Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải một số dạng toán về hàm ẩn, hàm hợp trong kỳ thi THPT Quốc gia

 MỤC LỤC
1. Lời giới thiệu.......................................................................................................................................1
2. Tên sáng kiến: .....................................................................................................................................1
3. Tác giả sáng kiến:................................................................................................................................1
4. Chủ đầu tư sáng kiến:..........................................................................................................................1
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: ...............................................................................................................1
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:...................................................................1
7. Mô tả bản chất của sáng kiến ..............................................................................................................1
8. Những thông tin cần được bảo mật:..................................................................................................51
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: ..................................................................................51
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác 
giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử 
nghiệm:..................................................................................................................................................51
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu:.......52
TÀI LIỆU THAM KHẢO.....................................................................................................................53 BÁO CÁO KẾT QUẢ
 NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
 1. Lời giới thiệu
 Trong các kỳ thi THPT QG những năm gần đây ( từ năm 2017 trở lại đây) thường 
 xuất hiện một số dạng toán liên qua đến hàm hợp, hàm ẩn. Khi mới xuất hiện, các dạng 
 toán này thường ở mức độ 3 và mức độ 4, do đó gây sự lúng túng nhất định cho học sinh, 
 thậm chí cả giáo viên. Các dạng toán toán này thường chia làm các dạng: Xét sự biến thiên, 
 tìm cực trị, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, sự tương giao của đồ thị hay số nghiệm của 
 phương trình, tiệm cận liên quan đến chương I giải tích lớp 12, hay nguyên hàm, tích 
 phân hàm ẩn liên quan đến kiến thức chương III của giải tích lớp 12.
 Sau một vài năm dạy các khóa học sinh lớp 12 thi THPT QG, tôi nhận thấy cần phải 
 đúc rút ra một số dạng toán và cách giải quyết nó một cách đơn giản nhất phù hợp với cách 
 thi trắc nghiệm của kỳ thi. Do đó tôi mạnh dạn viết chuyên đề nhỏ ngày để giúp giải quyết 
 một số khó khăn mắc phải của học sinh khi gặp dạng toán này.
 Các dạng toán về hàm ẩn thì có nhiều dạng như đã nêu ở trên, nhưng trong chuyên 
 đề nhỏ này, do thời gian có hạn và khối lượng kiến thức hạn chế nên tôi chỉ nêu ba dạng 
 toán: Xét sự biến thiên, tìm cực trị của hàm hợp, hàm ẩn, tìm số nghiệm của phương 
 trình liên quan đến hàm hợp, hàm ẩn. Theo tôi nghĩ, ba dạng toán này nếu học sinh nắm 
 được và sử dụng thành thạo các công cụ của nó thì có thể dễ dàng giải quyết các dạng toán 
 còn lại về hàm hợp, hàm ẩn.
 Trong quá trình viết chuyên đề nhỏ này, do thời gian và kiến thức có hạn nên không 
 tránh khỏi những sai sót nhất định, rất mong sự đóng góp của các Thầy cô giáo và các em 
 học sinh để chuyên đề được hoàn thiện hơn và tôi tiếp tục hoàn thành các phần tiếp theo 
 của dạng toán này.
 2. Tên sáng kiến: PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN, HÀM 
HỢP TRONG KỲ THI THPT QUỐC GIA
 3. Tác giả sáng kiến:
 - Họ và tên: Vũ Doãn Tiến.
 - Địa chỉ: Trường THPT Ngô Gia Tự
 - Số điện thoại: 0984970114 Email: vudoantien.gvc3ngogiatu@vinhphuc.edu.vn
 4. Chủ đầu tư sáng kiến:
 - Là tác giả sáng kiến.
 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục (dạy học môn Toán THPT phần chương I giải tích 12)
 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: tháng 10 năm 2019.
 7. Mô tả bản chất của sáng kiến
 1 1.2.3. Định lí 2. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng K = (x0 - h ; x0 + h) (h > 0).
- Nếu f ' x0 0, f '' x0 0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số f .
- Nếu f ' x0 0, f '' x0 0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số f .
1.2.4. Quy tắc tìm cực trị
Quy tắc 1
- Tìm tập xác định.
- Tính f ' x . Tìm các điểm tại đó f '(x) bằng 0 hoặc f '(x) không xác định.
- Lập bảng biến thiên.
- Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2
- Tìm tập xác định.
- Tính f ' x .Tìm các nghiệm xi của phương trình f ' x 0 .
- Tính f '' xi suy ra tính chất cực trị của các điểm xi .
