Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện kỹ năng giải phương trình vô tỉ và một số giải pháp giúp học sinh khắc phục sai lầm trong giải phương trình vô tỉ

 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2015-2016 GIÁO VIÊN : TRẦN THANH HẢI
 MỤC LỤC
 PHẦN I PHẦN MỞ ĐẦU Trang
 I.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trang 2
 I.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Trang 2
 I.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Trang 3
 I.4 PHẠM VI NGHIÊN CỨU Trang 3
 I.5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Trang 3
 PHẦN II NỘI DUNG ĐỀ TÀI
 II.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN Trang 4-5
 II. 2 THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Trang 5-6
 MỘT SỐ GIẢI PHÁP Trang 7
 Giải pháp 1 Trang 7
 Giải pháp 2 Trang 10
 II.3
 Giải pháp 3 Trang 11
 Giải pháp 4 Trang 16
 Giải pháp 5 Trang 17
 PHẦN III KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ Trang 21
 TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 22
 TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG 1 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2015-2016 GIÁO VIÊN : TRẦN THANH HẢI
không mắc sai lầm khi biến đổi. Hy vọng với đề tài nhỏ này sẽ giúp các bạn đồng 
nghiệp cùng các em học sinh có một cái nhìn toàn diện cũng như phương pháp giải 
một lớp các bài toán về giải phương trình vô tỉ.
I.3) ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU :
 - Phương trình vô tỉ (Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn).
 - Học sinh hai lớp 10E, 10D
 - Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 10 và ôn thi THPT 
Quốc Gia ở trường THPT, cùng với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy. Tôi đã 
tổng hợp, khai thác và hệ thống hoá lại các kiến thức thành một chuyên đề: “Rèn 
luyện kỹ năng giải phương trình vô tỉ và một số giải pháp giúp học sinh khắc 
phục sai lầm trong giải phương trình vô tỉ ’’.
I.4) PHẠM VI NGHIÊN CỨU :
 - Nội dung phần phương trình vô tỉ và một số bài toán cơ bản, nâng cao nằm 
trong chương trình đại số 10. 
 - Một số bài giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn trong các tài liệu tham khảo 
và trong các đề thi Đại học - Cao đẳng - TCCN và đề thi THPT Quốc Gia của Bộ 
Giáo Dục.
I.5) PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Phương pháp: 
 - Nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết.
 - Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học .
 - Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm.
Cách thực hiện:
- Tham khảo các tài liệu.
- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn.
- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình 
giảng dạy.
- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 10 và các lớp ôn thi THPT 
Quốc Gia.
- Tham gia đầy đủ các buổi sinh hoạt tổ, nhóm chuyên môn.
 TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2015-2016 GIÁO VIÊN : TRẦN THANH HẢI
Giải pháp 5 :
 * Hướng dẫn học sinh giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá
 II.2) THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
 Học sinh trường THPT Hà Trung bên cạnh những học sinh có nhận thức tốt 
cũng còn không ít học sinh nhận thức còn chậm, chưa hệ thống được kiến thức. Khi 
gặp các bài toán về phương trình vô tỉ chưa phân loại và định hình được cách giải, 
lúng túng khi đặt điều kiện và biến đổi,trong khi đó phương trình loại này có rất 
nhiều dạng. Nhưng bên cạnh đó chương trình đại số 10 không nêu cách giải tổng 
quát cho từng dạng, thời lượng dành cho phần này là rất ít. 
 Khi giảng dạy cho học sinh tôi nhận thấy: 
1. Khi gặp bài toán: 
 Giải phương trình: 2x 3 x 2 (1)
 ( Ví dụ 2 trang 60 Đại số 10 Chương trình chuẩn)
 Sách giáo khoa đại số 10 đã giải như sau:
 3
Điều kiện PT(1) là x (*)
 2
 Khi đó: Từ PT(1) 2x 3 x2 4x 4 x2 6x 7 0 
 Phương trình cuối có nghiệm là x = 3 + 2 và x = 3 - 2 .
