Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số

 SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"
 A. ĐẶT VẤN ĐỀ
 Thông thường đứng trước bài toán giải hệ phương trình học sinh nghĩ 
ngay đến các dạng cơ bản đã học : phương pháp cộng, phương pháp thế, phương 
pháp đặt ẩn phụ để giải. Nhưng thực tế qua các đề thi đại học hoặc đề thi học 
sinh giỏi cấp tỉnh các năm vừa qua học sinh toàn gặp các hệ phương trình phức 
tạp mà để giải được nó cần phải có những kỹ năng đặt biệt. Một trong những kỹ 
năng đó là sử dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải hệ phương trình. Với 
mong muốn các học sinh của mình sẽ làm tốt câu này trong các kỳ thi tuyển sinh 
đại học, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kinh nghiệm "Rèn luyện kỹ năng giải hệ 
phương trình bằng phương pháp hàm số". Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 
gồm 2 phần:
Phần I: Các kiến thức cơ bản cần trang bị
Phần II: Kỹ năng phân tích tìm hàm đặc trưng và tự giải quyết vấn đề.
 Do khả năng còn hạn chế và kinh nghiệm chưa nhiều nên trong SKKN 
của tôi có thể có những phần chưa hoàn chỉnh. Rất mong được sự đóng góp quí 
báu của quí thầy cô.
 Tôi xin chân thành cảm ơn!
 Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1 Trang | 1 SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"
chúng về dạng tích : f (x) f (y) 0hay (x y).A(x;y) 0 . Khi đó ta xét trường 
hợp x y 0 , và trường hợp A(x;y) 0.
2. Kỹ năng giải hệ phương trình bằng sử dụng phương pháp hàm số :
 x3 x 2 y3 3y2 4y (1)
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình : 
 5 3
 x y 1 0 (2)
 */ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
 • Hãy lựa chọn biến đổi phương trình trong hệ về dạng f (x) f (y) .
 • Nhận xét gì về tập giá trị của x và của (y + 1) ?
 • Hàm số có đơn điệu trên tập được xét không ?
 • Hướng dẫn giải:
 (1) x3 x (y 1)3 (y 1) (1')
Xét hàm số f (t) t3 t trên R
Ta có f '(t) 3t 2 1 0,t R . Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên R
Khi đó : (1') f (x) f (y 1) x y 1 thế vào phương trình (2), ta được:
 x5 (1 x)3 1 0
 x(x4 x2 3x 3) 0 
 x 0
 x 0
 2 x 0 y 1
 4 2 4 3 3
 x x 3x 3 0 x x 0(VN)
 2 4
 x 0
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 
 y 1
 x3 5x y3 5y (1)
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình : 
 8 4
 x y 1 (2)
Hướng dẫn giải:
 Từ phương trình (2) suy ra điều kiện có nghiệm của hệ phương trình là : 
 x 1; y 1
Xét hàm số : f (t) t3 5t trên tập  1;1
 f '(t) 3t2 5 0,t  1;1. Suy ra hàm số nghịch biến trên 
khoảng ( 1;1) .
Phương trình (1) tương đương với : f (x) f (y) x y thế vào phương trình 
(2), ta được : 
 2 5 1 5 1 5 1
 x 4 x 4 1 0 x 4 x 4 x y 4
 2 2 2
 Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1 Trang | 3 SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"
 8x 3 2x 1 y 4y3 0 (1)
Ví dụ 4 : Giải hệ phương trình : 
 2 3 2
 4x 8x 2y y 2y 3 0 (2)
Hướng dẫn giải:
 1
Điều kiện : x 
 2
 3
 (1) 4(2x 1) 1 2x 1 y 4y3 4 2x 1 2x 1 4y3 y (1') 
Xét hàm số : f (t) 4t3 t trên tập [0; ) 
 f '(t) 12t 2 1 0,t 0 Hàm số f(t) đồng biến trên khoảng (0; )
Khi đó : (1') f 2x 1 f (y) 2x 1 y y2 1 2x thế vào phương 
trình (2), ta được : 
 2
 y2 1 4 y2 1 2y3 y2 2y 3 0
 y 0
 y 1
 y4 2y3 y2 2y 0 y(y 1)(y 1)(y 2) 0 
 y 2
 y 1
 1
Khi y 0 x (thỏa mãn điều kiện)
 2
Khi y 1 x 1 (thỏa mãn điều kiện)
 5
Khi y 2 x (thỏa mãn điều kiện)
 2
Khi y 1 x 1 (thỏa mãn điều kiện)
 1 5 
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là : (x; y) (1; 1);(1; 1); ;0 ; ; 2  
 2 2 
 2 2 2 2
 3x 3y 8 (y x)(y xy x 6) (1)
Ví dụ 5 : Giải hệ phương trình : 
 (x y 13)( 3y 14 x 1) 5 (2)
 */ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
 • Hãy lựa chọn biến đổi phương trình trong hệ về dạng f (x) f (y) .
 • Nhận xét gì về tập giá trị của (x + 1) và của (y - 1) ?
 • Hàm số có đơn điệu trên tập được xét không ?
