Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển tư duy và kỹ năng của học sinh qua bài toán tìm giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ nhất dựa vào đạo hàm

 I. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài: 
 Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số nói riêng và bất 
đẳng thức nói chung là một trong những chủ đề quan trọng và hấp dẫn trong 
chương trình giảng dạy và học bộ môn toán ở trường phổ thông. Trong các đề 
thi môn toán của các kì thi đại học, cao đẳng, tôt nghiệp và thi học sinh giỏi các 
cấp những năm gần đây các bài toán liên qua đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 
nhất của hàm số thường xuyên có mặt và thường là câu hỏi khó của đề thi.
 Để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số hay của biểu thức có 
nhiếu phương pháp như: Sử dụng bất đẳng thức cô si, bất đẳng thức Bunhia; 
phương pháp lượng giác hóa; phương pháp miền giá trị; phương pháp đồ thị và 
hình học; phương pháp chiều biến thiên. Nhưng tôi thấy trong những năm gần 
đây, trong các đề thi việc sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất 
thường xuyên được sử dụng, chính vì vậy trong quá trình giảng dạy của mình tôi 
muốn hình thành cho học sinh có tư duy và kỹ năng sử lí các bài toán này dựa 
vào đạo hàm.Nên tôi xin trình bày sáng kiến kinh nghiệm: “Phát triển tư duy 
và kỹ năng của học sinh qua bài toán tìm giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ nhất 
dựa vào đạo hàm”. 
2. Mục đích nghiên cứu:
 Khi tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của biểu thức có nhiền ẩn tôi nhận thấy:
 • Học sinh sợ, bỏ qua, không hứng thú.
 • Lúng túng, thụ động, không biết xử lí từ đâu.
 Vậy vấn đề đặt ra là:
 • Cần giúp cho học sinh hệ thống và ghi nhớ đầy đủ các kiến thức liên 
 quan : đạo hàm và các bất đẳng thức cô si, bunhiacôpxki
 • Giúp học sinh hình thành và phát triển tư duy linh hoạt, sáng tạo trong 
 các bài toán liên quan.
3. Đối tượng nghiên cứu:
 Để giải quyết vấn đề đó tôi đề xuất ý tưởng sau:
 • Cần cho học sinh tự hệ thống lại kiến thức trọng tâm sau mỗi buổi học 
 từ đó khắc sâu được kiến thức.
 • Từ các bài toán cụ thể, dẫn dắt học sinh tự đúc kết ra các kinh nghiệm 
 giải toán qua đó tự tìm ra thuật giải cho các lớp bài toán khác nhau.
 • Cho học sinh thấy được mối liên hệ của kiến thức đang học với thực 
 tiễn cuộc sống.
4. Phương pháp nghiên cứu:
 • Xuất pháp từ các bài toán cụ thể, cho học sinh nhìn rõ vấn đề và tìm ra 
 phương pháp giải cụ thể cho các bài toán có sử dụng đạo hàm.
 • Đúc kết ra thuật toán của các lớp bài toán khác nhau có sử dụng đạo 
 hàm.
 • Thực nghiệm sử dụng đạo hàm trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất 
 và nhỏ nhất của hàm số.
 1 3. Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề:
 Hình thành tư duy và kỹ năng của học sinh qua việc giải các bài toán tìm 
giá trị lớn nhất và giá trị nhổ nhất:
 Bài toán 1 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên 
D. 
 Đây là cách sử dụng trực tiếp chiều biến thiên của hàm số để tìm giá trị 
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, các bài toán này thường gặp trong các đề thi tốt 
nghiệp, đại học và cao đẳng các khối D, B.
 Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D:
 Bước 1: Lập bảng biến thiên của hàm số trên D : 
 • Tính y’ và tìm các điểm tới hạn
 • Tính giới hạn vô cực và giới hạn tại vô cực (nếu có).
 Bước 2: So sánh giá trị của hàm số tại các điểm đặc biệt ( thông thường 
là các điểm cực đại, cực tiểu, các điểm không tồn tịa đạo hàm ....).Từ phép so 
sánh ấy để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất phải tìm.
Ví dụ 1 : ( Đại học khối D năm 2011 )
 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
 2x2 3x 3
 y trên 0;2 
 x 1
Giải: Ta có : 
 2x2 4x
 y ' 
 x 1 2
 x 0
 y ' 0 
 x 2
Bảng biến thiên : 
 t - o 2 + 
 y’ +
 17
 Y 3
 3
 Vậy : 
 17
 max y y(2) 
 3
 0;2 
 min y y(0) 3
 0;2
 Chú ý : Đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm 
số
 y = f(x) liên tục trên đoạn a;b ta còn có thể áp dụng phương pháp sau 
đây :
 Bước 1: Tìm các điếm x1, x2, ....xn trên a;b tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không 
xác định.
 Bước 2: Tính f(a), f( x1), f(x2), .., f(xn).
 3 • Nếu bậc f(x) > bậc g(x) : lim y, lim y kết quả bằng vô cực.
 x x 
 a
 • Nếu bậc f(x) = bậc g(x) : lim y lim y với a,b lần lượt là hệ số của x 
 x x b
 có số mũ cao nhất trong các đa thức f(x) và g(x).
