Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán cực trị hàm số cho học sinh lớp 12 THPT

 MỤC LỤC 
A. ĐẶT VẤN ĐỀ ................................................................................................... 2 
 I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI. ................................................................................... 2 
 II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU. ......................................................................... 2 
B. NỘI DUNG ....................................................................................................... 3 
 I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................................... 3 
 1. Cơ sở lý luận ............................................................................................... 3 
 1.1. Kĩ năng và kĩ năng giải toán. ................................................................. 3 
 1.2. Bài tập toán và phương pháp dạy học giải bài tập toán .......................... 8 
 2. Tình hình dạy học rèn luyện kĩ năng để giải các bài toán về cực trị hàm số ở 
 trường THPT. ................................................................................................ 10 
 II. Hệ thống các kiến thức về cực trị hàm số trong sách giáo khoa giải tích lớp 
 12. ..................................................................................................................... 10 
 1. Định nghĩa cực trị hàm số. ......................................................................... 10 
 2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị. ............................................................. 11 
 3. Quy tắc tìm cực trị hàm số. ........................................................................ 11 
 III. Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập nhằm rèn luyện kĩ năng giải các bài 
toán cực trị hàm số cho học sinh lớp 12 THPT. .................................................... 12 
 1. Tìm cực trị hàm số dựa vào hàm số, bảng biến thiên và đồ thị hàm số đó. . 12 
 1.1. Phương pháp. ...................................................................................... 12 
 1.2. Một số ví dụ minh họa. ........................................................................ 12 
 1.3. Bài tập tương tự. .................................................................................. 15 
 2. Tìm cực trị hàm số khi biết đạo hàm của hàm số, đồ thị của hàm số đạo 
 hàm. ............................................................................................................... 17 
 2.1. Phương pháp. ...................................................................................... 17 
 2.2. Ví dụ minh họa. ................................................................................... 17 
 2.3. Bài tập tương tự. .................................................................................. 19 
 3. Tìm điều kiện tham số để hàm số đạt cực trị tại một điểm cho trước. ........ 20 
 3.1. Phương pháp. ...................................................................................... 20 
 3.2. Ví dụ minh họa .................................................................................... 20 
 3.3. Bài tập tương tự. .................................................................................. 23 A. ĐẶT VẤN ĐỀ 
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI. 
 Trong chương trình Môn Toán trung học phổ thông, đạo hàm và ứng dụng 
đạo hàm là một trong những nội dung chính của chương trình. Các bài toán thường 
xuất hiện ở các kỳ thi đại học, cao đẳng trước đây củng như kỳ thi trung học phổ 
thông quốc gia, tốt nghiệp THPT những năm gần đây. Vì vậy,ứng dụng đạo hàm 
để giải các bài toán cực trị hàm số là rất cần thiết đối với học sinh lớp 12 trung học 
phổ thông. 
 Trải qua nhiều năm công tác, tôi nhận thấy rằng học sinh còn rất lúng túng 
khi giải các bài toán về cực trị hàm số đặc biệt là các em học sinh có học lực trung 
bình. 
Trước những khó khăn của học trò, tôi tìm tòi, xâu chuổi, hệ thống lại các dạng 
toán cơ bản, quan trọng về cực trị hàm số để giúp các em tiếp cận loại toán này 
một cách hiệu quả nhất. 
 Kiến thức và kĩ năng toán học cơ bản giúp con người giải quyết các vấn đề 
trong thực tế cuộc sống một cách có hệ thống và chính xác, góp phần thúc đẩy xã 
hội phát triển, vì thế việc rèn luyện kĩ năng giải các bài toán cực trị hàm số củng 
đóng góp một phần trong vấn đề đó. 
 Với những lí do trình bày ở trên tôi chọn đề tài “Rèn luyện kĩ năng giải các 
bài toán cực trị hàm số cho học sinh lớp 12 THPT" làm đề tài nghiên cứu . 
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU. 
Nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiển kĩ năng và kĩ năng giải toán từ đó đề xuất các 
biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cực trị cho HS lớp 12 THPT. 
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU. 
1. Làm rõ cơ sở lí luận để rèn luyện các kĩ năng giải toán cực trị hàm số cho học 
sinh 12 THPT. 
2. Xác định các dạng toán cực trị hàm số lớp 12 có thể khai thác. 
3. Đề xuất các biện pháp sử dụng và khai thác các bài tập về cực trị hàm số để góp 
phần rèn luyện kĩ năng giải toán cực trị hàm số cho học sinh lớp 12 THPT. 
4. Kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả các dạng toán đã đề xuất. 
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. 
1. Nghiên cứu lí luận. 
- Nghiên cứu các tài liệu, các công trình có liên quan đến đề tài, về kĩ năng giải 
toán. 