 Cả hai nghiệm đều thoả mãn điều kiện (*) của phương trình (1) nhưng khi thay các 
giá trị của các nghiệm tìm được vào phương trình (1) thì giá trị x = 3 - bị2 loại .
 Vậy nghiệm phương trình (1) là x = 3 + 2 .
 Mặt khác, một số học sinh còn có ý kiến sau khi giải được nghiệm ở phương trình 
 3
cuối chỉ cần so sánh với điều kiện x (*) để lấy nghiệm và nghiệm phương 
 2
trình là x = 3 + 2 và x = 3 - 2 .
 Theo tôi cách giải vừa nêu trên rất phức tạp ở việc thay giá trị của nghiệm vào 
phương trình ban đầu để thử sau đó loại bỏ nghiệm ngoại lai và dễ dẫn đến sai lầm 
 3
của một số học sinh khi lấy nghiệm cuối cùng vì nhầm tưởng điều kiện x là 
 2
điều kiện cần và đủ.
2. Khi gặp bài toán: 
 Giải phương trình: 2x2 4x 3 4x 1
 2x2 4x 3 0
 Học sinh thường đặt điều kiện sau đó bình phương hai vế để giải 
 4x 1 0
phương trình.
 Điều chú ý ở đây là học sinh cứ tìm cách để biểu thị hệ điều kiện của phương 
trình mà không biết rằng chỉ cần điều kiện 4x - 1 0 là điều kiện cần và đủ mà 
không cần đặt đồng thời cả hai điều kiện .
3. Khi gặp bài toán: 
 TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG 5 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2015-2016 GIÁO VIÊN : TRẦN THANH HẢI
 II.3) MỘT SỐ GIẢI PHÁP
 Qua nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh nghiệm từ thực tế và ý kiến của 
đồng nghiệp tôi mạnh dạn đưa ra hướng giải quyết các vấn đề trên của học sinh với 
những giải pháp cụ thể giúp học sinh khắc phục những sai lầm trên và qua đó rèn 
luyện kĩ năng khi biến đổi và giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn.
1/ Giải pháp 1: 
 * Hướng dẫn học sinh sử dụng phép biến đổi phương trình dạng: f (x) g(x) 
 Phương pháp:
 Giáo viên: Chỉ cho học sinh thấy được rằng nếu khi bình phương hai vế để đi đến 
phương trình tương đương thì hai vế đó phải không âm.
 g(x) 0
 f (x) g(x)
 Nên phương trình : 2
 f (x) g (x)
 Điều kiện g(x) 0 là điều kiện cần và đủ vì f (x) g 2 (x) 0 . Không cần đặt thêm 
điều kiện f (x) 0
Bài toán 1: Giải phương trình
 1. 3x 4 x 3 (1)
 2. 3x2 2x 1 3x 1 (2)
Bài giải: 
 x 3 0 x 3
 3x 4 x 3
1. Ta có: 2 2
 3x 4 (x 3) x 9x 13 0
 x 3
 9 29
 9 29 x 
 x 2
 2
Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 9 29 .
 2
2. Nhận xét: 
 Biểu thức dưới dấu căn là biểu thức bậc hai, nên nếu sử dụng phương pháp 
biến đổi hệ quả sẽ gặp khó khăn khi biểu thị điều kiện để 3x 2 - 2x -1 0 và thay 
giá trị của các nghiệm vào phương trình ban đầu để lấy nghiệm.
