Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học để giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn trong chương trình Toán 12

 MỞ ĐẦU
 I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
 1. Toán học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi 
trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng như trong 
sản xuất và đời sống. Với vai trò đặc biệt, Toán học trở nên thiết yếu đối với 
mọi ngành khoa học, góp phần làm cho đời sống xã hội ngày càng hiện đại và 
văn minh hơn. Bởi vậy, việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến 
thức Toán học vào thực tiễn là điều cần thiết đối với sự phát triển của xã hội 
và phù hợp với mục tiêu của giáo dục Toán học. 
 2. Với vị trí đặc biệt của môn Toán là môn học công cụ; cung cấp kiến 
thức, kỹ năng, phương pháp, góp phần xây dựng nền tảng văn hóa phổ thông 
của con người lao động mới làm chủ tập thể, việc thực hiện nguyên lí giáo 
dục ''Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhà trường 
gắn liền với xã hội'' cần phải quán triệt trong mọi trường hợp để hình thành 
mối liên hệ qua lại giữa kỷ thuật lao động sản xuất, cuộc sống và Toán học.
 3. Những ứng dụng của Toán học vào thực tiễn trong Chương trình và sách 
giáo khoa, cũng như trong thực tế dạy học Toán chưa được quan tâm một 
cách đúng mức và thường xuyên. Trong các sách giáo khoa môn Toán và các 
tài liệu tham khảo về Toán thường chỉ tập trung chú ý những vấn đề, những 
bài toán trong nội bộ Toán học; số lượng ví dụ, bài tập Toán có nội dung liên 
môn và thực tế trong các sách giáo khoa Toán THPT để học sinh học và rèn 
luyện còn rất ít. Một vấn đề quan trọng nữa là trong thực tế dạy Toán ở 
trường phổ thông, các giáo viên không thường xuyên rèn luyện cho học sinh 
thực hiện những ứng dụng của Toán học vào thực tiễn mà theo Nguyễn Cảnh 
Toàn đó là kiểu dạy Toán ''xa rời cuộc sống đời thường'' cần phải thay đổi.
 4. Với việc thay đổi từ thi tự luận sang trắc nghiệm thì các bài tập có liên 
hệ thực tế đã được đưa vào đề thi. Cụ thể trong các đề minh họa của Bộ giáo 
dục
 Vì những lí do trên tôi chọn đề tài nghiên cứu của sáng kiến là: ''Rèn luyện 
cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học để giải quyết một số 
bài toán có nội dung thực tiễn trong chương trình TOÁN 12". 
 1 NỘI DUNG 
 Chương 1
 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
 1. Vai trò của việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến 
thức Toán học vào thực tiễn 
- Rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực 
tiễn là phù hợp với xu hướng phát triển chung của thế giới và thực tiễn 
Việt Nam 
- Rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn là một 
yêu cầu có tính nguyên tắc góp phần phản ánh được tinh thần và sự phát 
triển theo hướng ứng dụng của toán học hiện đại
 Để thực hiện Nguyên tắc kết hợp lí luận với thực tiễn trong việc dạy học Toán, cần:
 + Đảm bảo cho học sinh nắm vững kiến thức Toán học để có thể vận dụng 
chúng vào thực tiễn;
 + Chú trọng nêu các ứng dụng của Toán học vào thực tiễn;
 + Chú trọng đến các kiến thức Toán học có nhiều ứng dụng trong thực tiễn;
 + Chú trọng rèn luyện cho học sinh có những kỹ năng toán học vững chắc;
 + Chú trọng công tác thực hành toán học trong nội khóa cũng như ngoại khóa . 
 Nhiều công trình nghiên cứu đã chỉ ra rằng, giảng dạy Toán học không 
nên xa rời với thực tiễn. "Loại bỏ ứng dụng ra khỏi Toán học cũng có nghĩa là 
đi tìm một thực thể sống chỉ còn bộ xương, không có tí thịt, dây thần kinh 
hoặc mạch máu nào".
- Rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn đáp 
ứng yêu cầu mục tiêu bộ môn Toán và có tác dụng tích cực trong việc dạy 
học Toán 
 + Tăng cường rèn luyện năng lực ứng dụng Toán học vào thực tiễn là một 
mục tiêu, một nhiệm vụ quan trọng của việc dạy học Toán ở trường phổ thông
 + Rèn luyện năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn góp phần tích cực 
hóa trong việc lĩnh hội kiến thức 
 3 Thứ nhất, do ảnh hưởng trực tiếp của sách giáo khoa và tài liệu tham 
khảo: Số lượng bài tập mang nội dung thuần túy Toán học cũng như kiến thức 
dành cho mỗi tiết học là khá nhiều đã khiến nhiều giáo viên vất vả trong việc 
hoàn thành kế hoạch bài giảng; số lượng bài toán, chất lượng và quy mô bài 
toán ứng dụng vào thực tiễn rất ít ở các chủ đề môn Toán trong giảng dạy; 
một lý do nữa là do khả năng liên hệ kiến thức Toán học vào thực tiễn của của 
giáo viên Toán còn gặp nhiều khó khăn.
