Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện kĩ năng và tư duy sáng tạo cho học sinh khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải hệ phương trình

 A. PHẦN MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
 Trong đề thi tuyển sinh đại học các năm gần đây thường xuyên xuất hiện 
bài toán giải hệ phương trình. Đối với đa số học sinh thì đây là bài toán khó. 
Phần lớn các em đều lúng túng khi đứng trước việc phải lựa chọn phương pháp 
giải quyết vấn đề sao cho hướng đi trở nên hợp lí và dễ dàng nhất có thể. Các 
phương pháp giải hệ rất đa dạng: phương pháp đặt ẩn phụ, phân tích thành nhân 
tử, biến đổi tương đương, Phương pháp hàm số là một trong số những cách 
giải được áp dụng phổ biến. Tuy nhiên, việc sử dụng phương pháp này để giải 
quyết vấn đề thường được học sinh áp dụng một cách máy móc. Đa số không có 
kĩ năng tốt trong việc phân tích bài toán và nhận dạng một cách nhạy bén hàm 
số được sử dụng , cũng như hướng trình bày. Vì vậy học sinh thường loay hoay, 
mất nhiều thời gian cho việc chọn hàm, chọn hướng sử dụng, làm cho bài toán 
trở nên khó và không được giải quyết một cách thuận lợi nhất. Do đó, tôi đã tiến 
hành khảo sát, triển khai thực hiện đề tài: “Rèn luyện kĩ năng và tư duy sáng tạo 
cho học sinh khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải hệ phương trình”. 
Một là, giúp học sinh hình thành kĩ năng nhận biết được các dạng toán sử dụng 
phương pháp hàm số, rèn luyện cách lựa chọn hàm số và hướng đi phù hợp cho 
mỗi bài. Hai là, nâng cao năng lực sáng tạo, khả năng khái quát hóa thông qua 
việc biến đổi sáng tạo các hệ phương trình dựa trên các hàm số lựa chọn.
2. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
 Sau khi học sinh học tính đồng biến, nghịch biến chương 1- hàm số (Giải 
tích lớp 12).
3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
 Phương pháp nghiên cứu lí luận, đọc tài liệu liên quan đến hệ phương trình 
giải bằng phương pháp sử dụng tính biến thiên của hàm số.
4. CẤU TRÚC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
 Phần 1: Cở sở lý luận.
 Phần 2: Cở sở thực tiễn.
 Phần 3: Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài.
 1 3. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài.
 Từ thực tế học sinh trường THPT Lê Viết Tạo với đa số còn hạn chế về tư 
duy hệ thống và khái quát hoá cũng như kỹ năng giải hệ phương trình, trên cơ sở 
đó tôi đã tiến hành thực nghiệm và áp dụng đề tài .
 3.1. Khái quát chung 
 Dựa trên những kết quả nghiên cứu về lí thuyết toán học bậc THPT, tôi đã 
áp dụng cả 3 khâu của quá trình dạy học như sau :
 - Nội dung của phương pháp và hệ thống các bài tập minh hoạ được chọn lọc 
có tính bao quát các dạng hệ phương trình thường gặp ở các mức độ khác nhau, 
phù hợp với các đối tượng học sinh, được định hướng và dẫn dắt cho học sinh tự 
hình thành, chiếm lĩnh trong khâu “Hình thành kiến thức, kỹ năng mới”;
 - Hệ thống các bài tập thực hành có tính chất và nội dung tương tự với hệ thống 
các bài tập thực nghiệm, được áp dụng trong khâu “ Củng cố, hoàn thiện ” và khâu 
“kiểm tra đánh giá ” để cho học sinh rèn luyện kỹ năng và củng cố kiến thức được 
hình thành, đồng thời đánh giá hiệu quả thực nghiệm.
 3.2. Nội dung 
 3.2.1. Nội dung 1. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải 
hệ phương trình
 Có 3 hướng để giải quyết:
 - Hướng 1: 
 Bước 1: Đưa một trong hai phương trình hoặc cộng, trừ các phương trình 
của hệ để đưa về dạng : f (x) k (1)
 Bước 2: Xét hàm số y f (x) y g(x)
 Dùng lập luận để khẳng định hàm số đồng biến hay nghịch biến 
 Bước 3: Lúc đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất ( mà ta nhẩm được)
 - Hướng 2:
 Bước 1: Đưa một trong hai phương trình hoặc cộng, trừ các phương trình 
của hệ để đưa về dạng: f (x) g(x) (1)
 Bước 2: Xét hai hàm số y f (x) và 
 Dùng lập luận để khẳng định x x0 là hàm đồng biến (nghịch biến) 
 và là hàm nghịch biến (đồng biến)
 Bước 3: Lúc đó nếu phương trình (1) có nghiệm x x0 là nghiệm duy nhất 
 y f (x)
 - Hướng 3:
 Bước 1: Đưa một trong hai phương trình hoặc cộng, trừ các phương trình 
của hệ để đưa về dạng f (u) f (v) (1)
 Bước 2: Xét hàm số: y f (t) .
