Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng trong không gian Oxyz thỏa mãn điều kiện cực trị học cho học sinh lớp 12 THPT

 Nguyễn Bình Long – Trường THPT Lưu Hoàng – Huyện Ứng Hòa 
 MỤC LỤC 
PHẦN I: MỞ ĐẦU ............................................................................. Trang 2 
PHẦN II: NỘI DUNG ....................................................................... Trang 4 
Chương I. CƠ SỞ LÍ THUYẾT ....................................................... Trang 4 
CHƯƠNG II. MỘT SỐ BÀI TOÁN VIẾT PT MẶT PHẲNG, 
ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN OXYZ THỎA MÃN 
YẾU TỐ CỰC TRỊ ................................................................. Trang 7 
I. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG 
GIAN OXYZ THỎA MÃN YẾU TỐ CỰC TRỊ............................... Trang 7 
II. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG 
GIAN OXYZ THỎA MÃN YẾU TỐ CỰC TRỊ............................... Trang 12 
Chương III: KẾT QUẢ VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM ............... Trang 16 
I. Tiến hành thử nghiệm ..................................................................... Trang 16 
II. Kết luận chung về thử nghiệm ...................................................... Trang 17 
III. Bài học kinh nghiệm .................................................................... Trang 18 
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................. Trang 19 
 1/20 Nguyễn Bình Long – Trường THPT Lưu Hoàng – Huyện Ứng Hòa 
+ Đưa ra một số bài toán về viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng trong 
không gian Oxyz có yếu tố cực trị. 
+ Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh thông qua các bài tập tự luyện. 
IV. Dự kiến cấu trúc của sáng kiến kinh nghiệm: 
 Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, SKKN gồm 
3 chương 
Chương I. Cơ sở lí thuyết 
Chương II. Một số bài toán Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng 
trong không gian Oxyz có yếu tố cực trị. 
Chương III. Kết quả và Bài học kinh nghiệm 
 =========== =========== 
 3/20 Nguyễn Bình Long – Trường THPT Lưu Hoàng – Huyện Ứng Hòa 
3.2. Tích có hướng của hai véc tơ 
 Định nghĩa: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ và được tính như 
 y z z x x y
sau: u,;;;; v yz'''''' y z zx z x xy x y 
 '''''' 
 y z z x x y
 Tính chất: u,;, v  u u v  v 
II. Phương trình mặt phẳng 
1) Véc tơ pháp tuyến. 
- Vectơ n 0 có giá vuông góc với mặt phẳng ( ) được gọi là VTPT của mặt 
phẳng ( ). 
- Nếu u, v là hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên mặt 
phẳng ( ) thì u, v n là một VTPT của mặt phẳng ( ). 
   
