Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển tư duy học sinh thông qua bài toán tỉ lệ thể tích lớp 12

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
 TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 5
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC SINH THÔNG QUA BÀI TOÁN 
 TỈ LỆ THỂ TÍCH LỚP 12
 Người thực hiện: Phạm Thị Thanh
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
 THANH HOÁ NĂM 2017
 0
 THANH HOÁ NĂM 
 (Font Times New Roman, cỡ 14, CapsLock) 1. MỞ ĐẦU
1.1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
 Trong những năm gần đây trong các kỳ thi Đại học – Cao đẳng, và kì thi 
THPT Quốc gia, dạng toán tính thể tích khối đa diện là một câu hỏi thường 
xuyên xuất hiện trong các đề thi. 
 Để tính thể tích khối đa diện ta thường áp dụng hai phương pháp: Phương 
pháp thứ nhất là tính trực tiếp thông qua việc tính diện tích đáy và chiều cao của 
khối đa diện. Việc tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp trực tiếp đòi hỏi 
học sinh phải xác định được chiều cao của khối đa diện và tính chiều cao đó. 
Việc này làm cho một số học sinh gặp khá nhiều khó găn do phải vận dụng các 
kiến thức về đường thằng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc 
đã học từ lớp 11. Khi việc xác định và tính chiều cao của khối đa diện gặp khó 
khăn hoặc khối đa diện cần tính không phải những khối đa diện có công thức 
tính thể tích đã học thì ta sử dụng phương pháp thứ hai.
 Phương pháp thứ hai là phương pháp gián tiếp. Để tính thể tích khối đa 
diện bằng phương pháp gián tiếp thì học sinh chỉ cần nắm được một số kiến thức 
cơ bản về thể tích khối chóp, khối lăng trụ và tỷ số thể tích trong khối chóp tam 
giác. Lời giải bài toán tính thể tích bằng phương pháp gián tiếp thường ngắn 
gọn, dễ hiểu.
 Chính vì những lý do nêu trên mà tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh 
nghiệm “Phát triển tư duy học sinh qua việc khai thác bài toán tỉ lệ thể tích 
khối chóp tam giác”.
1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
 - Góp phần đổi mới phương pháp dạy học môn toán nói chung và môn Hình 
học 12 nói riêng theo phương hướng tinh giản kiến thức, phát huy tính tích cực, 
chủ động và sáng tạo của học sinh, tăng cường ứng dụng thực tế, giúp học sinh 
có phương pháp học tốt thích ứng với xu hướng ra đề đổi mới hiện nay.
 - Góp phần gây hứng thú học tập tính thể tích khối chóp cho học sinh, một 
trong các phần được coi là hóc búa, đòi hỏi tính tư duy cao và không những chỉ 
giúp giáo viên lên lớp tự tin, nhẹ nhàng, học sinh lĩnh hội được tri thức một cách 
đầy đủ, khoa học mà còn giúp các em củng cố và khắc sâu các kiến thức.
1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 
 Chương 1 – Hình học lớp 12: Khối đa diện và chủ yếu là một số dạng toán 
tính thể tích khối đa diện của khối chóp tam giác .
1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
 Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau:
 a. Nghiên cứu tài liệu : 
 2 - Học sinh ít chịu tư duy, lập luận không có tính lôgic, thiếu tính cần cù, kiên 
nhẫn và nhạy bén trong khi giải bài tập. Vì đa số học sinh thường có tâm lí sợ 
sệt, rất ngại khi gặp phải những dạng bài tập khó, phức tạp nên dần dần tạo 
thành một thói quen là học theo kiểu đối phó.
- Phần lớn học sinh không biết cách nhận dạng đề, không nắm bắt được phương 
pháp giải. Chưa biết cách vận dụng lí thuyết vào bài tập, chưa biết nhìn bài toán 
theo không gian và khả năng để vận dụng vào các bài toán tính thể tích khối đa 
diện nói chung và khối chóp tam giác nói riêng còn rất kém.
2.2. Thực trạng của đề tài
 Qua một thời gian giảng dạy tại trường THPT Tĩnh gia 5 tiếp cận với học 
sinh, nắm được khả năng của học sinh qua việc đọc các tài liệu, sách báo, tìm 
hiểu đề trong các kì thi và kinh nghiệm của bản thân. Tôi đã nghiên cứu sâu vào 
vấn đề này để biên soạn và hệ thống kiến thức khối 12. Nhằm mục đích tạo điều 
kiện phù hợp với từng học sinh từ yếu đến trung bình, khá và giỏi.
