Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện cho học sinh sử dụng công thức tỷ số thể tích để giải một số bài toán hình học không gian lớp 12

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
 TRƯỜNG THPT DÂN TỘ C NỘI TRÚ THANH HÓA
 THANH HOÁ, NĂM 2017
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH SỬ DỤNG CÔNG THỨC 
TỶ SỐ THỂ TÍCH ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH 
 HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12
 Người thực hiện: Nguyễn Thị Nhung
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán
 THANH HOÁ, NĂM 2017
 1 MỞ ĐẦU
 Lý do chọn đề tài:
Toán học là một ngành khoa học gắn liền với những suy luận logic chặt chẽ, tính 
chính xác và ngắn gọn.Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy học sinh rất e ngại 
học môn hình học không gian vì các em thường có tâm lí: Bài tập trong phần này 
quá khó, hình vẽ không trực quan, không biết cách trình bày lời giải một bài toán 
mạch lạc, logic. Chính vì thế có rất nhiều học sinh học yếu môn học này ,về phần 
giáo viên cũng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức .Trong 
những năm gần đây, trong đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng thường gặp các 
bài toán tính thể tích của các khối đa diện và một số bài toán liên quan đến thể tích 
của khối đa diện , học sinh thường tỏ ra lúng túng khi giải dạng toán này...
Qua nhiều năm giảng dạy môn học này tôi cũng đúc kết được một số kinh nghiệm 
Với mong muốn góp phần rèn luyện tư duy sáng tạo của học sinh, khơi dậy được 
hứng thú học tập yêu thích môn Toán qua các bài toán thể tích trong hình học, tôi 
đã tìm tòi qua sách báo, đồng nghiệp để tìm ra phương pháp, cách giải bài tập phù 
hợp với học sinh.
 3 B.THỰC TRẠNG ĐỀ TÀI: 
1.Thời gian và các bước tiến hành:
 Tìm hiểu đối tượng học sinh khối 12 các năm học :2014-2015 ,2015-2016, 
2016-2017
 2.Khảo sát chất lượng đầu năm môn hình học:
 Thông qua việc cho học sinh làm bài tập hình học không gian kết quả thu được 
có 25% học sinh lớp cơ bản và 75% lớp nâng cao có thể vẽ đúng hình và làm được 
một số ý đơn giản.
 3. Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên:
 Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết quả chưa cao. Vì vậy việc lĩnh hội kiến 
thức và rèn luyện kĩ năng ở học sinh đòi hỏi nhiều công sức và thời gian. Sự nhận 
thức của học sinh thể hiện khá rõ ở các điểm sau:
- Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc.
- Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt.
- Học sinh có tâm lí sợ học môn hình học.
 Đây là môn học đòi hỏi tư duy, thực sự khó đối với học sinh . Nhiều em hổng 
kiến thức từ lớp dưới, ý thức học tập chưa cao nên chưa xác định được động cơ học 
tập, chưa thấy được ứng dụng của môn hình học trong đời sống hàng ngày.
 Giáo viên cần nắm rõ tình hình từng đối tượng học sinh, để có biện pháp giúp 
đỡ các em, song song với việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi cần giúp đỡ học sinh 
yếu kém. Bằng biện pháp rèn luyện tích cực và phân tích nội dung một cách thích 
hợp.
 5 S
 V SA SB SM SM
Đặc biệt : M SC SABM . . 
 VSABC SA SB SC SC
 M
 C
 A
 B
II. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP :
Dạng 1: Rèn luyện cho học sinh sử dụng công thức tỉ số thể tích giải bài toán 
tính tỉ số thể tích các khối đa diện.
Phương pháp: Để tính thể tích của hai khối chóp tam giác có chung một đỉnh 
các đỉnh của khối chóp này nằm trên các cạnh của khối chóp kia chúng ta có thể 
nghĩ đến giải bài toán bằng phương pháp sử dụng công thức tỉ số thể tích. 