- Nếu ba điểm A, B, C không thẳng hàng thì AB, AC n là một VTPT của mặt 
phẳng (ABC). 
- Mặt phẳng ( ) đi qua điểm Mo(x0; y0; z0) và có một VTPT n A;; B C có 
phương trình: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 () . 
Chú ý: Trong không gian Oxyz, phương trình: Ax + By + Cz + D = 0 với điều 
kiện A2 + B2 + C2 > 0 là phương trình một mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến 
là: n = (A; B; C). 
2) Các cách viết phương trình mặt phẳng. 
Cách 1: Mặt phẳng ( ) qua điểm Mo(x0; y0; z0) và có một vectơ pháp tuyến n = 
(A, B, C) có phương trình là: 
 A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 Ax + By + Cz + D = 0. 
Cách 2: Mặt phẳng ( ) qua điểm Mo(x0; y0; z0) và có hai vectơ không cùng 
phương u1,u2 có giá song song hoặc chứa trong ( ) thì ( ) có vectơ pháp tuyến 
là n [u1;u2 ] . 
Cách 3: Từ phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0 (A2 + B2 + C2 > 0), 
thường dùng khi trong giả thiết có khoảng cách, góc... 
Cách 4: Mặt phẳng ( ) đi qua ba điểm A(a; 0; 0); B(0; b; 0), C(0; 0; c) với abc 
 x y z
 0 thì ( ) có phương trình: 1 
 a b c
III. Phương trình đường thẳng 
1) Véc tơ chỉ phương. 
- Vectơ u 0 có giá song song hoặc trùng với đường thẳng được gọi là VTCP 
của đường thẳng . 
- Đường thẳng đi qua điểm Mo(x0; y0; z0) và có VTCP u a;; b c , khi đó 
 5/20 Nguyễn Bình Long – Trường THPT Lưu Hoàng – Huyện Ứng Hòa 
VI. Một số bất đẳng thức cơ bản 
 Để giải nhanh bài toán cực trị trong hình học tọa độ trong không gian, ta 
cần tìm được vị trí đặc biệt của nghiệm hình đề cực trị xảy ra. Khi đó ta cần khai 
thác được các đại lượng không đổi (Đoạn thẳng, khoảng cách từ điểm đến 
đường thẳng, mặt phẳng,) để áp dụng các bất đẳng thức hình học cơ bản sao 
cho phù hợp với bài toán. 
 7/20 Nguyễn Bình Long – Trường THPT Lưu Hoàng – Huyện Ứng Hòa 
Bước 1: Gọi N là hình chiếu vuông góc của M trên d, H là hình chiếu vuông góc 
của M trên ( ). 
Bước 2: Ta có d(M, ( )) = MH MN (không đổi). Vậy d(M, ( )) lớn nhất là 
MN khi H  N hay ( ) là mặt phẳng qua N và vuông góc với MN. 
Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua N và vuông góc với MN. 
Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2; 5; 3) và đường thẳng d: 
 x 1 y z 2
 . Gọi ( ) là mặt phẳng chứa d sao cho khoảng cách từ M đến ( ) 
 2 1 2
lớn nhất. Khi đó ( ) đi qua điểm nào? 
 A. A(1; 1; 0) B. B(1; 1; 1) C. C(-1; 1; 0) D. D(0; 1; 1) 
Bài giải: 
  
+) Gọi N(2a + 1; a; 2a + 2) thuộc d MN (2 a 1; a 5;2 a 1) . N là hình chiếu 
   
vuông góc của M trên d khi MN ud (2;1;2) 2(2a – 1) + a – 5 + 2(2a – 1) = 
0 a = 1 N(3; 1; 4). 
+) Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên ( ). Ta có d(M, ( )) = MH MN 
= 3 2 . Vậy d(M, ( )) lớn nhất là 3 2 khi H  N hay ( ) là mặt phẳng qua N và 
vuông góc với MN. 
+) Mặt phẳng ( ) qua N(3; 1; 4), có một véctơ pháp tuyến n (1; 4;1) có 
phương trình là: x – 4y + z – 3 = 0 
 Chọn đáp án A. 
 Bài Toán 3: Viết phương trình mặt phẳng ( ) d N
 đi qua M, song với d và cách d một khoảng lớn 
 nhất. 
 H
 M
 α 
Hướng dẫn: Khai thác đại lượng không đổi khoảng cách từ M đến d, theo 
các bước: 
Bước 1: Tìm N là hình chiếu vuông góc của M trên d, gọi H là hình chiếu vuông 
góc của N trên ( ). Ta có d(d, ( )) = d(N, ( )) = NH MN (không đổi). 
Bước 2: Vậy d(d, ( )) lớn nhất là MN khi H  M hay ( ) là mặt phẳng qua M 
và vuông góc với MN. 
Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua M và vuông góc với MN. 
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; -1; 4) và đường 
 x 1 y 2 z
thẳng : . Biết mặt phẳng (P) có phương trình x + ay + bz + c = 
 1 1 3
0 là mặt phẳng đi qua M và cách một khoảng lớn nhất. Tính T = a + b + c? 
 A. T = 6 B. T = 3 C. T = -8 D. T = -5 
Bài giải: 
 9/20 Nguyễn Bình Long – Trường THPT Lưu Hoàng – Huyện Ứng Hòa 
 n. k C 1 1
 cos . 
 2 2 2 2
 n. k 2B 4 BC 5 C BB 2t 4 t 5
 2 4 5
 CC 
Khi đó nhỏ nhất cos lớn nhất f(t) = 2t2 + 4t + 5 nhỏ nhất t = -1 B 
= -C, ta chọn B = -1, C = 1 A = 1. Vậy (Q): x – y + z – 3 = 0 
 Chọn đáp án A. 
 Bài Toán 5: Viết phương trình mặt phẳng 
 B d'
 (P) chứa đường thẳng d và tạo với đường 
 thẳng d’ (d’ không song song với d) một 
 góc lớn nhất. 
 H
 A
 d
 P M
Hướng dẫn: 
Cách 1: Khai thác đại lượng không đổi, theo các bước. 
Bước 1: Lấy điểm A cố định trên d, kẻ đường thẳng qua A song song với d’, 
lấy điểm B cố định trên khác A. 
Bước 2: Gọi H, M lần lượt là hình chiếu vuông góc của B trên (P), d. 
 BH BM
Bước 3: Ta góc giữa d’ và (P) là góc BAHˆ : sin BAHˆ (không đổi). 
 AB AB
Vậy góc giữa d’ và (P) là góc BAHˆ lớn nhất khi sin BAHˆ lớn nhất khi H  M hay 
(P) là mặt phẳng qua M vuông góc với BM. 
Cách 2: Dùng công thức góc giữa hai mặt phẳng. 
   