 • Hướng dẫn giải:
 x 1
 x 1 0 
Điều kiện : 14 (*) 
 3y 14 0 y 
 3
Ta có : (1) x 1 3 3 x 1 y 1 3 3 y 1 (1')
 Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1 Trang | 5 SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"
 2 2
 2 2 2 x 25x
 x 6x 2x 1 4x 6x 1 6x 2x 1 
 2 4
 6x 2x2 1 3x
 2
 6x 2x 1 2x
Khi 6x 2x2 1 3x , ta có :
 x y x y
 x 1
 x 0 x 0 
 y 1
 2 2 2 
 2x 6x 1 9x 7x 6x 1 0
Khi 6x 2x2 1 2x , ta có :
 3 11
 x y x y x 
 2
 x 0 x 0 
 2 2 2 3 11
 2x 6x 1 4x 2x 6x 1 0 y 
 2
 3 11
 x 
 x 1 2
 Vậy nghiệm của hệ phương trình là : và 
 y 1 3 11
 y 
 2
 x3 3x2 9x 22 y3 3y2 9y
Ví dụ 7: Giải hệ phương trình : (A 2012)
 2 2 1
 x y x y 
 2
Hướng dẫn giải:
 Hệ phương trình đã cho tương đương với : 
 3 3
 x 1 12 x 1 y 1 12 y 1 (1)
 2 2
 1 1 
 x y 1 (2)
 2 2 
 Từ phương trình (2) suy ra : 
 1 3 1 1 1 3
 x 1 x 1 ; y 1 y 1 
 2 2 2 2 2 2
 3 3 3 
Xét hàm số : f (t) t 12t trên đoạn K ; 
 2 2 
 f '(t) 3t2 12 3(t2 4) 0,t K .
 3 3 
 Hàm số f(t) nghịch biến trên ; .
 2 2 
 Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1 Trang | 7 SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"
 x x
+ Trên ( ;0) : (1) f f (y) y thế vào phương trình còn lại của hệ 
 2 2
ta được : y2 8 y 2 2 x 4 2 (thỏa mãn)
 Vậy nghiệm của hệ phương trình là : (x;y) 4 2; 2 2 ; 4 2;2 2 
Nhận xét : Có nhiều bài toán cho ta thấy ngay hàm số cần xét nhưng có những 
bài cần có một số bước biến đổi cơ bản mới có được cái ta cần.
 2 1 3x 4
 x 3y 1 y (1)
Ví dụ 9: Giải hệ phương trình : y x 1 
 9y 2 3 7x 2y 2 2y 3 (2)
Hướng dẫn giải:
 x 1
 x 1 0 
Điều kiện : 2 (*) 
 9y 2 0 y 
 9
 1 1
Ta có : (1) y2 3y (x 1) 3 x 1 (1') 
 y x 1
 1
Xét hàm số f (t) t 2 3t trên khoảng (0; )
 t
 2
 1 2t 1 t 1 
 f '(t) 2t 3 0,t (0; ) 
 t 2 t 2
 Hàm số f(t) đồng biến trên (0; )
Khi đó : (1') f (y) f x 1 y x 1 x 1 y2 thế vào phương 
trình (2), ta được : 
 9y 2 3 7y2 2y 5 2y 3 
 9y 2 (y 2) 3 7y2 2y 5 (y 1) 0
 y2 5y 6 (y 1)(y2 5y 6)
 0 
 9y 2 (y 2) (y 1)2 (y 1) 3 7y2 2y 5 ( 3 7y2 2y 5)2
 (y2 5y 6).h(x) 0
Vì
 1 y 1 
 h(x) 0
 2 2 2 2
 9y 2 (y 2) (y 1) (y 1) 3 7y 2y 5 ( 3 7y 2y 5) 
 2 2 y 2
với y nên y 5y 6 0 
 9 y 3
-Khi y 2 x 3 (thỏa mãn điều kiện (*))
 Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1 Trang | 9 SKKN :" Rèn luyện kỹ năng giải hệ bằng phương pháp hàm số"
 5 2 13
 41 7 13
Suy ra : y 1 9 y (thỏa mãn điều kiện)
 5 2 13 72
 1
 9
 5 2 13
 x x 3 2 3
 9 
Vậy nghiệm của hệ phương trình là : ; 4 3 3 
 41 7 13 y 
 y 2
 72
 x2 2 y x2 2 y 2 y x2 2
 5 16.4 5 16 .7 (1)
Ví dụ 11: Giải hệ phương trình : 
 3 2
 x 17x 10y 17 2 x 4 4y 11 (2)
Hướng dẫn giải:
Đặt t x2 2y phương trình (1) có dạng 
 2 t 2t
 t t 2 t 5 4 5 4
5 16.4 5 16 .7 2 t 2t (3)
 7 7
 x x
 1 4 
Xét hàm số f x 5. f (x) là hàm số nghịch biến trên R
 7 7 
 Phương trình (3) có dạng f (t 2) f (2t) t 2 2t t 2 x2 2y 2
Khi đó phương trình (2) có dạng 
 x3 5x2 17x 7 2 x2 4 2x2 7
 x 2 3 x 2 2 x 2 2x2 7 2x2 7 2x2 7 2x2 7
Xét hàm số f (t) t3 t 2 t trên khoảng 0; 
 f '(t) 3t 2 2t 1 0,t 0 f(t) là hàm số đồng biến trên khoảng 0; 
Phương trình trên có dạng
 2 2 x 1
 f x 2 f 2x 7 x 2 2x 7 
 x 3
 1 7 
Suy ra : Hệ phương trình có 2 cặp nghiệm (x;y) là: 1; , 3; .
 2 2 
 2 2 2
 4 1 2x y 1 3x 2 1 2x y 1 x
 Ví dụ 12: Giải hệ phương trình : 
 3 2 4 2 3 2
 2x y x x x 2x y 4y 1
Hướng dẫn giải:
Điều kiện : 1 x 1
Ta thấy (x;y) (0;a), a R là nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Khi x 0 , ta có : 
 Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy 1 Trang | 11