 Thứ hai, do yêu cầu vận dụng Toán học vào thực tế không được đặt ra 
một cách thường xuyên và cụ thể trong quá trình đánh giá (tức là trong các đề 
thi không có những nội dung như vậy). Mặt khác, lối dạy phục vụ thi cử (chỉ 
chú ý những gì để học sinh đi thi) như hiện nay cũng là một nguyên nhân góp 
phần tạo nên tình trạng này.
 Ngoài ra có thể kể đến một nguyên nhân khác nữa: trong Chương trình 
và quá trình đào tạo ở các trường đại học và cao đẳng Sư phạm, tình hình 
"ứng dụng" (trong giáo trình, trong đánh giá, trong dạy học,...) cũng xảy ra 
tương tự. Do đó ảnh hưởng trực tiếp đến tiềm năng dạy các vấn đề ứng dụng 
Toán học của các thầy giáo, cô giáo. 
 Như vậy, việc tăng cường rèn luyện cho học sinh ứng dụng Toán học 
vào thực tiễn đã được coi là một trong những quan điểm chỉ đạo xuyên suốt 
toàn bộ quá trình dạy học Toán ở phổ thông, được nhấn mạnh trong Dự thảo 
Chương trình Cải cách giáo dục môn Toán. Tuy nhiên, trên thực tế (sách giáo 
khoa, thực tế dạy học, trong đánh giá, ...) quan điểm này vẫn chưa được quán 
triệt một cách toàn diện và cân đối - theo Nguyễn Cảnh Toàn - đó là kiểu dạy 
Toán "xa rời cuộc sống đời thường'' cần phải thay đổi.
 5 - Tính hiệu quả của việc xây dựng hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn 
trong dạy học Toán được hiểu là sự tiến bộ vững chắc, mức độ thành thạo 
trong việc giải các bài tập có nội dung thực tiễn của học sinh, hình thành và 
phát triển ở họ thói quen và hứng thú vận dụng kiến thức Toán học vào các 
tình huống trong học tập, lao động sản xuất và trong đời sống. Tính hiệu quả 
phụ thuộc vào hệ thống bài tập (nội dung, mức độ, số lượng, ...) cũng như các 
biện pháp sử dụng hệ thống bài tập này trong thực tế giảng dạy ở trường 
THPT.
 Mô hình toán học của nhiều hiện tượng trong thực tế được thể hiện dưới 
dạng hàm số cho bằng công thức (mô hình đại số hay mô hình giải tích) và đồ 
thị (mô hình đồ thị hay mô hình hình học). Ba bước quan trọng trong quá 
trình mô hình hóa đó là: 
 Bước 1: Lập mô hình toán học, bước trừu tượng hóa, hình thức hóa.
 Bước 2: Khảo sát các bài toán do mô hình toán học đưa lại. Trong hai
Bước 1 và 2, nhiều khi phải sử dụng mô hình hình học (vẽ sơ đồ, đồ thị, giải 
phương trình bằng đồ thị).
 Bước 3: Đối chiếu kết quả khảo sát toán học ở Bước 2 với các hiện 
tượng và tình huống thực tế (chẳng hạn, đối chiếu xem nghiệm của phương 
trình tìm được có thoả mãn bài toán đã cho không và trả lời).
 Một trong những đặc điểm nổi bật của các khoa học là sự gia tăng vai trò 
của Toán học, hay nói cách khác, là sự "Toán học hóa" các khoa học khác 
một cách sâu sắc và rộng rãi. Toán học không phải chỉ là một lĩnh vực nhất 
định của tri thức mà còn là một phương pháp, là một dạng nhất định của nhận 
thức khoa học, nó góp phần xây dựng chính xác các khoa học. Trong thực tế 
Toán học hóa các khoa học chỉ ra rằng, phương pháp toán học hóa các kiến 
thức khoa học tăng cường mối quan hệ lẫn nhau và tính thống nhất của tri 
thức khoa học hiện đại đang được phân chia mạnh mẽ, làm phong phú và sâu 
sắc thêm những dạng phản ánh thực tiễn. Vì thế, sự toán học hóa các khoa 
học giúp hiểu đúng hơn tự nhiên xã hội và góp phần thúc đẩy nhanh tiến bộ 
khoa học kỹ thuật .
 7 HỆ THỐNG BÀI TẬP CÓ NỘI DUNG THỰC TIỄN
2.1. Chủ đề đạo hàm
 Đây là công cụ hữu hiệu trong việc tìm cực trị; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ 
nhất của hàm số.
 Thông qua việc dạy học kiến thức này, ta có thể cho học sinh giải những 
bài toán thực tiễn khá hấp dẫn và mang nhiều ý nghĩa:
Bài 1: Một màn ảnh chữ nhật cao 1,4m được đặt ở độ cao 1,8m so với tầm 
mắt (tính đầu mép dưới của màn ảnh). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí 
đứng sao cho góc nhìn lớn nhất. Hãy xác định vị trí đó? C
 Hướng dẫn giải: 1,4
 Với bài toán này ta cần xác định OA để góc B· OC lớn B
 nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi tan B· OC lớn nhất. 1,8
 Đặt OA = x (m) với x > 0, ta có tan B· OC tan(·AOC ·AOB) A O
 AC AB 1,4
 tan ·AOC tan ·AOB 1,4x
 = = OA OA = x = . 