(Chú ý: nếu f '' xi 0 thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại xi ).
1.3. Các kiến thức biện luận số nghiệm của phương trình:
Tính chất 1: Nếu hàm số f (x) liên tục [a;b]và đơn điệu trên khoảng (a;b) thì phương trình 
f (x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm trong đoạn [a;b].
Mở rộng: Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn[a;b] và có đạo hàm đổi dấu n lần trên khoảng (a;b) 
thì phương trình f (x) = 0 có nhiều nhất n + 1 một nghiệm trong đoạn[a;b].
Tính chất 2: Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a;b]và đơn điệu trên khoảng (a;b) thì phương trình 
f (u) = f (v) Û u = v với " u,v Î [a;b].
Tính chất 3: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và đơn điệu tăng trên (a;b) thì 
f (x) > f (y) Û x > y (Nếu f đơn điệu giảm thì f (x) > f (y) Û x < y ) với " x,y Î (a;b) .
Tính chất 4: 
+ Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a;b]. Bất phương trình f (x) £ m nghiệm đúng với mọi 
x Î [a;b] khi và chỉ khi max f (x) £ m .
 [a;b]
+ Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a;b]. Bất phương trình f (x) £ m có nghiệm x Î [a;b] khi 
và chỉ khi min f (x) £ m .
 [a;b]
 3 Hàm số y f 3 2x đồng biến khi y 2 f 3 2x 0 f 3 2x 0
 3 2x 3 x 3
 .
 1 3 2x 1 1 x 2
 Hàm số y f 3 2x đồng biến trên khoảng 3; nên đồng biến trên khoảng 3;4 . 
 Đáp án A
 Ví dụ 3. ( KSCL lần 1 năm 2019-2020 THPT Trần Phú). Cho hàm số y f x có bảng 
 biến thiên như sau. Các khoảng đồng biến của hàm số y f 2x 1 ?
 A. ( ;2) B. ( ;0) và 2; C. ( ; 1) và 
 (0; ) D. (0;2)
 Lời giải.
 Ta có y f 2x 1 y ' 2 f ' 2x 1 . 
 Khi đó y ' 2 f ' 2x 1 0 1 2x 1 3 0 x 2 . Đáp án D.
 Ví dụ 3. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ và có đồ thị hàm f x như hình vẽ 
 dưới đây. Hàm số g x f x2 x đồng biến trên khoảng nào?
 1 1 
 A. ;1 . B. 1;2 . C. 1; . D. ; 1 .
 2 2 
 Lời giải
Ta có: g x f x2 x g x 2x 1 f x2 x .
 5 Trong khoảng (- 1; 1) hàm số h(x) đồng biến nên m 3 h( 1) h(x) h(1) m 5
 2 m 3 m 1
Vậy (*) suy ra có 3 giá trị nguyên của m . Đáp án B
 m 5 8 m 3
 Ví dụ 5. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và bảng xét dấu của hàm số y f x như 
 hình bên. Hỏi hàm số g x f x 1 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
 A. 0;2 B. 3;0 C. 1;4 D. 1;1 
 Lời giải
 f x 1 , x 0
 Ta có: g x f x 1 
 f x 1 , x 0
 Nhận xét: Hàm g x f x 1 là hàm chẵn, có đồ thị đối xứng nhau qua trục tung. 
 +) Ta có BBT của hàm số y f (x) 
 +) B1: Chuyển từ hàm số y f x sang hàm số y f x 1 ( tịnh tiến đồ thị sang 
 trái 1 đv) 
 +) B2: Chuyển từ hàm số y f x 1 sang hàm số y f x 1 bằng cách giữ nguyên 
 phần x 0 , phần x 0 được lấy đối xứng với phần x 0 qua Oy . ( lấy đối xứng qua 
 Oy)
 7 miền giá trị của g' lớn hơn 4. Từ suy luận đó, dựa vào các điểm trên trục hoành ta thấy 
 h'(6) f '(10) 2g '(10,5) 8 2.4 0 
 Do đó h sẽ nghịch biến trong những khoảng xung quanh giá trị 6, đó là các phương án 
 A,C, D. Lại thấy đáp án B cho ta f ' 10, g ' 5 . Do đó phương án B được chọn.
 2. Dạng 2. 
 Cho hàm y f (x) hoặc y f '(x) xét sự biến thiên của hàm g(x) f (u(x)) h(x) .
 Phương pháp: 
 - Tính g '(x) u '(x). f '(u(x)) h'(x)
 - Lập bảng xét dấu g '(x) bằng cách cộng dấu của hai biểu thức u '(x). f '(u(x)) và h'(x) .