Ta có thể giải như sau: 
 3x 1 0
 3x2 2x 1 3x 1
 Ta có : 2 2
 3x 2x 1 (3x 1)
 1
 x 
 1 3
 x 1
 3 x 1 x 
 3
 3x2 4x 1 0 1
 x 
 3
 TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG 7 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2015-2016 GIÁO VIÊN : TRẦN THANH HẢI
Bài toán 3: Giải phương trình
 x2 7x 12 (x 3)(x2 x 6) (5)
Bài giải
Điều kiện : (x 3)(x2 x 6) 0 (x 3)2 (x 2) 0 x 2 .
 x2 7x 12 0 x 3; x 4
Khi đó PT(5) 
 2 2 2 2 2 2
 (x 7x 12) (x 3)(x x 6) (x 3) (x 4) (x 3)(x x 6)
 x 3; x 4 x 3; x 4
 3 2 2
 (x 3)(x 12x 41x 42) 0 (x 3)(x 2)(x 10x 21) 0
 x 3; x 4
 x 3
 x 3 
 x 2 . Vậy phương trình có ba nghiệm x 3; x 2; x 7 .
 x 2 
 x 7
 x 7
Nhân xét: 
Bài toán này HS có thể giải mắc sai lầm như sau:
Ta có: x2 7x 12 (x 3)(x2 x 6) (x 3)(x 4) (x 3)2 (x 2)
 (x 3)(x 4) (x 3) x 2 (x 3)(x 4 x 2) 0
 x 3
 x 3 0 x 3 
 x 4 0
 x 4 x 2 0 x 2 x 4
 2
 x 2 (x 4)
 x 3
 x 3 
 x 4 x 3
 x 4 
 x 2 x 7
 2 
 x 9x 14 0 
 x 7
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 3 và x 7 .
 HS có thể kết luận với x 3 và x 7 là hai nghiệm thoả mãn của phương 
trình. Mà không ngờ rằng phương trình đã cho còn có một nghiệm nữa là x = 2 
cũng thoả mãn.
 0 khi A 0
 2 
 Chú ý rằng: A B A B A B khi A 0
 A B khi A 0
Lời giải trên đã bỏ sót mất trường hợp A ≤ 0
 * Như vậy khi gặp các bài toán thuộc các dạng nêu trên học sinh chủ động 
hơn trong cách đặt vấn đề bài giải: điều kiện phương trình là gì? đặt cái gì? biến đổi 
như thế nào là biến đổi tương đương? biến đổi như thế nào là biến đổi hệ quả? kết 
luận nghiệm cuối cùng dựa vào điều kiện nào?
 TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG 9 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2015-2016 GIÁO VIÊN : TRẦN THANH HẢI
 x 4 0
 x 4 0 x 4
 x 1 0 
 x 1 2x 3 x 2
 x 1 2x 3
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Chú ý: Học sinh có thể đưa ra lời giải sai như sau
 Ta có : 2 x 4 x 1 2x 3 4x 16
 2 x 4 x 1 2x 3 4 x 4 
 x 1 0 x 1 phương trình đã cho có 
 x 1 2x 3 
 x 1 2x 3 x 2
nghiệm x = 2.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2.
 A 0
Cần để ý rằng: A B A C 
 B C
 7 x2 x x 5 0
 2
2. Điều kiện: 3 2x x 0 (*)
 x 5 0
Với điều kiện (*) hai vế của PT (2) không âm, nên bình phương hai vế ta được
 7 x2 x x 5 3 2x x2 x x 5 2x 4 
 x(2x 4) 0 2 x 0
 2 2 3 2
 x (x 5) 4x 16x 16 x x 16x 16 0
 2 x 0
 2 x 0 
 2 x 1 x 1 thoả mãn điều kiện (*)
 (x 1)(x 16) 0 
 x 4
Vậy nghiệm của phương trình là x 1.
Chú ý: Hệ điều kiện (*) rất phức tạp nên ta không cần giải ra cụ thể.
3/ Giải pháp 3 : 
* Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ khi giải phương trình 
vô tỉ.
 Trước hết giáo viên cần làm cho học sinh nhận thấy mục đích của phương 
pháp đặt ẩn phụ là chuyển phương trình đã cho về các phương trình hoặc các hệ 
phương trình đã biết cách giải.
Chú ý một số dang 
Bài toán 6: Giải phương trình
 1. 5 4x2 12x 11 4x2 12x 15
 2. x 2 x2 8x 2 x 8
Bài giải :
 TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG 11