Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng một số kết quả “đẹp” của hàm số và tích phân liên kết để tính tích phân

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
 TRƯỜNG THPT MƯỜNG LÁT
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
SỬ DỤNG MỘT SỐ KẾT QUẢ “ĐẸP” CỦA HÀM SỐ VÀ 
 TÍCH PHÂN LIÊN KẾT ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN
 Họ và tên: Đỗ Đình Bằng 
 Chức vụ: Giáo viên Toán
 Đơn vị: Trường THPT Mường Lát
 Sáng kiến kinh nghiệm thuộc lĩnh vực: Toán học
 THANH HÓA NĂM 2016 1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
 Phép tính tích phân và vi phân đã được hai nhà toán học nổi tiếng I. Newton 
(1643 – 1727) người Anh và G. Leibniz (1646 – 1716) người Đức, sáng tạo ra 
đồng thời và độc lập với nhau và họ đã giải quyết khối lượng lớn các bài toán 
quan trọng trong lĩnh vực toán học, đặc biệt là các bài toán về tích phân.
 Cho đến ngày nay tích phân rất quan trọng trong bộ môn Giải tích toán học, 
nó có nhiều ứng dụng như: Tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể, thể tích 
khối tròn xoay..., chính vì quan trọng như vậy đã đưa vào giảng dạy chương 
trình Giải tích lớp 12. Hơn thế nữa, trong một số đề thi Đại học và đề thi học 
sinh giỏi toán có những bài tích phân không dễ dàng chút nào, để làm được nó 
chúng ta phải có một cái nhìn thật khéo léo và tinh tế cộng với sự hiểu biết của 
mình về một số tính chất của hàm số thì bài toán được giải quyết một cách nhẹ 
nhàng. 
 Với hy vọng giúp học sinh học tốt hơn phần tích phân, nhất là học sinh ôn thi 
Đại học và thi học sinh giỏi toán, tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến của mình “Sử 
dụng một số kết quả “đẹp” của hàm số và tích phân liên kết để tính tích 
phân” 
1.2. Mục đích nghiên cứu
 Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh vùng cao và tạo cho học 
sinh có hứng thú học tích phân, đặc biệt giúp học sinh chủ động khi đứng trước 
những loại tích phân kiểu này
1.3. Đối tượng nghiên cứu
 Sử dụng một số kết quả “đẹp” của hàm số và tích phân liên kết để tính tích 
phân
1.4. Phương pháp nghiên cứu
 Trong quá trình nghiên cứu sáng kiến tôi đã sử dụng những phương pháp sau:
 +) Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham 
khảo và một số tài liệu khác có liên quan đến đề tài
 +) Phương pháp sư phạm: Thông qua các tiết giảng dạy trên lớp
 +) Phương pháp quan sát: Quan sát dạy và học ở Trường THPT Mường lát
 2. Nôi dung sáng kiến
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến
 Trình bày một số kết quả của hàm số như: Hàm số chẳn, hàm số lẻ, hàm số 
tuần hoàn..., mà tôi gọi đó là kết quả “đẹp’’ vào tính một số bài toán tích phân là 
rất cần thiết, sở dỉ trong chương trình Giải tích 12 không trình bày những kết 
quả nêu trên vào việc tính tích phân, đôi khi ta gặp những bài toán tích phân mà 
hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ và cận lấy tích phân trên một đoạn là tập đối 
xứng, hay khi gặp hàm tuần hoàn mà cận lấy tích phân quá sức tưởng tượng (cận 
quá lớn) và bạn giải quyết tích phân đó cũng phải mất vài trang giấy, lời giải 
cồng kềnh chắc gì đã thành công. Hơn nữa việc trình bày những kết quả nêu trên 
 2 0 1 t 2 1 t 2
Khi đó J ln t t 2 1 dt ln dt 
 2
 1 0 t 1 t
 1 t 2 1 t 2 1 1
 ln dt ln dt
 2 2
 0 t 1 t 0 t 1 t
 1 1
 ln t 2 1 t dt ln x 2 1 x dx 2 
 0 0
Thay (2) vào (1), ta được I 0. 