 Dùng lập luận để khẳng định hàm số đồng biến hay nghịch biến 
 Bước 3: Khi đó từ (1) suy ra: u v
 3 Lời giải: 
 ĐK: x 1 và y 3 (*).
 Ta có x2 y2 5x 3y 4 0 x 2 2 x 2 y 1 2 y 1 (1).
 Từ hs f t t2 t đồng biến trên 0; và (*) nên (1) 
 x 2 y 1 y x 1.
 x 5
 Do đó log12 x 1 log12 y 3 1 x 1 x 2 12 y 6.
 x 2 l 
 Kết luận: nghiệm của hệ phương trình là x 5, y 6 .
 2x 2 y (y x)(xy 2)
 Ví dụ 3. Giải hệ phương trình 
 2 2
 x y 2
Phân tích: Nếu thay vào phương trình thứ nhất thì ta sẽ được hằng đẳng thức
Lời giải:
Thay 2 x2 y2 vào phương trình thứ nhất ta được
 2x 2 y (y x)(xy x2 y2 ) 2x 2 y y3 x3 2x x3 2 y y3 (1)
Xét hàm số f (t) 2t t 3 ,t ¡ có f '(t) 2t ln 2 3t 2 0,t ¡ suy ra f (t) 
đồng biến trên ¡ . (1) f (x) f (y) x y thế vào pt thứ hai ta được
 x y 1. Vậy tập nghiệm của hệ là S = (1;1); ( 1; 1)
 (4x2 1)x (y 3) 5 2y 0 (1)
 Ví dụ 4. Giải hệ phương trình 
 2 2
 4x y 2 3 4x 7 (2)
Lời giải:
 3
 x 
 3 4x 0 4
 ĐK: 
 5 2y 0 5
 y 
 2
(1) (4x2 1)2x (2y 6) 5 2y 0
 2 3
 (2x)2 1 (2x) 5 2y 1 5 2y (2x)3 2x 5 2y 5 2y
 f (2x) f ( 5 2y) với f (t) t 3 t . f '(t) 3t 2 1 0,t ¡ f (t) đồng 
 5 4x2
biến trên ¡ . Vậy f (2x) f ( 5 2y) 2x 5 2y y , x 0
 2
 2 2
 2 5 4x 
Thế vào pt (2) ta được 4x 2 3 4x 7 0 g(x) 0
 2 
 5 x x2 1 3y
 Ví dụ 7. Giải hệ phương trình 
 2 x
 y y 1 3
Lời giải: Trừ vế hai pt ta được 
 x x2 1 y y2 1 3y 3x x x2 1 3x y y2 1 3y
 t
 f (x) f (y) với f (t) t t 2 1 3t . f (t) 1 3t ln3 0,t ¡
 t 2 1
 f (t) đồng biến trên ¡ . Bởi vậy f (x) f (y) x y thế vào pt thứ nhất ta 
được x x2 1 3x 1 3x x2 1 x g(0) g(x)
 x 
Với g(x) 3x x2 1 x . g '(x) 3x ln3 x2 1 x 3x 1
 2 
 x 1 
 1 
 3x x2 1 x ln3 0,x ¡ do x2 1 x 0 và x2 1 1
 2 
 x 1 
Suy ra g(x) đồng biến trên ¡ . Bởi vậy g(x) g(0) x 0
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x = y = 0
 ln(1 x) ln(1 y) x y (1)
 Ví dụ 8. Giải hệ phương trình 
 2 2
 x 12xy 20y 0 (2)
Lời giải: ĐK: x 1, y 1
(1) ln(1 x) x ln(1 y) y f (x) f (y) với 
 f (t) ln(1 t) t,t ( 1; )
 1 t
 f '(t) 1 0 t 0 ( 1; ) f (t) đồng biến trên ( 1;0) và 
 1 t 1 t
nghịch biến trên khoảng (0; )
TH 1. x, y ( 1;0) hoặc x, y (0; ) thì f (x) f (y) x y
Thế vào pt (2) ta được x y 0 (không thỏa mãn)
TH 2. x ( 1;0), y (0; ) hoặc ngược lại thì xy 0 x2 12xy 20y2 0
