Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng các tính chất trong hình học phẳng để giải một số bài toán trong đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia và thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa

 “SỬ DỤNG CÁC TÍNH CHẤT TRONG HÌNH HỌC PHẲNG ĐỂ GIẢI 
 MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG ĐỀ THI TN THPT QUỐC GIA VÀ THI 
 HSG TỈNH THANH HÓA”
1. MỞ ĐẦU
 1.1. Lý do chọn đề tài.
 Trong cấu trúc của đề thi TN THPT quốc gia và thi HSG cấp tỉnh, bài toán 
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng là một bài toán khó, yêu cầu phải là học 
sinh khá, giỏi nắm vững kiến thức về hình học phẳng và có kỹ năng vận dụng 
kiến thức linh hoạt thì mới có thể làm được bài toán này.
 Những năm gần đây, việc khai thác các tính chất của hình học phẳng để 
đưa vào bài toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳng thường được người ra đề 
quan tâm. Do đó, học sinh muốn giải được những bài toán này thì giáo viên 
phải yêu cầu học sinh nắm vững các kiến thức của hình học phẳng, đặc biệt là 
các tính chất của các hình. Việc này rất quan trọng trong quá trình tiếp cận và 
giải quyết các bài toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
 Tôi chọn đề tài này nhằm mục đích giúp học sinh có một định hướng rõ 
ràng hơn khi đứng trước một bài toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. 
Giúp các em học sinh biết phân tich, liên hệ giữa tích chất của một số hình và 
yêu cầu của đề bài, từ đó xây dựng lời giải.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
 Tính chất của các hình phẳng rất nhiều, khuôn khổ của đề tài lại có hạn, 
nên ở đây tôi xin được trình bày hai tính chất quan trọng của các điểm đặc biệt 
trong một tam giác, đó là: Đường thẳng Ơ-le và đường tròn Ơ-le.
 Ở trong chương trình hình học phổ thông, trong sách giáo khoa không 
trực tiếp giới thiệu các tính chất này như những định lý thông dụng, vì vậy khi 
sử dụng vào bài giải của mình, bắt buộc học sinh phải chứng minh. Đương 
nhiên , việc chứng minh những tính chất này cũng không qua phức tạp.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
 Dựa trên sự phân tích và phân loại bài toán, đối chiếu với các tính chất 
của hình phẳng, từ đó tìm ra sự liên quan. Kết hợp với phương pháp quy nạp 
 1 Cách 2: Vẽ đường kính AD. ( Cách chứng minh này khá đơn giản, xin phép 
cho tôi không trình bày ở đây)
 A
 F
 E N
 H
 G I
 B
 K M C
 D
 Hình vẽ 2
Qua chứng minh trên ta dễ dàng suy ra được:
 1, Tứ giác BHCD là hình bình hành.
   
 2, AH 2IM .
   
 3, IH 3IG .
Đường tròn Ơ-le: Trong một tam giác, chân 3 đường cao, 3 trung điểm 3 
cạnh và 3 trung điểm các đoạn thẳng nối trực tâm đến đỉnh cùng nằm trên 
một đường tròn.
Chứng minh:
Đặt tên các điểm như hình vẽ.
 Hình vẽ 3
Để ý thấy là hình chữ nhật nên nội tiếp đường tròn có tâm là trung điểm 
của và . 
Tương tự:
 3 Bài toán 5:
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H, phương 
trình đường thẳng AH: 3x y 3 0 , Trung điểm cạnh BC là M(3;0), Gọi E, F 
lần lượt là chân đường cao hạ từ B, C tới AC, AB. Biết phương trình EF là:
x 3y 7 0. Tìm tọa độ đỉnh A biết A có hoành độ dương.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết 
vấn đề. 
Giải bài toán 1:
 • Phân tích bài toán: Đề bài cho trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp I 
 và trung điểm M của cạnh BC, ta nghĩ ngay tới hai hệ thức quan trọng
   
 *) AH 2IM .
   
 *) IH 3IG .
 Từ mỗi hệ thức này ta có thể xây dựng cách giải cho bài toán 1.
 Cách 1:
   
 AH 2IM
 Sử dụng  ta tìm được A(-7;10)
 IM (3; 3),
 Ta có IA2 ( 3 7)2 102 116
 Đường thẳng BC đi qua M(0;-3) và vuông góc với IM nên phương trình BC 
 là: 1(x 0) 1(y 3) 0 x y 3 0.
 Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình là :(x 3)2 y2 116
 Tọa độ B, C là nghiệm của hệ phương trình: 
 (x 3)2 y2 116 B( 7; 10),C(7;4)
 x y 3 0 C( 7; 10),B(7;4)
 Vậy tọa độ 3 đỉnh của tam giác ABC là: A( 7;10), B( 7; 10),C(7;4) hoặc
 A( 7;10), B(7;4), C( 7; 10) .
 Cách 2:
   7 4
 Sử dụng IH 3IG ta tìm được G( ; ) là trọng tâm tam giác ABC.
 3 3
   
 Lại có GA 2MG A( 7;10) rồi làm tương tự cách 1 dẫn đến kết quả.
 5 Phưng trình IM: 1(x 8) (y 11) 0 x y 3 0 
 A
 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:
 N
 H(3;-2)
 I(8;11)
 C
 B K(4;-1) M
 x y 3 0 x 0
 M (0;3)
 x y 3 0 y 3
   