 1 1
 Chú ý: ln t 2 1 t dt ln x2 1 x dx
 0 0
Nghĩa là tích phân không phụ thuộc vào cách kí hiệu biến là x hay t...
 Nhận xét: Hàm số f x ln x x 2 1 xác định trên R
 1
 x R , ta có f x ln x 2 1 x ln ln x 2 1 x f x .
 x 2 1 x
Do đó f x là hàm lẻ trên R nói riêng là lẻ trên đoạn 1;1. 
Theo Kết quả 1, suy ra I 0.
 1 2 x
Ví dụ 1.3: Tính tích phân I cos xln dx
 1 2 x
 0 2 x 1 2 x
Giải: Ta có I cos xln dx cos xln dx 1 
 1 2 x 0 2 x
 0 2 x
Với tích phân J cos xln dx , ta đổi biến x t dx dt. 
 1 2 x
 0 2 t 1 2 t 1 2 x
Khi đó J cos t ln dt cost ln dt cos xln dx 2 
 1 2 t 0 2 t 0 2 x
Thay (2) vào (1), ta được I 0.
 2 x
 Nhận xét: Hàm số f x cos xln liên tục trên đoạn  1;1 và x  1;1, ta 
 2 x
 2 x 2 x
có f x cos x ln cos xln f x f x là hàm số lẻ trên  1;1
 2 x 2 x
Theo Kết quả 1, suy ra I 0.
 4
Ví dụ 1.4: Tính tích phân I x 2016 sin 2016x dx
 4
Giải: Đặt f x x 2016 sin 2016x , x ; , ta có 
 4 4 
 f x x 2016 sin 2016x x 2016 sin 2016x f x f x là hàm số lẻ trên ;
 4 4 
Theo Kết quả 1, ta được I 0
 Nhận xét: Với bài toán trên nếu ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần 
thì đây quả là một bài toán rất khó chịu.
 4 
 3 3 3
 2
Theo Kết quả 2, ta có I cos5 xdx 2 cos5 xdx 2 cos2 x cos xdx
 0 0
 3
 3 3
 2
 2 1 sin 2 x d sin x 2 1 2sin 2 x sin 4 x d sin x 
 0 0
 2 1 3 3 3 9 3 17 3
 3 5 
 2 sin x sin x sin x 2 
 3 5 0 2 4 32 16
 3 2x5 3x3 x 1
Ví dụ 2.3: Tính tích phân I dx
 2
 cos x
 3
 3 2x5 3x3 x 3 dx
Giải: Ta có I dx 
 2 2
 cos x cos x
 3 3
 2x5 3x3 x 
Đặt f x , x ; , ta có
 cos2 x 3 3 
 2x5 3x3 x 2x5 3x3 x 
 f x f x f x là hàm số lẻ trên ;
