Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình cho học sinh lớp 12 thông qua kết hợp phương pháp hàm số với phương pháp khác

 MỤC LỤC
 Nội dung Trang
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 2
II. THỰC TRẠNG 2
III. CÁC GIẢI PHÁP 3
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ 3
1. Các định lý 3
2. Các tính chất 3
B. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP 3
1. Sử dụng đồng thời phương pháp hàm số giải hệ phương trình 4
- Bài 1; 2; 3 5 - 6
2. Kết hợp phương pháp hàm số với phương pháp biến đổi tương đương 6
2.1. Kết hợp phương pháp hàm số với phương pháp nâng lũy thừa khử căn hoặc 
 6 - 7
phương pháp giải những phương trình đa thức bậc cao.
- Bài 1; 2; 3 7- 8
2.2. Kết hợp phương pháp hàm số với phương pháp giải phương trình đẳng cấp
 9- 10 - 11
- Bài 1; 2
2.3. Kết hợp phương pháp hàm số với phương pháp nhân liên hợp
 11- 12- 13
- Bài 1; 2; 3
3. Kết hợp phương pháp hàm số với phương pháp đặt ẩn số phụ
 14 - 15
- Bài 1; 2
4. Sử dụng phương pháp thế sau đó kết hợp với phương pháp hàm số
 16 - 17
- Bài 1; 2
5. Kết hợp phương pháp cộng đại số với phương pháp hàm số
 17 - 18
- Bài 1; 2
IV. Hiệu quả do sáng kiến đem lại 19
V. Đề xuất, khuyến nghị 20
PHỤ LỤC 21
 SKKN năm học: 2015 – 2016 Trang 1 • Tính chất 2: Nếu hàm số y f x đồng biến trên a;b và y g x là hàm hằng hoặc 
 là một hàm số nghịch biến trên a;b thì phương trình f x g x có nhiều nhất một 
 nghiệm thuộc khoảng a;b .
 Nếu có x0 a;b sao cho f x0 g x0 thì phương trình f x g x có nghiệm duy 
 nhất x0 trên a;b .
Chú ý: 
 • Khoảng a;b nêu trong tính chất có thể thay bởi các miền
 ;a , ;a,a;b, a;b,a;b , b; ,b; , ; .
 f x f y 1 
 • Khi gặp hệ phương trình có dạng 
 g x; y 0 2 
Xét hàm số y f t , ta thường gặp trường hợp hàm số liên tục trong tập xác định của nó.
 Nếu hàm số y f t đơn điệu, thì từ (1) suy ra x y . Khi đó bài toán đưa về giải phương 
trình (2) theo ẩn x (hoặc y).
 Nếu hàm số y f t có một cực trị tại t a thì nó thay đổi chiều biến thiên một lần khi 
qua a. Từ (1) suy ra x y hoặc x, y nằm về hai phía của a.
 • Vận dụng linh hoạt các định lí, tính chất trên, từ một phương trình ẩn x, ta sẽ đưa hai vế về 
 dạng f h x f g x (chẳng hạn như f x 5 f x x 5 x ) với f t 
 là một hàm đơn điệu đặc trưng trên miền D đang xét. Thông thường có thể dự đoán được 
 h x và bậc của g x , từ đó đồng nhất hệ số để tìm g x .
B. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP
1. Sử dụng đồng thời phương pháp hàm số giải hệ phương trình
 Đối với hệ phương trình hai ẩn x, y , ta thường phải xuất phát từ một phương trình của hệ để 
tìm mối liên hệ đơn giản hơn giữa x và y , một trong những cách đó là sử dụng phương pháp hàm 
số. Khi tìm được mối liên hệ giữa x và y đơn giản hơn ta thế vào phương trình còn lại, thường ta 
sẽ thu được phương trình một ẩn (theo ẩn x hoặc ẩn y). Nhưng phương trình thu được lại phức tạp 
(chứa bậc cao, chứa căn,...) hoặc chứa những biểu thức tương đồng nhau về mặt hình thức, khi đó ta 
có thể tiếp tục sử dụng phương pháp hàm số để giải phương trình một ẩn này.
Bài 1. (Đại học khối A năm 2010) Giải hệ phương trình: 
 2
 4x 1 x y 3 5 2y 0 1 
 2 2
 4x y 2 3 4x 7 2 
Phân tích: Ta nhận thấy khó có thể bắt đầu với phương trình (2), để ý đến phương trình (1), 4x2 1 
là biểu thức bậc hai của x và y 3 có thể coi là biểu thức bậc hai của 5 2y . Nếu đặt 
t 5 2y thì 
 2
 5 t 1 2
 y 3 5 2y 3 t t 1 t
 2 2
 SKKN năm học: 2015 – 2016 Trang 3 u4 2 u y4 2 y 3 
 2t3
Xét f t t 4 2 t, với t 0. Ta có f ' t 1 0,t 0 
 t 4 2
Do đó phương trình (3) tương đương với y u , nghĩa là x y4 1. 
Thay vào phương trình (2) ta được: y y7 2y4 y 4 0 4 
Hàm g y y7 2y4 y 4 có g ' y 7y6 8y3 1 0 với y 0 .
Mà g 1 0, nên (4) có hai nghiệm không âm là y 0 và y 1 
Với y 0 ta được nghiệm x; y 1;0 ; với y 1 ta được nghiệm x; y 2;1 
Vậy nghiệm x; y của hệ đã cho là 1;0 và 2;1 .
