Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

 Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 
 BÁO CÁO KẾT QUẢ 
 NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 
1. LỜI GIỚI THIỆU. 
1.1. Lý do chọn đề tài. 
 Đồ thị hàm số là một khái niệm thể hiện hình ảnh trực quan của hàm số, 
thông qua đồ thị hàm số mà chúng ta nhận ra được một số tính chất: Tính đồng 
biến, nghịch biến, điểm cực trị của hàm số, giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm 
số, nghiệm (số nghiệm) của một phương trình hay bất phương trình liên quan,... 
 Trong thời gian gần đây, khi hình thức thi THPT Quốc gia chuyển sang 
thi trắc nghiệm khách quan thì các bài toán liên quan đến đồ thị rất được chú ý 
và thường xuất hiện trong kỳ thi THPT Quốc gia, thi HSG ở các tỉnh trên cả 
nước. Các bài toán có yếu tố đồ thị xuất hiện ở nhiều dạng toán khác nhau như: 
Sự biến thiên của hàm số, điểm cực trị của hàm số, giá trị lớn nhất – nhỏ nhất 
của hàm số, nghiệm của phương trình – bất phương trình, tích phân – diện tích 
hình phẳng,... Phạm vi của đề tài này chỉ đề cập đến hai dạng toán đó là bài toán 
về sự biến thiên và bài toán về cực trị của hàm số. 
 Đối với hình thức thi trắc nghiệm như hiện nay các em học sinh thường 
quen làm việc với các con số, số liệu cụ thể và cố gắng sử dụng máy tính cầm 
tay để tìm cách chọn được đáp án nhanh nhất. Các em gặp rất nhiều khó khăn 
trong việc đọc được các thông tin cần thiết, chính xác về hàm số dựa vào đồ thị 
của chúng. Chính vì vậy tôi lựa chọn đề tài “ Rèn luyện kỹ năng giải một số 
dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 ” với mục đích giúp các em 
học sinh lớp 12 làm quen và dần thành thạo các bài toán liên quan đến đồ thị. 
Trước hết các em thành thạo cách vẽ đồ thị của các hàm số cơ bản, biết cách 
biến đổi đồ thị để vẽ được đồ thị một số hàm số khác liên quan dựa trên đồ thị 
của hàm số đã cho. Tiếp đó rèn luyện cho các em kỹ năng đọc các thông tin về 
hàm số dựa vào đồ thị đã cho. Từ đó các em giải được các bài toán về điểm cực 
trị, tính đơn điệu của hàm số bằng phương pháp vẽ đồ thị hàm số hoặc khai thác 
các thông tin trên đồ thị để xét dấu đạo hàm của các hàm số liên quan. Qua thực 
 Năm học 2019 - 2020 Trang 1 
 Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 
 Bám sát nội dung, chương trình giáo dục phổ thông, có sự mở rộng phù 
hợp với nội dung chương trình thi THPT Quốc gia môn toán trung học phổ 
thông. 
1.4. Nhiệm vụ nghiên cứu: 
 - Đề xuất, tuyển chọn và sắp xếp các bài toán cơ bản, hay theo trình tự từ 
dễ đến khó một cách hợp lý để học sinh tiếp nhận chúng một cách tự nhiên, 
không gặp nghiều khó khăn và theo một hệ thống. Từ đó tạo được hứng thú cho 
học sinh khi gặp dạng toán này. 
 - Đưa ra một số nhận xét, đánh giá chủ quan có hệ thống về cách tiếp cận 
lời giải trong các dạng toán cơ bản, điển hình. 
1.5. Phương pháp nghiên cứu: 
 - Phương pháp nghiên cứu lý luận. 
 - Thu thập, nghiên cứu hệ thống lại các tài liệu. 
 - Phân tích, đề xuất phương án giải quyết bài toán. 
 - Thực nghiệm sư phạm qua công tác giảng dạy học sinh đại trà, công tác 
bồi dưỡng ôn luyện thi THPT QG của cá nhân tôi trong thời gian 3 năm học, từ 
năm 2017 – 2018 đến năm học 2019 – 2020. 
 Với mục đích, nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu đã nêu ở trên, đề tài “ 
Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 
” chỉ đề cập đến một số dạng toán cơ bản, thường gặp như phần phạm vi đề tài 
đã nêu ra. Vì lý do còn hạn chế về thời gian cũng như kinh nghiệm giảng dạy, đề 
tài này chắc chắn vẫn còn nhiều thiếu sót trong cấu trúc cũng như nội dung. 