 Trong các giờ học về phần: Thể tích khối đa diện. Học sinh nắm chưa 
chắc, chưa hiểu rõ bản chất, khả năng suy luận lôgíc, khả năng khái quát phân 
tích bài toán còn hạn chế, đặc biệt một trong những khó khăn của học sinh khi 
tính thể tích của khối chóp là hình dung đường cao của hình chóp. Không ít học 
sinh gặp khó khăn khi gặp bài toán tính thể tích của khối chóp do đó khi gặp 
những bài toán này các em thường bỏ qua thậm chí không cần đọc đề dù nó có 
đơn giản đến mấy. Vì vậy học sinh còn lúng túng, xa lạ, khó hiểu... Nên chưa 
kích thích được nhu cầu học tập của học sinh. Để các em tiếp thu bài một cách 
có hiệu quả tôi xin đưa ra một vài phương pháp rèn luyện tư duy phân tích bài 
toán thể tích cơ bản.
2.3. Lý thuyết cơ sở
Một số công thức có liên quan(1)
1. Hệ thức lượng trong tam giác
 a) Cho ABC vuông tại A, có đường cao AH.
 1 1 1
 AB2 AC2 BC2 AB2 BC.BH, AC2 BC.CH 
 AH 2 AB2 AC 2
 AB BC.sinµC BC.cosµB AC.tanµC AC.cotµB 
 b) Cho ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài các trung tuyến là m a, mb, 
 mc; bán kính đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa 
 chu vi p. 
 Định lí hàm số cosin: 
 a2=b2 c2 –2bc.cosµA; b2 c2 a2 2ca.cosµB; c2 a2 b2 2ab.cosµC
 4 - Nghiên cứu đề tài 
 - Xây dựng đề cương và lập kế hoạch
 - Tiến hành nghiên cứu
 - Thống kê so sánh
 - Viết đề tài.
 2.4.3. Các bước sáng tạo bài toán tính thể tích mới từ một số bài toán tỉ lệ thể 
 tích cơ bản: 
 Trước tiên ta bắt đầu từ bài toán tỉ lệ thể tích của sách giáo khoa hình học 12 : 
 Bài toán : Cho hình chóp tam giác S.ABC trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt 
 lấy các điểm A , B ,C không trùng với S . Chứng minh rằng 
 V SA .SB .SC 
 SA B C (2)
 VSABC SA.SB.SC
 (Bài 4 trang 25 SGK Hình học 12)
 Bài giải: 
 Gọi H, H lần lượt là hình chiếu vuông góc của C,C trên (SAB)
 S, H, H thẳng hàng và CH / /C H 
 Áp dụng định lý talet trong tam giác SCH
 C H SC 
 Ta có : 
 CH SC
 Mặt khác: S
 1 1
 V C H .S C H .SA .SB .sin A· SB 
 SA B C 3 SA B 6
 1 1 C'
 V CH.S CH.SA.SB.sin A· SB 
 SABC 3 SAB 6 A'
 H'
 VSA B C SA .SB .SC 
 VSABC SA.SB.SC
 C
 B'
 A
 H
 B
Chú ý. 
- Vận dụng linh hoạt phép phân chia và lắp ghép các khối đa diện. Lựa chọn phép 
phân chia hợp lí.
- Bài toán nói trên chỉ áp dụng cho hình tứ diện, hình chóp tam giác. Nên để áp 
dụng cho hình chóp tứ giác hoặc hình chóp khác thì ta phải dùng phép phân chia 
hình.
- Các kết quả:
 6 Mặt khác do tam giác ABC đều nên ta có: 
 1 a2 3
 S AB.AC.Sin 600 
 ABC 2 4
 1 a3 2
 V S .SH (đvtt)
 S.ABC 3 ABC 4
 V SB .SC a2
Áp dụng bài toán cơ bản 2 ta có : S.AB C 
 VS.ABC SB.SC b.c
 abc 2
 V (đvtt) 
 S.ABC 4
 Bài toán 2:
 Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA a, SB b, SC c và 
 ASB 600 , BSC 600 ,CSA 900 . Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC theo a,b,c ?
Hướng dẫn giải:
 Không mất tính tổng quát ta giả sử a b c . Trên các cạnh SB, SC lần lượt 
lấy các điểm B ,C sao cho SA SB SC a . 
Do ASB 600 , BSC 600 AB B C a (do các tam giác SAB , SB C là các tam 
giác đều)
Do CSA 900 nên áp dụng định lý pitago cho tam giác vuông SAC ta được :
 AC SA2 SC 2 a 2
 Xét tam giác AB C có AC 2 AB 2 B C 2 AB C là tam giác vuông tại B .
Gọi H là trung điểm của cạnh AC S
 1 a 2
 B H AH AC 
 2 2
và do tam giác SAC cân tại S
(vì SA SC ) SH  AC (1) C'
 SHA vuông tại H .
 Áp dụng định lý pitago cho tam H
 B'
giác SAH ta có : 
 A C
 a2 a 2
 SH SA2 AH 2 a2 
 2 2
 B
 a2 a2
Xét tam giác SHB có SH 2 HB 2 a2 SB 2
 2 2
 SHB vuông tại H SH  HB (2)
Từ (1) và (2) SH  mp(AB C )
 1
 V SH.S
 S.AB C 3 AB C 
 1 1
 S B C .B A a2 (vì AB C vuông tại B ).