- Nghiên cứu chương trình, SGK, SBT và SGV giải tích lớp 12. 
2. Trao đổi với đồng nghiệp để đề xuất các biện pháp thực hiện. 
 2 
 là cách thức của hành động. Tuy nhiên kĩ năng và kĩ xảo có những điểm khác biệt 
như sau: kĩ năng yêu cầu độ linh hoạt, sáng tạo của chủ thể cao trong khi kĩ xảo 
thiên về khuôn mẫu, máy móc. Kĩ xảo có trước và là tiền đề để có kĩ năng. 
 Kĩ năng có tính ổn định nhưng không bền vững như kĩ xảo. Trong quá trình 
hoạt động, qua thời gian, kĩ năng có thể được bổ sung hoặc rút ngắn đi, hoặc thay 
đổi. 
 +) Như ta đã biết, kiến thức là cơ sở của kĩ năng, do đó tùy theo nội dung 
kiến thức truyền thụ cho HS mà ta có những yêu cầu rèn luyện kĩ năng tương ứng. 
 1.1.2. Kĩ năng giải toán 
 Kĩ năng giải toán là khả năng vận dụng các kiến thức toán học để giải các 
bài tập toán học ( tìm tòi, suy đoán, suy luận, chứng minh) 
 Kĩ năng giải toán dựa trên cơ sở của tri thức toán học bao gồm: kiến thức, kĩ 
năng, phương pháp. 
 Kĩ năng toán học được hình thành và phát triển thông qua việc thực hiện các 
hoạt động Toán học và các hoạt động học tập trong môn Toán. Kĩ năng có thể 
được rút ngắn, bổ sung, thay đổi trong quá trình hoạt động. 
 Cần rèn luyện cho HS những kĩ năng trên những bình diện khác nhau: 
 +) Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán là một sự thể hiện mức 
độ thông hiểu tri thức Toán học. 
 +) Kĩ năng vận dụng tri thức Toán học vào các môn học khác nhau thể hiện 
vai trò công cụ của Toán học đối với những môn học khác, điều này cũng thể hiện 
mối liên hệ liên môn giữa các môn học trong nhà trường. 
 +) Kĩ năng vận dụng Toán học vào đời sống là một mục tiêu quan trọng của 
môn Toán. Nó cũng cho HS thấy rõ mối liên hệ giữa Toán học và đời sống. 
 Một số kĩ năng cần thiết khi giải toán: 
 +) Kĩ năng tìm hiểu nội dung bài toán: Phân tích bài toán, làm rõ các dữ kiện 
đã biết, tìm mối liên hệ giữa đại lượng chưa biết với đại lượng đã biết từ đó đi đến 
 4 
 +) Kĩ năng phân tích: biết phân tích các quan hệ và cấu trúc của bài toán, dự 
đoán, phân tích và khắc phục các sai lầm trong quá trình giải toán, xác định trọng 
tâm cần giải quyết trong bài toán. 
 +) Kĩ năng mô hình hóa: mô hình hóa bài toán là chuyển bài toán thành mô 
hình và phân tích quan hệ toán học cũng như các phương pháp toán học sử dụng 
trên mô hình đó. Đây là một kĩ năng cần thiết để giải bài toán có ứng dụng thực 
tiễn và các bài toán liên môn khác . 
 +) Kĩ năng sử dụng thông tin: nhận biết, thu thập và ghi nhận thông tin từ 
nội dung bài toán. 
 1.1.3. Đề xuất các biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS 
 1.1.3.1 Cơ sở lý luận để xây dựng các biện pháp nhằm rèn luyện kĩ năng 
giải toán cho học sịnh THPT. 
 a. Cơ sở tâm lý giáo dục 
 Quá trình học được tiến hành bằng sự kết hợp giữa hoạt động dạy của thầy 
và các hoạt động của học trò, do đó các biện pháp sư phạm phải thông qua hoạt 
dộng dạy tác động vào hoạt động học của HS, làm cho HS có động cơ hoàn thiện 
tri thức và kĩ năng. Vì vậy cần chú ý đến hoạt động học, các biện pháp tập trung 
vào rèn luyện và phát triển các dạng hoạt động của HS, rèn luyện kĩ năng học tập 
của HS: kĩ năng nhận thức, kĩ năng thực hành, kĩ năng tổ chức hoạt động, kĩ năng 
tự kiểm tra, đánh giá. 
 b. Cơ sở phương pháp dạy học bộ môn Toán 
 Thực hiện dạy học phù hợp với tiến trình nhận thức của học sinh ( đi từ cụ 
thể đến trừu tượng, từ dễ đến khó ). Quán triệt tinh thần “lấy người học làm trung 
tâm”, chú ý nhu cầu, năng lực nhận thức, cách thức học tập khác nhau của từng cá 
nhân học sinh. Học sinh được tham gia tìm tòi, phát hiện, suy luận vấn đề. 