 Ví dụ 1. (Đề tham khảo THPTQG 2019) Cho hàm số f x có bảng xét dấu của đạo hàm 
 như sau:
 Hàm số y 3 f x 2 x3 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
 A. 1; .B. ; 1 . C. 1;0 . D. 0;2 .
 Lời giải
 2 2
 Ta có y 3 f x 2 3x 3 3 f '(x 2) (1 x ) 
 Xét f '(x 2) 0 x 2 {1,2,3,4} x { 1,0,1,2}
 Xét 1 x2 0 x 1, x 1
 1 x 2 3 1 x 1 2
 Lại có: f '(x 2) 0 và 1 x 0 1 x 1
 x 2 4 x 2
 Bảng xét dấu 
Từ bảng xét dấu suy ra trên khoảng 1;0 hàm số đồng biến. Chọn đáp án C.
 Lưu ý: 
 - Để xác định dấu của y ' trong bảng trên ta phải cộng dấu của f '(x 2) và 1 x2 với 
 nguyên tắc cùng dấu thì cộng được. Nếu khác dấu nhau thì không xác định được dấu của 
 y ' .
 9 hàm số g x đồng biến trên 2;2 và 4; . So sánh 4 đáp án Chọn B
Lưu ý: Ta xác định được dấu của g x 2 f x x theo nguyên tắc: trong khoảng 
(a;b) đồ thị hàm số f '(x) nằm phía trên đường thẳng y x thì g x 0 .
Ví dụ 3. (Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An năm 2018-2019) Cho hàm số f x có bảng xét 
dấu của đạo hàm như sau :
Hàm số y 2 f 1 x x2 1 x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?
A. ;1 .B. ; 2 .C. 2;0 .D. 3; 2 .
 Lời giải
 x x x2 1
Ta có : y ' 2 f ' 1 x 1 2 f ' 1 x 
 x2 1 x2 1
 x x2 1
Vì 0,x R. 
 x2 1
 1 1 x 3 2 x 0
Nên ta tìm khoảng để : 2 f ' 1 x 0 f ' 1 x 0 . 
 1 x 4 x 3
So sánh các đáp án, chọn C.
3. Dạng 3. 
Cho hàm y f (u(x)) hoặc hàm y f '(u(x)) xét sự biến thiên của hàm y f (x) .
Phương pháp: Giả sử ta có: f '(u(x)) 0 x D . Ta cần giải BPT f '(x) 0. 
- Đặt t u(x) x v(t) 
- Giải BPT: f '(t) 0 f '(u(x)) 0 x D x v(t) D t D' . 
- Vậy f '(x) 0 x D'
Ví dụ 1. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm trên ¡ . Hàm số y f '(3x 1) có đồ thị như 
hình vẽ:
 11 x 1 2 t 1 t 3
Khi đó f '(t) 0 f '(2 x) 0 
 x 2 2 t 2 t 0
 x 3
Vậy f '(x) 0 . Chọn đáp án A
 x 0
Ví dụ 3. Cho hàm số y f (x) có liên tục trên ¡ . Hàm số y f (3 4x) đồ thị như sau 
:
Hàm số y f (x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( 7;1) . B. ( ; 1) . C. (7; ) . D. ( 1;6) .
 Lời giải
Từ đồ thị ta suy ra f '(3 4x) 0 1 x 1.
 3 t
Đặt t 3 4x x . 
 4
Khi đó f '(t) 0 f '(3 4x) 0 1 x 1 1 3 4t 1 1 t 7
Vậy f '(t) 0 1 t 7 hay : f '(x) 0 1 x 7 . Chọn đáp án D.
 7 2
Ví dụ 4. Cho hàm số y f (x) có f 2x 3x 12x 9 . Hàm số y f (x) nghịch 
 2 
biến trên khoảng nào sau đây.
 1 9 9 5 3 
A. ; . B. ; . C. ; . D. 
 4 4 4 2 2 
 5 
 ; .
 2 
 Lời giải
Ta cần giải bất phương trình f (x) 0 .
 7 2 7 2
Từ f 2x 3x 12x 9 f 2x 0 3x 12x 9 1 x 3 .
 2 2 
 7 7 2t 7 2t 5 3
Đặt t 2x x . Khi đó ta có f t 0 1 3 t .
 2 4 4 2 2
 5 3 
Vậy hàm số y f (x) nghịch biến trên khoảng ; . Chọn C.
 2 2 
 13