Bài 1 : Cho hình chóp SABCD. Gọi G là trọng tâm ∆SBC, mp( ) qua G song 
song (ABC) cắt SA, SB, SC tại A’, B’, C’ Chia khối chóp thành hai phần.
Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
Nhận xét
Nhận thấy 3 điểm A’, B’, C’ nằm trên 3 cạnh SA, SB, SC nên ta tính được tỉ số 
 V V
 SA'B 'C ' , do đó sẽ tính được tỉ số SA'B 'C '
 VABC VA'B 'C ' ABC
 Giải:
 3
 VSA'B 'C ' SA' SB' SC ' 2 8
 . . 
 VSABC SA SB SC 3 27
 7 V S S S
 SFEA FEA FEA . CEA S
 VSABC S ABC S CEA S ABC
 FA CE 4
 . M
 CA CB 9
 V 1 4 4
 SFME . .V
 V 3 9 27 F C
 VSMNE SM SN 2
 . A N
 VSABE SA SB 9
 V S S S EB CE 1
 SABE ABF ABC . CEA . E
 V S ABC S CEA S ABC CE CB 3 B
 2
 V V
 SABE 27
 2 4 2 4 V1 4
Vậy : V1 V V V V 
 9 27 27 9 V2 5
Chú ý :
Đối với các bài toán tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện (khác khối chóp tam 
giác). Chúng ta có thể qui về bài toán xác định tỉ số thể tích của hai khối chóp 
tam giác bằng cách phân chia khối đa diện thành các khối chóp tam giác và từ 
đó thiết lập các tỉ số thể tích của các khối chóp tam giác phù hợp để tính. 
Bài 3: Cho khối chóp tứ giác đều SABCD, mặt phẳng ( ) qua A, B và trung điểm 
M của SC. Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng 
đó. 
Nhận xét:
-Ta xác định thiết diện của mặt phẳng ( ) với khối chóp và từ đó xác định hai khối 
chóp cần tính tỉ số thể tích. 
-Bài toán này tỉ số thể tích chưa được tính ngay thông qua công thức tỉ số thể tích, 
ta phải phân chia khối chóp tứ giác thành hai khối chóp tam giác khi đó mới áp 
dụng được công thức tỉ số thể tích.
 9 Bài 4 : Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh là a. Gọi K là trung điểm 
BC, I là tâm mặt bên CC’D’D. Tính thể tích các khối đa diện do mặt phẳng (AKI) 
chia hình lập phương. 
Giải :
Gọi E = AKDC , M = IECC’ , N = IEDD’
mặt phẳng (AKI) chia hình lập phương thành thành 2 đa diện V 1 = V KMCAND và 
V 2 = V KBB 'C 'MAA'D ' N
 1 2
V =V = a 3 , V .ED.S a3 E
 lp ABCDA'B 'C 'D ' EAND 3 ADN 9
 V EK EM EC 1 K C
 EKMC . . B
 VEAND EA EN ED 8
 7 7 A D
 V = .V a3
 1 8 EAND 36
 29 I
V =V - V = a3 . 
 2 lp 1 36
 B'
 V 7 N C'
 1 
 V2 29
 A' D'
Chú ý: Việc tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện V 1 , V 2 không nhất thiết phải 
 V1
đi lập được tỉ số ngay mà có thể tính V1 , V , sau đó tính V2 V V1 và từ đó 
 V2
 V
ta tính được tỉ số 1 
 V2
Bài 5. Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông cân ở B. Gọi G là trọng 
tâm tam giác SBC, ( ) qua AG song song BC cắt SB, SC tại M, N.Tính thể tích 
của khối chóp SAMN ?
Nhận xét:
 11 Ta có: MS MA d(A;(MNP)) d(S;(MNP)) S
 VAMNP VSMNP
 V SM SN 1
Do SMNP . 
