Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp kết hợp dồn biến và đạo hàm tìm GTLN, GTNN của biểu thức nhiều biến trong luyện thi THPTQG và bồi dưỡng HSG tại trường THPT Lê Lai

 MỤC LỤC
1. Mở đầu..............................................................................................................1
 - Lí do chọn đề tài.............................................................................................1
 - Mục đích nghiên cứu .....................................................................................1
 - Đối tượng nghiên cứu ....................................................................................2
 - Phương pháp nghiên cứu ..............................................................................2
2. Nội dung ...........................................................................................................2
 2.1. Cơ sở lí luận...............................................................................................2
 2.1.1 Bài toán: ...............................................................................................2
 2.1.2 Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm một biến số. ..................2
 2.1.3. Phương pháp dồn biến .......................................................................3
 2.1.4. Một số bất đẳng thức, hằng đẳng thức thường dùng......................3
 2.2. Thực trạng vấn đề.....................................................................................3
 2.3. Giải pháp thực hiện ..................................................................................4
 2.3.1. Phương pháp dồn biến các biểu thức đối xứng................................4
 2.3.2. Phương pháp dồn biến các biểu thức bất đối xứng.......................13
 2.3.3. Bài tập tự luyện.................................................................................18
 2.4 Hiệu quả của SKKN.................................................................................19
3. Kết luận, kiến nghị ........................................................................................19
 3.1 Kết luận.....................................................................................................20
 3.2 Kiến nghị...................................................................................................20
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................21
PHỤ LỤC ...........................................................................................................21
 DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
 Stt Chữ viết tắt Nội dung
 1 SKKN Sáng kiến kinh nghiệm
 2 THPTQG Trung học phổ thông quốc gia
 3 THPT Trung học phổ thông
 4 ĐH-CĐ Đại học, Cao đẳng
 5 HSG Học sinh giỏi
 6 GTLN Giá trị lớn nhất
 7 GTNN Giá trị nhỏ nhất
 8 minP Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
 9 maxP Giá trị lớn nhất của biểu thức P
 10 BĐT Bất đẳng thức
 0 - Đối tượng nghiên cứu.
 SKKN tập trung nghiên cứu một số phương pháp dồn biến cơ bản để đưa 
một biểu thức nhiều biến (chủ yếu là 2 đến 3 biến) về hàm một biến. Sau đó sử 
dụng công cụ đạo hàm để khảo sát hàm một biến này tìm GTLN, GTNN. Các 
bài toán trong sáng kiến này cũng chỉ tập trung ở mức độ các bài trong đề thi 
ĐH-CĐ (trước đây), đề thi THPTQG hiện nay và đề thi HSG cấp tỉnh.
- Phương pháp nghiên cứu.
Một số phương pháp chính được sử dụng trong SKKN này là:
 + Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, 
 + Phương pháp thu thập thông tin, 
 + Phương pháp thống kê, xử lý số liệu,
 + Phương pháp thực nghiệm, đối chứng.
2. Nội dung
2.1. Cơ sở lí luận
 Phương pháp kết hợp dồn biến và đạo hàm tìm GTLN, GTNN của biểu 
thức nhiều biến (3 biến) có thể mô tả bởi bài toán sau:
2.1.1 Bài toán: Cho ba số thực x, y, z thõa mãn điều kiện: F(x, y, z) 0 (hoặc 
 F(x, y, z) 0 , F(x, y, z) 0 ). Tìm GTLN, GTNN của biểu thức P(x, y, z) .
Phương pháp:
* Bước 1: - Quan sát, dự đoán, tìm ra biến cần dồn về
 - Đặt t = biến cần dồn về
 - Tìm điều kiện chính xác của t
* Bước 2: Chuyển biểu thức cần tìm GTLN, GTNN theo t
 P (x,y,z)→ f (t) , với điều kiện t
* Bước 3: Dùng công cụ đạo hàm khảo sát hàm f (t) tìm GTLN, GTNN .
2.1.2 Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm một biến số.
2.1.2.1 Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số y f (x) liên tục trên [a;b]
* Bước 1: Tìm các điểm x1, x2,...,xn trên khoảng (a;b) , tại đó f '(x) = 0 hoặc 
 f '(x) không xác định.
* Bước 2: Tính f (a) , f (x1), f (x2) ,..., f (xn ) , f (b) .