 Nhận xét: Phương trình f u f v u v chỉ khi hàm số f t đơn điệu trên D và 
u,v D . Nếu hàm đặc trưng f t có đạo hàm f ' t chưa xác định một dấu (luôn dương hoặc 
luôn âm) trên ¡ thì ta phải tìm cách chặn biến x; y để u,v D và f t đơn điệu trên D . Để chặn 
biến x, y ta có thể dựa vào điều kiện xác định của hệ phương trình, điều kiện để phương trình bậc 
hai ẩn x tham số y (hoặc ẩn y tham số x ) có nghiệm, hoặc nhận xét điều kiện của biểu thức để hệ 
có nghiệm (chẳng hạn: A B 0, B 0 A 0; 
A B c 0 A 0; A2 B2 1 1 A, B 1,.)
 x11 xy10 y22 y12 1
Bài 3. Giải hệ phương trình 
 7y4 13x 8 2y4 .3 x 3x2 3y2 1 2
Giải
Xét y 0, 1 x 0 thay vào (2) thì không thoả mãn.
 11
 11 x x 11
Xét y 0 , chia 2 vế của (1) cho y ta được: y y (3)
 y y
Xét hàm số f t t11 t,t ¡ , ta có f ' t 11t10 1 0,t ¡ nên f t là hàm số đồng biến 
trên ¡ . Do đó, 
 x x 2
 (3) f f y y x y ,
 y y
Thế x y2 vào (2) ta được: 7x2 13x 8 2x2 .3 x 3x2 3x 1 4 
Xét x 0 không là nghiệm phương trình, chia 2 vế cho x3 ta được: 
 7 13 8 3 1
 4 2 3 3 
 x x2 x3 x x2
 1
Đặt t , phương trình trên trở thành
 x
 8t3 13t 2 7t 2 3 3 3t t 2
 2t 1 3 2 2t 1 2 3 3 3t t 2 3 3t t 2 5 
 SKKN năm học: 2015 – 2016 Trang 5 Giải
 x 1 3 12 x 1 y 1 3 12 y 1 1 
 2 2
Hệ đã cho tương đương với: 1 1 
 x y 1 2 
 2 2 
 1 3 1
 1 x 1 x 1 
 2 2 2
Từ (2), suy ra 
 1 1 3
 1 y 1 y 1 
 2 2 2
 3 3 
Xét hàm số f t t3 12t trên ; , ta có f ' t 3 t 2 4 0, suy ra f t nghịch 
 2 2 
biến.
Do đó 1 x 1 y 1 y x 2 3 
Thay vào (2), ta được 
 1
 2 2 x 
 1 3 2 2
 x x 1 4x 8x 3 0 
 2 2 3
 x 
 2
 1 3 3 1 
Thay vào (3), ta được nghiệm của hệ là x; y ; ; x; y ; 
 2 2 2 2 
 3 3 2
 x y 3 x y 2 1 
Bài 2. Giải hệ phương trình 
 2 2 2
 x 1 x 3 2y y 2 0 2 
Giải
Điều kiện 1 x 1;0 y 2 .
 3
Ta có 1 x3 3x y 1 3 y 1 3 
Do 0 y 2 1 y 1 1
Xét hàm số f t t3 3t với 1 t 1, có f ' t 3t 2 3 0,t  1;1 nên hàm số f t 
đồng biến trên  1;1.
Do đó 3 f x f y 1 x y 1 hay y x 1
Thế vào (2) ta được 
 x2 1 x2 3 1 x2 2 0
 x2 2 2 1 x2 x4 8x2 0 x 0
Với x 0 y 1 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x; y 0;1 .
 ln 1 x ln 1 y x y 1 
Bài 3. Giải hệ phương trình: 
 2 2
 2x 5xy y 0 2 
Giải.
Điều kiện: x 1, y 1.
Phương trình (1) của hệ được viết lại dưới dạng
 SKKN năm học: 2015 – 2016 Trang 7 2
 2 x x 
 Xét y 0, chia hai vế cho y được phương trình a b c 0 là 
 y y 
 x
phương trình bậc hai ẩn .
 y
 +) Phương trình ax3 bx2 y cxy2 dy3 0.
 Xét y 0 x 0 
 3 2
 3 x x x 
 Xét y 0 , chia hai vế cho y được a b c d 0 là phương 
 y y y 
 x
trình bậc ba ẩn .
 y
 +) Phương trình dạng: .x  y mx2 ny2 , bình phương hai vế của phương trình ta 
được phương trình đẳng cấp bậc hai đối với hai ẩn x; y.
 4 3 2 2 3 4
 x 2x y 2x y 12xy 8y 1 0 1 
Bài 1. Giải hệ phương trình 
 4 3 2 6 3
 y x y 1 x 1 2x y 2 
 Phân tích: Ta đưa được phương trình (2) về dạng f y2 f 1 2x3 y với 
f t t 2 t đồng biến trên [0; ) , do đó ta có y2 1 2x3 y y4 1 2x3 y (*).
 Để ý đến phương trình (1) ta thấy các biểu thức chứa biến đều có bậc 4, nếu chữ số 1 có thể 
chuyển về thành biểu thức bậc 4 thì ta được phương trình đẳng cấp bậc 4, điều này giải quyết được 
do phương trình (*) ta vừa thu được. Ta có lời giải sau:
Giải
Điều kiện: 1 2x3 y 0
Ta có: 2 y4 y2 1 2x3 y 1 2x3 y 3 
Xét hàm số: f (t) t 2 t với t 0 , có f (t) 2t 1 0 với mọi t 0
Nên hàm số f t đồng biến trên 0; 
Mà y2 ; 1 2x3 y 0; nên:
 3 f y2 f 1 2x3 y y2 1 2x3 y y4 2x3 y 1 (4)
Thay 1 y4 2x3 y vào 1 ta được: 
 x4 4x3 y 2x2 y2 12xy3 9y4 0 (5)
Do y 0 không thỏa mãn nên chia hai vế phương trình (5) cho y4 ta được:
 SKKN năm học: 2015 – 2016 Trang 9