 cos2 x cos2 x 3 3 
 3 2x5 3x3 x
Theo Kết quả 1, ta được dx 0
 2
 cos x
 3
 3 dx 3
Khi đó I tan x 2 3
 2
 cos x 
 3 3
 1 3
 f x ; I 2tan x 2 3
 Nhận xét: Hàm 2 chẵn trên đoạn 
 cos x 3 3 0
 1 x 4 tan x
Ví dụ 2.4: Tính tích phân I dx
 2
 1 x 1
 1 x 4 tan x 1 x 4 1 tan x
Giải: Ta có I dx = dx dx
 2 2 2
 1 x 1 1 x 1 1 x 1
 1 tan x
Xét I dx
 1 2
 1 x 1
 tan x
Do hàm f x lẻ trên đoạn  1;1 nên từ Kết quả 1 ta có I 0
 x 2 1 1
 1 x 4
Xét I dx
 2 2
 1 x 1
 6 Ví dụ 3.2: Cho hàm số f x liên tục trên R thỏa mãn f x f x 2 2cos2x. 
 3 
 2
 Tính I f x dx (ĐHSP Hà Nội 2, 1998)
 3 
 2
Giải: Nhờ Kết quả 3, ta có f x f x 2 2cos2x
 3 3 3 3 
 2 2 2 2
Khi đó I f x dx 2 2 cos 2xdx 2 1 cos 2x dx 2 sin xdx
 3 
 0 0 0
 2
 3 3 
 2 2 
 2 sin xdx sin xdx 2 cos x cos x 6
 0 0 
 Nhận xét: Nếu chúng ta không biết đến Kết quả 3 thì việc tính tích phân trên 
vô cùng khó khăn vì giả thiết chưa đủ để xác định được hàm số f x . Hơn nữa 
 a
sự tiện lợi của nó là tính f x dx mà không cần biết đến hàm f x .
 a
Kết quả 4: Nếu hàm số f x liên tục và là hàm chẵn trên  a,a thì 
 a f x a
 I dx f x dx k 0
 x 
 a k 1 0
 a f x 0 f x a f x 
Chứng minh: Ta có I dx dx dx 1
 x x x 
 a k 1 a k 1 0 k 1
 0 f x 
Với tích phân dx, ta đổi biến x t dx dt
 x
 a k 1
 0 f x 0 f t a f t a k t f t a k x f x 
Khi đó dx dt dt dt dx 2 (do f x là 
 k x 1 k t 1 1 k t 1 k x 1
 a a 0 1 0 0
 k t
hàm chẵn)
 a f x a k x f x a f x a
Thay (2) vào (1) I dx dx dx f x dx. (đpcm)
 x x x 
 a k 1 0 k 1 0 k 1 0
 1 x 2
Ví dụ 4.1: Tính tích phân I dx
 x
 1 3 1
 1 x2 0 x2 1 x2
Giải: Ta có I dx dx dx 1
 x x x 
 1 3 1 1 3 1 0 3 1
 0 x2
Với tích phân dx, ta đổi biến x t dx dt
 x
 1 3 1
 0 x 2 0 t 2 1 t 2 1 3t t 2 1 3x x 2
Khi đó dx dt dt dt dx 2 ( f x là hàm chẵn)
 3x 1 3 t 1 1 3t 1 3x 1
 1 1 0 1 0 0
 3t
 8 
 2 sin xsin 2xcos5x
Ví dụ 4.4: Tính tích phân I dx (ĐH Bách Khoa, 1999)
 x
 e 1
 2
Giải: Hàm f x sin xsin 2xcos5x liên tục và là hàm chẵn trên ; nên từ 
 2 2 
 2 1 2
Kết quả 4 suy ra I sin xsin 2xcos5xdx cos x cos3x cos5xdx
 0 2 0
 1 2 1 2
 cos xcos5x cos3xcos5x dx cos4x cos6x cos2x cos8x dx
 2 0 4 0
 1 1 1 1 1 2
 sin 4x sin 6x sin 2x sin8x 0
 4 4 6 2 8 0
 Kết quả 5: Nếu hàm f x liên tục trên đoạn a;b thỏa mãn f x f a b x thì 
 b a b b
 xf x dx f x dx
 a 2 a
Chứng minh: Đổi biến x a b t dx dt
 b a b
Khi đó xf x dx a b t f a b t dt a b t f t dt
 a b a
 b b b b
 a b f t dt tf t dt a b f x dx xf x dx
 a a a a
 b b b a b b
 2 xf x dx a b f x dx xf x dx f x dx. 
 a a a 2 a
 Nhận xét: Nếu ta chọn a 0, b và f x là f sin x thỏa mãn 
 f sin x f sin 0 x thì ta nhận được kết quả xf sin x dx f sin x dx 1 
 0 2 0
 2 
Ta có f sin x dx f sin x dx f sin x dx
 0 0 
 2
 Đổi biến x t dx dt
 2 2
Khi đó f sin x dx f sin x dx f sin x dx 2 f sin x dx 2 
 0 0 0
 2
 2 2
Bằng phép đổi biến x t, ta lại có f sin x dx f cos x dx 3 
 2 0 0
Ví dụ 5.1: Tính tích phân I xsin 3 xdx
 0
 10