   ud'. n P
 sin(d ',( P )) cos( ud' , n P )   
 ud' . n P
Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz. Mặt phẳng (P): ax + by + cz – 7 = 0 chứa 
 x 1 y 1 z 2 x 1 y z 1
đường thẳng d: và tạo với đường thẳng d’: một 
 2 1 2 1 2 1
góc lớn nhất. Tính a + b + c? 
 A. 0 B. -2 C. -4 D. -3 
Bài giải: 
Bài giải: 
+) Lấy hai điểm trên d là: A(1; -1; 2), B(3; 0; 4). 
 2 2 2
+) Giả sử mặt phẳng (P) chứa d có một VTPT là: n (;;) A B C , với A + B + C > 
0. Vì mặt phẳng (P) qua A(1; -1; 2) nên (P): Ax + By + Cz – A + B - 2C = 0, 
mặt khác qua B(3; 0; 4) nên B = -2A - 2C n (A; 2 A 2 C ; C ) . 
+) Gọi là góc giữa (P) và d’, khi đó: 
 11/20 Nguyễn Bình Long – Trường THPT Lưu Hoàng – Huyện Ứng Hòa 
Câu 7: Trong không gian Oxyz. Mặt phẳng (P): ax + by + cz – 23 = 0 đi qua hai 
điểm A(1; 2; -1), B(2; 1; 3) và tạo với trục Ox một góc lớn nhất. Tính a + 4b + 
c? 
 A. 9 B. -16 C. -9 D. 17 
Câu 8: Trong không gian Oxyz. Mặt phẳng (P): 2x + by + cz = 0 đi qua gốc tọa 
độ O, vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x + y – z – 1 = 0 và tạo với trục Oy một 
góc lớn nhất. Tính b + c? 
 A. 6 B. -6 C. -7 D. 7 
II. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 
OXYZ THỎA MÃN YẾU TỐ CỰC TRỊ 
 Bài Toán 6: Viết phương trình đường thẳng B
 d chứa trong (P), đi qua A và cách B cho 
 trước một khoảng lớn nhất. 
 d
 H
 A
 K
 P 
Hướng dẫn: Khai thác đại lượng không đổi, theo các bước. 
Bước 1: Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên d, H là hình chiếu vuông góc 
của B trên (P). 
Bước 2: Ta có d(B, d) = BK BA (không đổi). Vậy d(B, d) lớn nhất là BA khi 
   
 u n; AB 
K  A hay d là đường thẳng đi qua A và có một VTCP P . 
   
 u n; AB 
Bước 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua A và có một VTCP P . 
Ví dụ 6: Đường thẳng d đi qua điểm A(1; 1; -1), nằm trong mặt phẳng (P): 2x – 
y – z = 0 và cách điểm B(0; 2; 1) một khoảng lớn nhất. Biết đường thẳng d đi 
qua điểm E(2; b; c). Tính b + c? 
 A. -2 B. 4 C. 2 D. 3 
Bài giải:  
+) Ta có: AB ( 1;1;2) 
+) Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên d, H là hình chiếu vuông góc của B 
trên (P). 
+) Ta có d(B, d) = BK BA = 6 . Vậy d(B, d) lớn nhất là 6 khi K  A hay d 
   
 u n; AB ( 1; 3;1)
là đường thẳng đi qua A và có một VTCP P Phương 
 x 1 t
trình tham số của d là: y 1 3 t E(2; 4; -2) 
 z 1 t
 Chọn đáp án C. 
 13/20