 N
 VSABP SA SB 4
 1
mà V .SO.S M
 SABP 3 ABD
 B C
 1 a2 a3 6
 V a.a. 2a2 
 SMNP 24 2 48
 O P
 A D
Dạng 2: Rèn luyện cho học sinh sử dụng công thức tỉ số thể tích để giải các bài 
toán về khoảng cách :
 Các bài toán xác định khoảng cách thường gặp là: khoảng cách từ một điểm đến 
một mặt phẳng , khoảng cách giữa hai đường chéo nhau. Việc sử dụng phương 
pháp tổng hợp để xác định hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng hay xác 
định độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là điều mà hầu 
hết các em học sinh cho rằng khó khăn, vì thế cho nên các em thường bỏ qua 
những câu đó không làm. Để giải quyết phần nào về vấn đề này tác giả đưa ra một 
số bài toán có thể sử dụng thể tích để tính được khoảng cách nêu trên.
Phương pháp: Để giải dạng bài toán này chúng ta sử dụng công thức: 
 1 3V
 V .B.h h 
 3 B
Bài 1. Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều cạnh a 3, 
 SA  (ABC),SA 2a . Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
Nhận xét: 
 13 Giải: Ta có
 2
 HC 2 AC AH 2 2.AC.AH.cos450
 a 5
 HC S
 2
 15
 SH HC.tan600 a
 2
 Mà BI  (SAH ) K
 V SK 1 H
 SAHK 
 VSAHB SB 2
 C I
 B
Mặt khác: 
 1 a 15 3a 3a 2 15
 S . . 
 SAH 2 2 2 8
 2 3
 1 3a 15 a 15 A
 V .a. 
 SAHB 3 8 8
 a3 15
Khi đó: V 
 SAHK 16
 3a3 15
 1 a
 mà V .d(K,(SAH )).S d(K,(SAH )) 16 
 SAHK 3 SAH 3a 2 15 2
 8
Chú ý: 
Ta nhận thấy K là trung điểm của SB nên khoảng cách từ K đến (SAH) bằng một 
nửa khoảng cách từ B đến (SAH)do đó ta chỉ cần tính khoảng cách từ B đến (SAH . 
Điều này ít học sinh nhận thấy được nên khi dạy giáo viên nên hướng dẫn cho học 
sinh để các em vận dụng vào những bài toán khác.
 Các bài toán xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b 
chuyển về bài toán xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng như 
 15 1
 mà V .d(C,(MOB)).S
 MOBC 3 MOB
 2
 3.
 2 6
 d(C,(MOB)) 3 
 3 3
 2
Dạng 3 :Rèn luyện cho học sinh sử dụng công thức tỉ số thể tích để giải các bài 
toán chứng minh đẳng thức hình học
 Phương pháp: Để chứng minh các hệ thức trong khối đa diện ta có thể sử 
dụng kiến thức thể tích để giải bằng cách gắn bài toán cần chứng minh vào một 
hệ thức nào đó về thể tích. 
Bài 1. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD . Trên các cạnh SA, SB, SC lấy các điểm 
 SA 2 SB 1 SC 1
 A ,B ,C sao cho 1 , 1 , 1 . Mặt phẳng qua A ,B ,C cắt SD tại 
 1 1 1 SA 3 SB 2 SC 3 1 1 1
 SD 2
 D . Chứng minh : 1 
 1 SD 5
Nhận xét : 
-Các điểm A1,B1,C1,D1 lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh SA, SB, SC, SD nên 
ta tính được tỉ số thể tích của hai khối chóp SABCD và SA1B1C1D1
-Ta thấy khối chóp SABCD có thể chia thành hai khối chóp SABC và SADC hoặc 
SDBC và SABD; khối chóp SA1B1C1D1 có thể chia thành hai khối chóp 
 SA1B1C1 và SA1C1D1 hoặc SA1D1B1 và SC1D1B1 . Chúng ta sử dụng công thức tỉ 
số thể tích để tính tỉ số thể tích của hai khối chóp SA1B1C1D1 và SABCD theo hai 
cách chia khối đa diện trên.
 SD
-Từ đó ta tính được tỉ số 1 .
 SD
Giải:
 17