* Bước 3: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có:
 M=max f (x) , m=min f (x)
 [a; b] [a; b]
2.1.2.2 Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số y f (x) liên tục trên (a;b)
* Bước 1: Tìm các điểm x1, x2,...,xn trên khoảng (a;b) , tại đó f '(x) = 0 hoặc 
 f '(x) không xác định.
 2 điều quan trọng hơn là giáo viên cũng chưa thực sự đầu tư nghiên cứu để có thể 
tìm ra một hướng tiếp cận, một phương pháp giải giải hiệu quả nhất.
 Thứ hai, về phía học sinh: Chưa được các thầy cô ôn luyện cẩn thận (hầu 
hết các em hoặc là không định hướng được cách giải hoặc là có định hướng 
nhưng không nắm được các phương pháp dồn biến, thiếu kĩ năng vận dụng các 
BĐT trung gian, tư duy phân tích tổng hợp chưa tốt,...), cộng thêm tâm lí thiếu 
tự tin, ngại khám phá (bằng lòng với mục tiêu 9 điểm).
 Trên thực tế, ở trường Lê Lai hằng năm vẫn có những học sinh xuất sắc 
(năm nào cũng có học sinh thi đỗ vào các trường ĐH với điểm số cao từ 25-28 
điểm). Nếu các em tự tin và được ôn luyện tích cực thì vẫn có thể lấy điểm bài 
toán này được. Bởi vì bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức nhiều biến có 
hướng giải chủ đạo là dồn biến (chủ yếu là quy về hàm một biến) và dùng đạo 
hàm khảo sát hàm số tìm GTLN, GTNN. Rõ ràng công việc mấu chốt là làm sao 
dồn được biến. Đó là một phương pháp tuy đã cổ điển nhưng không hề đơn giản. 
Muốn làm chủ được nó, quan trọng là cần phải có những hiểu biết và kĩ năng 
khá sâu sắc về phần bất đẳng thức, cực trị. Chính vì lẽ đó nếu có quyết tâm cao, 
có thời gian ôn luyện, rút kinh nghiệm chắc chắn sẽ làm được.
 Trong SKKN này tôi sẽ tập trung vào việc phân tích, định hướng cách vận 
dụng các phương pháp dồn biến. Còn công việc sử dụng đạo hàm để khảo sát 
hàm một biến số tìm GTLN, GTNN chúng ta sẽ không bàn nhiều.
2.3. Giải pháp thực hiện
 Trong sáng kiến này, phương pháp dồn biến được tôi vận dụng trên cơ sở 
căn cứ chủ yếu vào dạng ban đầu của biểu thức cần tìm GTLN, GTNN. Bao 
gồm hai dạng chính sau:
2.3.1. Phương pháp dồn biến các biểu thức đối xứng
 Việc vận dụng phương pháp dồn biến ở trên (mục 2.1.3. ) cho chúng ta 
định hướng việc chọn biến để dồn như sau:
 1. Nếu x, y đối xứng thì thông thường ta dồn về biến t = x + y , t = xy 
hoặc t = x2 + y2 ,...
 2. Nếu x ,y ,z đối xứng thì thông thường ta dồn về biến t = x + y + z , 
t = xyz , t x2 y2 z2 hoặc t xy yz zx ,...
Ta xét các ví dụ cụ thể sau:
Ví dụ 1: Cho x 0 và y 0 thỏa mãn điều kiện x y 2 .Tìm giá trị lớn nhất 
 1
của biểu thức P xy .
 xy 1
 Lời giải.
 2
 x y 
Đặt t xy . Ta có 0 xy 1. Suy ra điều kiện 0 t 1
 2 
 4 1 25 1
maxS= max f (t) f ( ) khi x y .
 1 
 0; 4 2 2
 4 
A Nhận xét: 
 VD1, VD2 có điều kiện ban đầu khá đơn giản x y 1, x y 2 . Vì thế ta 
có thể nghĩ tới một cách dồn biến khác là y 1 x , y 2 x . Sau đó đưa S, P về 
hàm số biến x. Với điều kiện x 0, y 0 ta dễ dàng suy ra điều kiện của x. Tuy 
nhiên đó không phải là cách làm tổng quát. Nó sẽ gặp nhiều khó khăn khi điều 
kiện ban đầu (ràng buộc giữa các biến) không phải là bậc nhất.