Kính mong quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp đọc và cho nhận xét, góp ý đề 
đề tài được hoàn thiện hơn. 
 Tôi xin trân trọng cảm ơn ! 
 Năm học 2019 - 2020 Trang 3 
 Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 
truyền thụ những tri thức dưới dạng sẵn có mà cần phải quan tâm nhiều đến việc 
dạy phương pháp, dạy cách đi tới tri thức mới cho học sinh. Một trong những 
biện pháp để phát triển tư duy học sinh đó là giải các bài tập toán. Giải các bài 
toán đóng vai trò trung tâm trong hoạt động dạy học. Chức năng của bài toán 
không chỉ bó hẹp trong chức năng của bài tập áp dụng. Chính học sinh tự mình 
xây dựng các kiến thức toán học cho chính bản thân mình thông qua hoạt động 
giải các bài toán. 
1.2. Các bước của hoạt động giải toán 
 Hoạt động giải toán thường diễn ra theo năm bước sau đây: 
Bước 1: Tìm hiểu bài toán 
 - Đọc kĩ đề, nghiên cứu, tìm hiểu và phân tích rõ được các dữ kiện đã cho, 
 điều kiện gắn liền với bài toán và hiểu được vấn đề mà bài toán yêu cầu giải 
quyết. 
 - Tóm tắt bài toán, đổi đơn vị các đại lượng cho phù hợp. 
 - Vẽ hình trong các bài toán hình học, hoặc mô hình minh họa. 
Bước 2. Tìm kiếm phương hướng giải (Chương trình giải) 
 Đây là vấn đề khó khăn lớn nhất đối với đa số học sinh khi đứng trước 
một bài toán, học sinh thường không biết “ khởi động ” như thế nào, không biết 
bắt đầu từ đâu. Thông thường học sinh biến đổi một cách tùy tiện, cầu may, mà 
không có định hướng cụ thể, mặc dù các em có thể đã hiểu được những dữ kiện 
và yêu cầu của bài toán. 
 Một số biện pháp giúp học sinh tìm phương hướng: 
 - Nhận biết kiến thức: Huy động mọi kiến thức liên quan đến giả thiết và 
 kết luận của bài toán. Phân tích theo hướng có lợi, sắp xếp và chắp nối các 
 kiến thức để tìm ra cách giải. 
 - Quy lạ về quen. 
 - Nghiên cứu một vài trường hợp đặc biệt, từ đó dự đoán cách giải cũng 
 như kết quả bài toán. 
 - Phân tích đi lên, đi xuống: Tăng, giảm các điều kiện để tìm ra các dấu 
 hiệu đặc biệt 
Bước 3: Lựa chọn phương hướng giải và tiến hành giải theo hướng đã chọn. 
 Trong trường hợp có nhiều cách giải, giáo viên có thể đề nghị học sinh 
 Năm học 2019 - 2020 Trang 5 
 Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 
2.2. Hàm số đồng biến, nghịch biến 
2.2.1. Định nghĩa 1. 
 Cho hàm số y f() x xác định trên tập D (D là một khoảng, nửa khoảng, 
đoạn). 
 - Hàm số y f() x gọi là đồng biến trên tập D nếu x1, x 2 D và x1 x 2 thì 
 f( x1)() f x 2 . 
 - Hàm số y f() x gọi là nghịch biến trên tập D nếu x1, x 2 D và x1 x 2 
thì f( x1)() f x 2 . 
2.2.2. Nhận xét về đồ thị 
 - Đồ thị hàm số đồng biến trên tập D là một đường đi lên từ trái sang phải 
trên tập D. 
 - Đồ thị hàm số nghịch biến trên tập D là một đường đi xuống từ trái sang 
phải trên tập D. 
2.2.3. Định lí 1 
 Cho hàm số y f() x xác định và có đạo hàm trên tập D. Khi đó: 
 - Nếu f'( x ) 0,  x D thì hàm số là hàm đồng biến trên tập D. 
 - Nếu f'( x ) 0,  x D thì hàm số là hàm nghịch biến trên tập D. 
 - Nếu f'( x ) 0,  x D thì hàm số là hàm hằng số trên tập D. 