 AB C 2 2
 1 a a2 a3 2
 V (đvtt) 
 S.AB C 3 2 2 12
 8 Do học sinh hay nhầm lẫn giữa tỷ lệ về thể tích khối chóp tam giác với 
khối chóp tứ giác nên trong quá trình giảng dạy ta phải lưu ý cho học sinh bài 
toán tỷ lệ này chỉ được áp dụng được với chóp tam giác vấn đề này sẽ được làm 
rõ trong nội dung sau:
b. Tỉ số thể tích trong các bài toán về khối chóp tứ giác
 Chú ý: Công thức tỉ số thể tích chỉ đúng cho khối chóp tam giác và tứ 
diện. Không áp dụng tương tự được cho khối chóp tứ giác. Do đó, với khối chóp 
tứ giác ta phải phân chia thành các khối chóp tam giác rồi mới áp dụng công 
thức tỉ số thể tích.
Ví dụ 1. 
 Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Một mặt phẳng ( ) qua A, B và trung 
điểm M của cạnh SC . Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia 
bởi mặt phẳng đó.
Hướng dẫn : Do mặt phẳng ( ) qua A, B và trung điểm M nên mp( ) / /CD từ 
M kẻ đường thẳng song song với CD cắt SD tại N ta được N mp( ) .Khi đó 
khối chóp được chia thành hai khối đa diện là S.ABMN và ABCDMN .
Chia khối chóp S.ABMN thành hai khối chóp tam giác là S.AMN và S.ABN
Áp dụng bài toán tỷ lệ thể tích cho khối chóp tam giác ta được :
 VS.ABMN VS.AMN VS.ABM 3 3
 VS.ABMN VS.ABCD
 VS.ABCD VS.ABCD 8 8
 5
 V V
 ABCDNM 8 S.ABCD
 V 3
 S.ABMN 
 VABCDNM 5
Từ cách làm này ta giúp học sinh có thể nhẩm nhanh 
đáp án của bài toán trắc nghiệm khi biết tỷ lệ các cạnh của hình chóp.
Bài tập trắc nghiệm minh họa (3)
Câu1. Cho khối chóp S.ABC có thể tích là V. Gọi B’, C’ lần lượt là trung điểm 
của AB và AC. Thể tích của khối chóp S.AB’C’ sẽ là: 
 1 1 1 1
 A. V B. V C. V D. V 
 2 3 4 6
 10 m m m m
Chứng minh rằng A B C D 1.
 hA hB hC hD
Ví dụ 2. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng 
(P) cắt SA, SB, SC, SD theo thứ tự tại K, L, M, N. Chứng minh rằng
 a) VS.ABC VS.ACD VS.ABD VS.BCD
 SA SC SB SD
 b) .
 SK SM SL SN
Bài tập tương tự: 
Bài 1: Cho tứ diên ABCD. Gọi B' và C' lần lượt là trung điểm của AB và AC. 
Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện AB'C'D và khối tứ diên ABCD. 
 1
ĐS: k 
 4
Bài 2: Cho tứ diên ABCD có thể tích 9m 3 ,trên AB,AC,AD lần lượt lấy các 
điểm B',C',D' sao cho AB = 2AB' ;2AC = 3AD' ;AD = 3AD'. Tính tể tích tứ diện 
AB'C'D'. 
ĐS: V = 2 m3
Bài 3: Cho tứ diên đều ABCD có cạnh a. Lấy các điểm B';C' trên AB và AC sao 
 a 2a
cho AB ;AC' . Tính thể tích tứ diên AB'C'D . 
 2 3
 a3 2
ĐS: V 
 36
Bài 4: Cho tứ diênABCD có thể tích 12 m 3 .Gọi M,P là trung điểm của AB và 
CD và lấy N trên AD sao cho DA = 3NA. Tính thể tích tứ diên BMNP. 
ĐS: V = 1 m3
Bài 5: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a 3 ,đường cao 
SA = a. Mặt phẳng qua A và vuông góc với SB tại H và cắt SC tại K. Tính thể 
tích hình chóp SAHK. 
Bài 6: Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 27m3 .Lấy A'trên SA sao cho SA 
= 3SA'. Mặt phẳng qua A' và song song với đáy hình chóp cắt SB,SC,SD lần 
lượt tại B',C',D' .Tính thể tích hình chóp SA'B'C'D'. 
ĐS: V = 1 m3 
Bài 7: Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 9m3, ABCD là hình bình hành , 
lấy M trên SA sao cho 2SA = 3SM. Mặt phẳng (MBC) cắt SD tại N.Tính thể 
tích khối đa diên ABCDMN . 
 12