 · · AC.AB 3,2.1,8 x2 5,76
 1 tan AOC.tan AOB 1 1 
 OA 2 x 2
 1,4x
 Xét hàm số f(x) = 
 x2 5,76
 Bài toán trở thành tìm x > 0 để f(x) đạt giá trị lớn nhất.
 1,4x 2 1,4.5,76
 Ta có f'(x) = , f'(x) = 0 x = 2,4
 (x 2 5,76)2
Ta có bảng biến thiên
 x 0 2,4 + 
 f'(x) + 0 _
 84
 f(x) 193
 0 0
Vậy vị trí đứng cho góc nhìn lớn nhất là cách màn ảnh 2,4m.
 9 h h
 l 
 l h.cot h
 = tan sin = 
 v1 v2 v1 v2 .sin 
 l h.cot h
Xét hàm số f( ) . 
 v1 v2 .sin 
 v
Ứng dụng Đạo hàm ta được f( ) nhỏ nhất khi cos 2 . 
 v1
 v
Vậy để t nhỏ nhất ta chọn C sao cho cos 2 .
 v1
Bài 4. Một vật được ném lên trời xuyên góc so với phương nằm ngang, vận 
tốc ban đầu v0 = 9 m/s.
 a) Tính độ cao nhất của vật trên quỹ đạo và xác định thời điểm mà nó đạt 
được độ cao đó (g = 10m/s2)
 b) Xác định góc để tầm ném cực đại.
 Hướng dẫn giải:
a) Véc tơ v0 được phân tích thành tổng của hai véc tơ theo hai phương vuông 
góc với nhau (phương ngang và phương thẳng đứng) như Hình vẽ. Vật cao 
nhất khi MN MP , trong đó MP gt (1) , N
 MN 2 v2 MK 2
 0 M
 • K
 2 2 2 2 v
suy raMN v 0 v 0 cos (2). 0
Từ (1) và (2) g2 t 2 v 2 (1 cos2 )
 0 P
 v sin 
 t 0 . x
 g
 v sin 
Vậy h lớn nhất khi và chỉ khit 0 và khi đó 
 g
 v sin v 2 .sin 2 
maxh = v sin 0 = 0 .
 0 g g
b) Vì quỹ đạo của vật ném xiên là Parabol nên tầm ném của vật được tính 
 11 Hướng dẫn giải:
 kt
 Theo công thức m(t) m0e ta có: 
 ln 2
 100 ln 2 t
 m(5730) 50 100.e 5730k k , suy ra m(t) 100e 5730 
 2 5730
Bài 3. Với cùng một dây tóc các bóng đèn điện có hơi bên trong cho một độ 
sáng lớn hơn là các bóng chân không, bởi vì nhiệt độ của dây tóc trong hai 
trường hợp là khác nhau. Theo một Định luật Vật lý, độ sáng toàn phần phát 
từ một vật thể bị nung đến trắng tăng tỉ lệ với luỹ thừa bậc 12 của nhiệt độ 
tuyệt đối của nó (độ K).
 a) Hãy tính xem một bóng đèn có hơi với nhiệt độ dây tóc là 2500 oK 
sáng hơn một bóng chân không có nhiệt độ dây tóc là 2200oK bao nhiêu lần?
 b) Phải tăng nhiệt độ tuyệt đối lên chừng nào (tính theo phần trăm) để 
gấp đôi độ sáng của một bóng đèn?
 c) Độ sáng của một bóng đèn tăng lên bao nhiêu (tính theo phần trăm) 
nếu ta tăng 1% nhiệt độ tuyệt đối dây tóc của nó?
 Hướng dẫn giải:
 2500 25
 a) Gọi x là tỷ lệ phải tìm, ta có phương trình: x ( )12 ( )12 , 
 2200 22
 suy ra log x 12(log25 log12) 
Áp dụng Bảng số hoặc tính các lôgarit bằng máy tính ta cóx 4,6 . Một bóng đèn 
có hơi sáng gấp 4 lần một bóng đèn chân không.
 Suy ra rằng, một bóng đèn chân không có độ sáng là 50 nến thì cũng 
bóng ấy chứa đầy hơi có độ sáng là 50.4,6 230 nến.
 b) Gọi y là phần trăm phải tăng nhiệt độ tuyệt đối. Ta có phương trình
 y y log2
 (1 )12 2 log(1 ) , dùng Bảng số hoặc máy tính ta 
 100 100 12
tính được y 6% 
 c) Dùng lôgarit cơ số 10 thì từ x (1,01)12 , suy ra log x 12log(1,01) , 
ta tính được x 1,13 nghĩa là độ sáng sẽ tăng là 13% .
 13