 • Nếu bậc f(x) < bậc g(x) : lim y lim y 0 
 x x 
Giải : Tập xác định: R
 Giới hạn : 
 lim y lim y 0 
 x x 
 Ta có : 
 4 1 3x4 
 y ' 2 
 1 x4 
 1
 x 
 4 3
 y ' 0 
 1
 x 
 4
 3
Bảng biến thiên :
 - 1 1 + 
x - 
 4 3 4 3
y’ + 0 - 0 +
 0 4 27
y
 - 4 27 0
 1 4 1 4
Vậy max y y 27 và min y y 27 
 4 3 4 3 
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng ( 0 ; 1 )
 2 1
 y 
 1 x x
 2 1
Giải : Xét hàm số y trên khoảng ( 0 ; 1)
 1 x x
 Ta có : 
 2 1
 y ' 
 1 x 2 x2
 x 1 2
 y ' 0 
 x 1 2
Giới hạn : lim y lim y 
 x 0 x 1 
Bảng biến thiên : 
 5 Xét hàm số : 
 t 2 t 2
 f (t) , t 0; 2 
 t 2 
 t 2 4t
 f '(t) 0 t 0; 2 
 t 2 2 
Bảng biến thiên :
 x - 0 2 + 
 f'(x) -
 1
 f(x)
 2 -1
 min y f 2 2 1 và max y f 0 1
 0; 2 0; 2 
 Khi đó : Phương trình có nghiệm 2 1 m 1 
 Như vậy, trong bài toán 1 công việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 
của hàm số y = f(x) trên tâp D không khó khăn nhiều với học sinh. Học sinh đã 
vượt qua mức độ tư duy và kỹ năng tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 
hàm số hay biểu thức có một ẩn. Hoc sinh gặp bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá 
trị nhỏ nhất của biểu thức có nhiều ẩn thì học sinh phải làm như thế nào ?
 Bài toán 2 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức có nhiều 
ẩn:
 Đây là bài toán khó nhất trong các đề thi đại học,cao đẳng những năm gần 
đây và cũng như các đề thi học sinh giỏi các cấp. Bài toán này có nhiều phương 
pháp giải quyết, nêu sử dụng phương pháp chiều biến thiên ( sử dụng đạo hàm ) 
thì học sinh phải làm được :
 • Bước 1: Biến đổi, đánh giá ( sử dụng các bất dẳng thức cơ bản ) để 
 đưa biểu thức có nhiều ẩn về biểu thức có một ẩn.
 • Bước 2: Tìm điều kiện đầy đủ của ẩn số.
 • Bước 3: Quay lại bài toán 1 ( xét hàm số trên một tập nào đó ).
Ví dụ 6: Cho hai số x, y thỏa mãn : x 0, y 0, x y 1. Tìm giá trị lớn nhất và 
giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
 x y
 P 
 y 1 x 1
 Ta thấy : Biểu thức P có hai ẩn x, y ta phải biến đổi P chỉ chứa một ẩn xy 
như sau :
 x y
 P 
 y 1 x 1
 x x 1 y y 1 
 x 1 y 1 
 x y 2 2xy 1
 xy x y 1
 2 2xy
 2 xy
 7 3
 Đặt t x y z, 0 t 
 2
 9 3
 Xét hàm số: f(t) = t với 0 t 
 t 2
 9 3
 f'(t) = 1 0 với 0 t 
 t 2 2
Bảng biến thiên :
 t 0 3
 2
 f’(t) -
 f(t) 15
 2
 15 3 
 f (t) , t 0;
 2 2 
 15
 P 
 2
 3
 15 x y z 1
Vậy min P đạt được khi 2 x y z 
 2 2
 x y z
Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
 x4 y4 x2 y2 x y
 P Với x, y khác 0.
 y4 x4 y2 x2 y x
Giải: 
 x y
 Đặt : t , t 2 
 y x
 Khi đó : 
 x2 y2
 t 2 2
 y2 x2
 4 4
 x y 2 2
 4 4 t 2 2
 y x
 Biểu thức P trở thành : 
 2
 P t 2 2 2 t 2 2 t
 t 4 5t 2 t 4
 Xét hàm số : f t t 4 5t 2 t 4 t 2 
 Ta có: 
 f ' t 4t3 10t 1
 f '' t 12t 2 10 0  t 2
Suy ra f’(t) đồng biến trên ; 22; 
 Khi đó :
 t 2 f ' t f ' 2 13 0 suy ra f(t) đồng biến trên 2; 
 9 13 17
 F(t) = t5 5t 2 t 4 với t 
 6 4
 13 17 
 F’(t) = 4t3 10t 1 4t(t 2 4) 6t 1 0 t ,
 6 4 
Bảng biến thiên :
 t 13 17
 6 4
 F’(t) + 4249
 16
 F(t) 1083
 54
 1083 108
 Vậy min F(t) = min P = đạt được khi
 54 54
 x y 17
 y x 4
 13 x 1
 t 1 x 2 
 6 y 4
 3 y 4 
 4249 4249
 max F(t) = max P = đạt được khi :
 16 16
 x y 13
 y x 6
 17 x 2
 t 1 x 2 
 4 y 3
 3 y 4 
Ví dụ 9: ( Đề thi đại học khối B năm 2011 )
 Cho hai số a, b thỏa mãn: 2( a2 + b2 ) + ab = ( a + b )( ab + 2). Tìm giá trị 
nhỏ nhất của biểu thức: 
 a3 b3 a2 b2 
 P 4 3 3 9 2 2 
 b a b a 
Hướng dẫn: 
 a b
 Đặt: t 
 b a
 Khó khăn trong bài này: Ta phải biến đổi xuất hiện t từ giả thiết và đánh 
giá t dựa vào giả thiết để tìm điều kiện của t.
 Ta có: : 2( a2 + b2 ) + ab = ( a + b )( ab + 2)
 2 a2 b2 ab a2b ab2 2 a b 
 a b 1 1 
 2 2 a b 2 
 b a a b 
 Ta có: 
 11