 HS cần được rèn luyện kĩ năng vận dụng Toán học vào việc học tập bộ môn 
khác, vào thực tiễn cuộc sống. Do đó cần thiết và có thể xây dựng các biện pháp 
nhằm rèn luyện các kĩ năng giải toán cho HS, góp phần thực hiện các nhiệm vụ bộ 
môn đồng thời đảm bảo tính liên môn trong dạy học. 
 6 
 Riêng đối với những bài toán chưa có hoặc không có thuật giải: GV cần 
hướng HS suy nghĩ, tìm tòi lời giải. Qua đó trang bị cho HS một số tri thức về 
phương pháp giải toán. Thông qua dạy HS giải một số bài toán cụ thể mà dần dần 
cho HS cách thức, kinh nghiệm tiến tới nghệ thuật giải một lớp các bài toán có 
dạng quen thuộc. Từ đó hình thành kĩ năng giải quyết loại bài toán đó. 
 c. Rèn luyện kĩ năng giải toán thông qua củng cố, luyện tập 
 Việc củng cố tri thức kĩ năng một cách có định hướng và có hệ thống có ý 
nghĩa to lớn trong việc dạy học toán. Củng cố cần được thực hiện không chỉ đối 
với tri thức mà còn đối với cả kĩ năng, kĩ xảo, thói quen và thái độ. 
 Trong môn toán củng cố diễn ra dưới các hình thức: luyện tập, đào sâu, ứng 
dụng, hệ thống hoá và ôn. 
1.2. Bài tập toán và phương pháp dạy học giải bài tập toán 
 1.2.1. Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học 
 Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán, là giá mang hoạt 
động của HS. Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện những hoạt động nhất 
định, bao gồm cả nhận dạng thể hiện định nghĩa, định lí, qui tắc, phương pháp, 
những hoạt động toán học phức tạp, những hoạt động phổ biến trong toán học, 
những hoạt động trí tuệ chung và hoạt động ngôn ngữ. Vai trò của bài tập thể hiện 
trên 3 phương diện: 
 +) Đối với mục đích dạy học: bài tập toán học ở trường phổ thông là giá 
mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt 
mục đích. Bài tập toán học góp phần hình thành, củng cố tri thức kĩ năng, kĩ xảo; 
phát triển năng lực trí tuệ; bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng hình thành 
những phẩm chất đạo đức của người lao động mới. 
 +) Đối với nội dung dạy học: bài tập toán học là giá mang những hoạt động 
liên hệ với những nội dung nhất định, làm cho bài tập đó trở thành một phương 
tiện để cài đặt nội dung dưới dạng những tri thức hoàn chỉnh. 
 8 
 +) Nghiên cứu sâu lời giải: nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải, 
nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề. 
2. Tình hình dạy học rèn luyện kĩ năng để giải các bài toán về cực trị hàm số 
ở trường THPT. 
Một số năm gần đây, với sự thay đổi từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc 
nghiệm trong các kì thi THPTQG hay tốt nghiệp năm vừa rồi thì chủ đề cực trị 
hàm số xuất hiện nhiều bài cực trị khó. Do vậy, nhiều học sinh không thể hoàn 
thành xong phần này, kể cả học sinh có học lực khá. 
 Khi chưa áp dụng những nghiên cứu của đề tài, các em thường thụ động trong việc 
tiếp cận bài toán, nhất là đối với những bài toán ở mức vận dụng, vận dụng 
cao,chưa có ý thức tìm tòi, sáng tạo củng như tạo được niềm vui, sự hưng phấn khi 
giải các bài toán nói chung củng như các bài toán về cực trị nói riêng. 
Kết quả khảo sát ở một số lớp của một số giáo viên dạy khối 12 về phần giải bài 
tập toán về phần cực trị hàm số, chỉ có khoảng 20% học sinh hứng thú học tập. 
II. Hệ thống các kiến thức về cực trị hàm số trong sách giáo khoa giải tích lớp 
12. 
1. Định nghĩa cực trị hàm số. 
Cho hàm số y fx( ) xác định và liên tục trên khoảng (a ; b )( có thể a là ; b là 
 ) và điểm x0 ( a ; b ) . 
 a) Nếu tồn tại số h 0 sao cho fx() fx ()0 với mọi x ( x0 h ; x 0 h ) và x x0 thì ta 
nói hàm số f( x ) đạt cực đại tại điểm x0 . 
 b) Nếu tồn tại số h 0 sao cho fx() fx ()0 với mọi x ( x0 h ; x 0 h ) và x x0 thì ta 
nói hàm số f( x ) đạt cực tiểu tại điểm x0 . 
 10