2.2.4. Định lí 2 
 Cho hàm số y f() x xác định và có đạo hàm trên tập D. Khi đó: 
 - Nếu f'( x ) 0,  x D và f'( x ) 0 tại một số hữu hạn điểm trên D thì hàm 
số là hàm đồng biến trên tập D. 
 - Nếu f'( x ) 0,  x D và f'( x ) 0 tại một số hữu hạn điểm trên D thì hàm 
số là hàm nghịch biến trên tập D. 
2.3. Điểm cực trị của hàm số 
2.3.1. Định nghĩa. 
 Cho hàm số y f() x xác định và liên tục trên khoảng (;)a b ( trong đó a có 
thể là , b có thể là ), x0 ( a ; b ). 
 a) Nếu tồn tại số h 0 sao cho f( x ) f ( x0 ),  x ( x0 h ; x 0 h ) \{}x0 thì ta 
 nói hàm số y f() x đạt cực đại tại x0 . 
 b) Nếu tồn tại số h 0 sao cho f( x ) f ( x0 ),  x ( x0 h ; x 0 h ) \{}x0 thì ta 
 nói hàm số y f() x đạt cực tiểu tại x0 . 
2.3.2. Nhận xét 
 - Nếu hàm số y f() x có đạo hàm trên khoảng (;)a b và đạt cực trị tại 
điểm x0 (;) a b thì f'( x0 ) 0 . 
2.3.3. Định lí 1 
 Năm học 2019 - 2020 Trang 7 
 Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 
2.4.2. Đồ thị hàm bậc 3: y ax3 bx 2 c( a 0) 
 y' 0 có hai nghiệm y' 0 có nghiệm kép y' 0 vô nghiệm 
 phân biệt 
 a > 0 
 a < 0 
2.4.3. Dạng đồ thị hàm y ax4 bx 2 c( a 0) 
 y' 0 có ba nghiệm phân biệt y' 0 có một nghiệm 
 a > 0 
 a < 0 
 ax b
2.4.4. Dạng đồ thị hàm số y ( c 0, ad bc 0) 
 cx d
 ad bc 0 ad bc 0 
 Năm học 2019 - 2020 Trang 9 
 Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 
2.6. Một số điểm cần chú ý khi đọc các thông tin trên một đồ thị hàm số 
 2.6.1. Khi biết đồ thị của hàm số y f x 
 - Khi biết đồ thị của hàm số (hoặc bảng biến thiên ) chúng ta cần phải 
 nhận dạng được các yếu tố sau đây: 
 + Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y f x 
 + Điểm cực trị của đồ thị hàm số y f x . 
 + Dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định. 
 + Sự tương giao của đồ thị hàm số y f x với một số đường đặc 
 biệt: các trục tọa độ, các đồ thị hàm số khác liên quan,... 
 2.6.2. Khi biết đồ thị của hàm số y f' x 
 - Khi biết đồ thị của hàm số y f' x (hoặc bảng xét dấu của f' x ) 
 chúng ta cần phải nhận dạng được các yếu tố sau đây: 
 + Dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định. 
 + Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y f x 
 + Điểm cực trị của đồ thị hàm số y f x . 
III. CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH 
 Định hướng chung khi giải bài toán về sự biến thiên, cực trị của hàm 
số bằng phương pháp đồ thị. 
 Hướng 1. – Từ đồ thị hàm số (hàm số) đã cho chúng ta vẽ đồ thị của hàm 
số liên quan bằng các cách biến đổi đồ thị. 
 - Dựa vào đồ thị rút ra kết luận. 
 Hướng 2. – Căn cứ vào đồ thị hàm số đã cho chúng ta lập được bảng xét 
dấu của hàm số liên quan. 
 - Dựa vào bảng xét dấu rút ra kết luận 
3.1. Bài toán về sự biến thiên của hàm số 
3.1.1. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y f u()() x v x khi 
biết đồ thị của hàm số y f x 
Chú ý: Khi biết đồ thị (hoặc bảng biến thiên của hàm số) hàm số y f x thì 
khoảng đơn điệu của hàm số dựa trên cơ sở sau: 
 - Khoảng đồng biến của hàm số tương ứng với những phần đồ thị là 
đường đi lên kể từ trái qua phải. 
 - Khoảng nghịch biến của hàm số tương ứng với những phần đồ thị là 
đường đi xuống kể từ trái qua phải. 
 Năm học 2019 - 2020 Trang 11