 HA 2MI xA 3 16
 Sử dụng  A(19;14) Hình vẽ 4
 y 2 16
 MI (8;8) A
 Ta có IA2 (19 8)2 (14 11)2 130
 Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình là :
 (x 8)2 (y 11)2 130
 Tọa độ B, C là nghiệm của hệ phương trình: 
 (x 8)2 (y 11)2 130 B(1;2),C( 1;4)
 x y 3 0 C( 1;4),B(1;2)
 Vậy tọa độ 3 đỉnh của tam giác ABC là: A(19;14), B(1;2),C( 1;4) hoặc
 A(19;14),B( 1;4),C(1;2) .
Giải bài toán 4:
 • Phân tích bài toán: Đề bài cho tam giác ABC có D, E(-1;2), N lần lượt là 
 chân đường cao kẻ từ A, chân đường cao kẻ từ B và trung điểm cạnh AB. 
 3 7
 Biết I( ; ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEN. Nếu gọi M là 
 2 2
 3 7
 trung điểm cạnh BC thì M cũng thuộc đường tròn tâm I( ; ) . Mặt 
 2 2
 khác ta có thể lập được phương trình đường thẳng AC, tham số hóa điểm 
 C, suy ra tham số hóa điểm M. Cho M thuộc đường tròn ta sẽ tìm được 
 tham số, từ đó tim được C.
 7 Giải bài toán 5:
 • Phân tích bài toán: Ý tưởng thực hiện hướng giải bài toán này vẫn dựa 
 vào đường tròn Ơ-le, cũng cần chú ý rằng tam giác ABC có thể nhọn 
 hoặc tù, chính vì thế ta sẽ có hai hình vẽ cho bài toán trên.
 A
 H
 E
 I E
 I
 F
 F
 J
 H J
 A
 B
 M C B
 M C
 Hình vẽ 5 Hình vẽ 6
 Gọi I là trung điểm của AH. Tứ giác AEHF và tứ giác BCEF lần lượt nội 
tiếp đường tròn tâm I, tâm M nên ta có IM  EF (Vì EF là dây cung chung, IM 
là đường nối hai tâm).
 Ta có
 I·EH I·HE,I·EA I·AE doIE IH IA 
 E· BM M· EB doIE IH IA ,
 E· BM I·AE
 I·EH M· EB I·EM 900
 Tương tự I·FM 900 do đó tứ giác MEIF nội tiếp đường tròn đường kính IM, 
tâm la ftrung điểm J của đoạn IM.(Đường tròn Ơ-le)
 Đường thẳng IM qua và vuông góc với EF nên có phương trình:
 3x y 9 0
I là giao điểm của AH và IM nên tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình:
 3x y 3 0
 I(1;6)
 3x y 9 0
 Đường tròn đường kính IM có tâm J(2;3) và bán kính r JM 10 nên 
phương trình (J): (x 2)2 (y 3)2 10
 Tọa độ điểm E là nghiệm của hệ phương trình:
 9 Bài tập 4:
 1
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(3; ) tâm 
 4
 29 5
đường tròn ngoại tiếp I(0; ) và trung điểm cạnh BC là M( ;3) . Xác định tọa 
 8 3
độ các đỉnh của tam giác ABC.
 Đáp số: A( 2;1),B(2;1),C(3;5) 
 A( 2;1),B(3;5),C(2;1) .
Bài tập 5:
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC không vuông. Giả sử 
D(4;1), E(2;-1), N(1;2) theo thứ tự là chân đường cao kẻ từ A, chân đường cao 
kẻ từ B và trung điểm cạnh AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết 
rằng trung điểm M của cạnh BC nằm trên đường thẳng d : 2x y 2 0 và 
 xM < 1.
 Đáp số: A(4;3),B( 2;1), C(3;1).
 Bản thân tôi sau khi giới thiệu chuyên đề này với học sinh được các em 
hưởng ứng nhiệt tình, hăng hái. Sử dụng thành thạo và rất hiệu quả vào các bài 
tập thuộc dạng tương ứng.
 Đối với đồng nghiệp trong tổ toán cũng rất tán thưởng và trao đổi kinh 
nghiệm để bổ xung vào tài liệu và chuyên đề giảng dạy. 
3. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM.
 Khai thác những bài toán quen thuộc, ứng dụng những bài toán đơn giản 
vào việc giải các bài toán phức tạp hơn là cách dạy học tích cực nhằm phát huy 
tư duy toán học của học sinh, giúp học sinh có khả năng vận dụng linh hoạt kiến 
thức cơ bản để giải các dạng toán nâng cao phù hợp với nhận thức của học sinh, 
từ đó làm cho học sinh yêu thích và hăng say học tập môn toán hơn. 
 Bằng cách này trong thời gian qua được nhà trường phân công giảng dạy 
và bồi dưỡng học sinh giỏi khối 10, 11 bước đầu đã thu được kết quả đáng 
khích lệ. Quá trình vận dụng chuyên đề này cùng với những chuyên đề khác với 
cách tư duy tương tự đã giúp tôi bồi dưỡng được một lượng học sinh khá, giỏi 
 11 Tài liệu tham khảo
1. Sách giáo khoa Đại số 10 Nâng cao- NXB Giáo dục 2007.
2. Đề thi tuyển sinh Đại học và đáp án từ năm 2000 đến 2015.
3. Kỹ thuật giải nhanh hình phẳng Oxy – Đặng Thành Nam.
4. 10 bài toán trọng điểm hình học phẳng Oxy – Nguyễn Thanh Tùng
 13