 x 2 x 1 0 5 .
 - Xét hàm số f x 3x 1 31 x 2 x 1 0 .
 +) Txđ: ¡ .
 +) f ' x 3x 1 ln 3 31 x ln 3 2 ln 3 3x 1 31 x 2 2 ln 3 1 0 x ¡ .
 +) f 1 0.
 Do đó, x 1 là nghiệm duy nhất phương trình 5 .
 Với x 1 y 1. Thử lại, ta có x y 1 là nghiệm của hệ đã cho.
Bài tập đề nghị
 x3 3x 3 ln(x2 x 1) y
 3 2
 1. Giải hệ phương trình y 3y 3 ln(y y 1) z.
 3 2
 z 3z 3 ln(z z 1) x
 2x3 2x2 18 y3 y
 3 2 3
 2. Giải hệ phương trình 2y 3y 18 z z
 3 2 3
 2z 3z 18 x x.
Ví dụ 5. Giải bất phương trình x 6 7 x 1.
 Giải
 Tập xác định D  6;7. 
 Xét hàm số f x x 6 7 x .
 7 2. Một số ví dụ và bài tập đề nghị
Ví dụ 1. Tìm m để phương trình sau 4x 2 3 21 4x x2 m .
 a) Có nghiệm.
 b) Có đúng một nghiệm.
 c) Có hai nghiệm phân biệt.
 Giải
 Tập xác định D  7;3.
 Xét hàm số f (x) 4x 2 3 21 4x x2 . 
 Hàm số liên tục trên D  7;3.
 3(2 x)
 f '(x) 4 x 7;3 .
 21 4x x2
 f ' x 0 4 21 4x x2 3(2 x) .
 x 2
 2 2
 16 21 4x x 9 2 x 
 x 2
 x 6
 x 2 7;3 
 x 2
 Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x).
 x -7 2 3
 f ' x + 
 15 10
 f x 10
 -30 
 Từ bảng biến thiên ta có,
 a) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 30 m 15.
 b) Phương trình có đúng một nghiệm khi và chỉ khi 30 m 10 hoặc 
 m 15.
 c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 10 m 15.
Ví dụ 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 
 x2 4x m x2 4x 3 m 2 0 ( m là tham số thực).
 9 4. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực.
 x 2
 x2 2x m.(x 4). 2 8 2x x2 14 m 0 .
 4 x
 5. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực
 4 6 x x2 3x m x 2 2 3 x .
 6. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực
 m 1 x 2 1 x 2 2 2 1 x 4 1 x 2 1 x 2 .
Ví dụ 3. Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x 1
 x 3 3mx 2 1 * .
 x 3
 Giải
 Ta có x 3 3mx 2 1 3mx x 3 1 2 3m x 2 1 2 . 
 x 3 x 3 x 4 x
 Xét hàm số f x x 2 1 2 , trên nửa khoảng 1; . 
 x 4 x
 Hàm số liên tục trên nửa khoảng 1; . 
 4 2 4 2 4 2 2
 f x 2x 2 2x 0  x ≠ 0. 
 x 5 x 2 x 5 x 2 x 2
 Suy ra. f x đồng biến trên khoảng (1; + ).
 Do đó f x 3m x 1 min f x f 1 2 3m 2 m .
 x 1 3
Bài tập đề nghị
 1. Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi giá trị 
 x 2;2 3 
 x(4 x) m( x2 4x 5 2) 0.
 2. Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x  4,6
 4 x 6 x x 2 2x m .
 3. Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x  3,6
 3 x 6 x 18 3x x 2 m 2 m 1.
Ví dụ 4: Tìm m để phương trình: x x x 12 m 5 x 4 x có nghiệm.
 Giải
 11 T – 2 2 5/2 
 f t – – 0 +
 + 
 22
 f t 2
 7/4
 Nhìn bảng biến thiên ta có 7 m 2  m 22 .
 4
Bài tập đề nghị
 1. Chứng minh rằngvới mọi số thực dương m hệ phương trình sau có 
nghiệm duy nhất
 y x m
 x y ( m là tham số thực).
 e e ln(1 x) ln(1 y)
 x y 4
 2. Tìm m để hệ ( m là tham số thực) có nghiệm 
 x 7 y 7 m
 x; y thỏa mãn điều kiện x 9.
III. Sử dụng tính đơn điệu, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để 
chứng minh bất đẳng thức.
1. Kiến thức cơ sở 
 - Nếu hàm số y f x đồng biến trên đoạn a;b thì
 1) f a f x f b x a,b .
 2) f a f x f b x a;b.
 - Nếu hàm số y f x nghịch biến trên đoạn a;b thì
 1) f a f x f b x a,b .
 2) f a f x f b x a;b.
2. Một số ví dụ và bài tập đề nghị
 sin2 x 
Ví dụ 1. Chứng minh rằng cos x 2 với x 0; .
 x 2 
 Giải
 sin x 
 Xét hàm số f x x , trên khoảng nửa khoảng 0; .
 cos x 2 
 13