TH 3. xy 0 thì hệ có nghiệm x y 0 . Vậy hệ có nghiệm duy nhất x y 0
 3
 Ví dụ 9. Giải hệ phương trình x 1 y 1 x
 4
 (x 1) y
 Lời giải:
 Điều kiện:
 x 1 0 x 1
 y 0 y 0
 Biến đổi tương đương hệ về dạng: 
 7 2
Biến đổi hệ 3 x 2 x 3 y
 2
 3 x 3 y 2 y
Cộng vế theo vế ta có: 3 x 2 3 x 3 3 y 2 3 y 3 (*)
Xét hàm số f (t) 3 t 2 3 t 3
 • Miền xác định: D 1, 
 t 3
 • Đạo hàm: f '(t) 1 0 x D
 3 t 2 2 t
Suy ra hàm số đồng biến 
Từ (*) ta có f (x) f (y) x y
Lúc đó: 3 x2 x 3
 • VT là hàm số hàm tăng
 • VP là hàm hằng 
 • Ta thấy x 1 là nghiệm 
Suy ra phương trình có nghiệm x 1 là nghiệm duy nhất
Vậy hệ có nghiệm 1, 1 
Bài 2. Giải hệ phương trình:
 x 3 (4 y 2 1) 2( x 2 1) x 6
 x 2 y (2 2 4 y 2 1 x x 2 1 (2)
Lời giải:
Điều kiện x 0 .
Ta có x = 0 không thỏa mãn hệ phương trình nên x > 0 
Với điều kiện từ hệ suy ra 
 x + x2 1 > 0 x2y(2 + 2 4y2 1 ) > 0 y > 0
Chia hai vế của phương trình thứ 2 của hệ cho x2 ta được 
 1 1 1
2y + 2y (2y)2 1 ( )2 1 (3)
 x x x
 Xét hàm xố f(t) = t + t t 2 1 trên (0 ; + );
 t 2
 Ta có f ’(t) = 1 + t 2 1 > 0,  t > 0
 t 2 1
 f(t) đồng biến trên khoảng (0 ; + ) 
 Do đó (3)có nghiệm khi và chỉ khi 2y = 1 
 x
 9 2
 Ta có xy 2 y x2 2 y x2 2 x 2 y 
 x2 2 x
 y x2 2 x (1). Thế vào phương trình thứ hai trong hệ, ta có :
 2
 x2 2 x 2 x 1 x2 2x 3 2x2 4x
 1 x x2 2 2x x 1 x2 2x 3 0 .
 x 1 1 x 1 2 2 x 1 x 2 2 (*)
 Xét hàm số f (t) t 1 t 2 2 với t ¡ . 
 t 2
 Ta có f '(t) 1 t 2 2 0,t ¡ f (t) đồng biến trên ¡ .
 t 2 2
 1
Mặt khác, phương trình (*) có dạng f (x 1) f ( x) x 1 x x . 
 2
 1
 Thay x vào (1) ta tìm được y 1 .
 2
 1
 x 
 Vậy hệ đã cho có nghiệm là 2
 y 1.
 3.2.2. Nội dung 2 Xây dựng hệ phương trình được giải bằng phương 
pháp hàm số
 Để nắm được kĩ thuật sáng tạo hệ phương trình, học sinh cần phải được rèn 
luyện nhuần nhuyễn các kĩ năng như: thêm-bớt, quy lạ về quen,...
 Ví dụ 1. Xét hàm số: f(x)=t3+t, có f’(t)=3t2+1≥0, t ¡ nên hàm số f(t) 
đồng biến trên ¡ .
Ta có:
 f ( x) x x x (x 1) x.
 f ( y 2) (y 2) y 2 y 2 (y 3) y 2.
 Ta có phương trình 
 (x 1) x (y 3) y 2 f( x) f( y 2) 
 x y 2 x y 2.
 x 3 y 1
 Kết hợp với một phương trình khác nhận (x,y)=(3,1) là nghiệm, chẳng hạn 
phương trình: 
 y 3 x 2 8 x2 0
Ta có hệ
 11