 Ta tiếp tục xét các ví dụ sau:
Ví dụ 3: ( CĐ Khối A, B – 2008 ) Cho x, y là số thực thỏa mãn x2 y2 2 . 
 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2(x3 y3 ) 3xy .
Phân tích hướng làm:
 - Từ giả thiết x2 y2 2 và P là một biểu thức đối xứng của x, y nên ta có 
 thể nghĩ đến việc biến đổi đưa P về biến t = x + y hoặc t = xy bằng 
 cách áp dụng các hằng đẳng thức 
 x2 y2 (x y)2 2xy; x3 y3 (x y)(x2 xy y2 ) .
 - Khai triển biểu thức P cố gắng làm xuất hiện x2 y2 để sử dụng giả thiết: 
 P 2(x y)(x2 xy y2 ) 3xy
 = 2(x y)(2 xy) 3xy
 (x y)2 2
 - Từ giả thiết x2 y2 (x y)2 2xy 2 xy .
 2
 Vậy đến đây ta có thể đưa P về hàm một biến t x y .
 Lời giải.
Ta có : 
 P 2(x y)(x2 xy y2 ) 3xy
 = 2(x y)(2 xy) 3xy
 (x y)2 2
Lại có : xy , vì thế sau khi đặt t x y thì: 
 2
 t 2 2 t 2 2 3
 P(t) 2t(2 ) 3 t3 t 2 6t 3
 2 2 2
 (x y)2
Ta có x2 y2 (x y)2 4 2 t 2 .
 2
 3 3 2 2 t 1
Xét hàm số P(t) t t 6t 3 với 2 t 2 . Có P '(t) 3t 3t 6 0 
 2 t 2
 13
 Ta có : f ( 2) 7 ; f (1) ; f (2) 1
 2
Vậy :
 minP = min P(t) P( 2) 7 khi x y 1 ; 
  2;2
 6 9 1
Đặt t x2 y2 . Ta có A f (t) t 2 2t 1 với t .
 4 2
 9 1 1
Vì f '(t) t 2 0, t . Nên suy ra hàm số f (t) đồng biến trên [ ; )
 2 2 2
 1 9 1 9 9 1
Suy ra min f (t) f ( ) t . Tức là A . Mặt khác, A khi x y 
 1
 [ ; ) 2 16 2 16 16 2
 2
 9 1
Vậy : min A khi x y và không có giá trị lớn nhất. 
 16 2
 Ví dụ 5: (ĐH Khối B-2011) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn 
 2(a2 b2 ) ab (a b)(ab 2) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 a3 b3 a2 b2 
 P 4 3 3 9 2 2 .
 b a b a 
Phân tích hướng làm:
 - Do đặc điểm đối xứng của biểu thức P nên ta dễ dàng tìm ra biến cần 
 a b
 dồn về là t . Vấn đề mấu chốt của bài này là khai thác điều kiện 
 b a
 ban đầu như thế nào để tìm ra điều kiện của t. Cách nghĩ tự nhiên nhất là 
 a b
 phải làm xuất hiện . Sau đó vận dụng các BĐT cơ bản để đánh giá.
 b a
 Lời giải.
- Biến đổi giả thiết: 2(a2 b2 ) ab (a b)(ab 2)
 2(a2 b2 ) ab a2b ab2 2(a b)
 a b a b
 2 1 (a b) 2( )
 b a ab
 a b 1 1 
 2 1 (a b) 2 (*)
 b a a b 
- Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:
 1 1 1 1 a b 
 (a b) 2 2 2(a b) 2 2 2 
 a b a b b a 
 a b a b a b 5
Kết hợp (*) suy ra: 2 1 2 2 2 .
 b a b a b a 2
 a b 5
Đặt t , t . Ta được : P 4(t3 3t) 9(t 2 2) 4t3 9t 2 12t 18.
 b a 2
 5
Xét hàm số: f (t) 4t3 9t 2 12t 18; f '(t) 6(2t 2 3t 2) 0,t 
 2
 5 23
Suy ra min f (t) f .
 5 
 ; 2 4
 2 
 23 a b 5 1 1 
Vậy min P đạt được khi và chỉ khi và a b 2 
 4 b a 2 a b 
 (a;b) (2;1) hoặc (a;b) (1;2)
 8