Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển tư duy hàm cho học sinh qua các bài toán về phương trình vô tỉ

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
 TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG I
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 PHÁT TRIỂN TƯ DUY HÀM CHO HỌC SINH 
QUA CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
 Người thực hiện: Trần Thanh Minh
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc môn: Toán
 THANH HOÁ, NĂM 2016
 1 TÊN ĐỀ TÀI:
 PHÁT TRIỂN TƯ DUY HÀM CHO HỌC SINH QUA CÁC
 BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
I. MỞ ĐẦU.
1. Lý do chọn đề tài.
 Như chúng ta đã biết, chuyên đề về phương trình chiếm một lượng khá 
lớn trong chương trình toán học phổ thông. Tuy nhiên, trong số các bài tập đó có 
một lượng lớn các bài tập mà ta không thể giải được bằng phương pháp thông 
thường, hoặc có thể giải được nhưng gặp rất nhiều khó khăn và phức tạp.
 Nhưng ta đã biết giữa phương trình và hàm số có mối liên hệ chặt chẻ với 
nhau, khi định nghĩa phương trình người ta đã dựa trên khái niệm hàm số, nên 
nếu chúng ta biết sử dụng kiến thức về hàm số để giải các bài toán về phương 
trình thì chúng ta được những lời giải nhanh gọn và đơn giản hơn rất nhiều. Tuy 
nhiên, không phải bài toán nào cũng có thể sử dụng hàm số để giải, nhưng 
những ứng dụng đạo hàm của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, 
là rất lớn. Chính vì vậy tôi chọn đề tài “ Phát triển tư duy hàm cho học sinh 
qua các bài toán về phương trình vô tỉ” nhằm giúp các em học sinh có thêm 
một phương pháp nữa khi khi giải các bài toán về phương trình vô tỉ .
2. Mục đích yêu cầu.
 - Trang bị cho học sinh thêm một phương pháp giải phương trình vô tỉ 
mang lại hiệu quả cao.
 - Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học 
sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo khi giải toán.
3. Đối tượng nghiên cứu.
 - Các dạng toán về phương trình vô tỉ trong chương trình toán học phổ 
thông.
 - Phân loại các dạng toán thường gặp và phương pháp giải.
4. Phương pháp nghiên cứu.
 Phương pháp chung của dạng bài tập này: Sử dụng các tính chất về tính 
đơn điệu của hàm số để giải.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
1. Các mệnh đề và tính chất thường dùng.
 a) Cho hàm số y f (x) xác định trên khoảng a;b . Nếu hàm số 
 y f (x) đơn điệu trên khoảng a;b thì phương trình f (x) 0 , nếu có nghiệm 
trên khoảng a;b thì nghiệm đó là duy nhất.
 b) Cho hàm số y f (x) đơn điệu trên khoảng a;b ,x1; x2 a;b .
Ta có f (x1) f (x2 ) x1 x2. 
 c) Cho phương trình f (x) g(x) xác định trên khoảng a;b . Nếu một 
trong hai hàm số f (x) hoặc g(x) là hàm đơn điệu trên khoảng a;b , hàm còn 
 3 t 2
Đạo hàm f '(t) 2 t 2 3 0, t R
 t 2 3
Vậy hàm số đồng biến trên D R 
 1
Phương trình (2) f (2x 1) f ( 3x) 2x 1 3x x 
 5
 1
Vậy nghiệm của phương trình (1) là x 
 5
Ví dụ 3. Giải phương trình: x3 3x2 4x 2 3x 2 3x 1 (1)
Giải:
 1
Điều kiện xác định x 
 3
 1 
Tập xác định: D ; 
 3 
 3
(1) (x 1)3 x 1 3x 1 3x 1 (2)
Xét hàm số f (t) t3 t, t R. 
Đạo hàm f '(t) 3t 2 1 0, t R
Vậy hàm số đồng biến trên R
 x 0
Để (2) xảy ra thì f (x 1) f ( 3x 1) x 1 3x 1 
 x 1
 x 0
Vậy nghiệm của phương trình là 
 x 1
Ví dụ 4. Giải phương trình: x 3 5x 2 17x 7 2 x 2 4 2x 2 7
Giải : 
Tập xác định : D R 
Phương trình x 2 3 x 2 2 x 2 2x 2 7 2x 2 7 2x 2 7 2x 2 7
Xét hàm số f (t) t3 t 2 t, t R.
Đạo hàm f '(t) 3t 2 2t 1 0,t R. f (t) là hàm số đồng biến trên R.
Phương trình trên có dạng f x 2 f 2x 2 7 x 2 2x 2 7 
 x 2 x 1
 2 
 x 4x 3 0 x 2
 x 1
Vậy nghiệm của phương trình là .
 x 2
Ví dụ 5. Giải phương trình: 2x3 9x2 6x 1 2 6x 1 2 6x 1 8 0 (1) 
Giải:
 5 Tập xác định: D R 
 3
Phương trình (1) (x 1)3 x 1 3 7x2 9x 4 3 7x2 9x 4 (2)
Xét hàm số f (t) t3 t, t R 
Đạo hàm f '(t) 3t 2 1 0, t R hàm số đồng biến R 
 (2) f x 1 f 3 7x2 9x 4 x 1 3 7x2 9x 4 
 x 5
 3 2 
 x 4x 6x 5 0 1 5
 x 
 2
 x 5
Vậy nghiệm của phương trình là 1 5
 x 
 2
Ví dụ 9:Giải phương trình: x3 15x2 78x 146 10 3 7x 29 (1)
Giải:
Tập xác định: D R 
 3
Phương trình (1) 3 7x 9 10 3 7x 9 x 5 3 10 x 5 (2)
Xét hàm số f (t) t3 t, t R
 Đạo hàm f '(t) 3t 2 1 0, t R hàm số đồng biến R 
 x 8
 3 3 3 2 
 (2) f x 5 f 7x 9 x 5 7x 9 x 15x 68x 96 0 x 4
 x 3
 x 8
Vậy phương trình có nghiệm là x 4
 x 3
Ví dụ 10: Giải phương trình x 5 x 1 1 3 3x 4 (1)
Giải:
Điều kiện xác định x 1
Tập xác định: D  1; 
 3 3
 (1) x 1 1 x 1 1 3 3x 4 3 3x 4 (2) 
Xét hàm số f (t) t3 t, t R
 Đạo hàm f '(t) 3t 2 1 0, t R hàm số đồng biến R 
 (2) f x 1 1 f 3 3x 4 x 1 1 3 3x 4 
 t3 4
Đặt 3 3x 4 t x 
 3
 t 1
 t3 1
 3
 Ta có phương trình: t 1 t 1 2 t 1 
 3 t 1 
 3
 7 Đặt f x x 1 và g x x3 x2 2x 9
Phương trình (1) f (x) g(x). 
 1
Ta có f ' x 0;x 1; g ' x 3x2 2x 1 0;x 1
 2 x 1
Vậy hàm số f x x 1 đồng biến trên D ; hàm số g x x3 x2 2x 9 
nghịch biến trên D . Nên phương trình (1) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy 
nhất.
Ta thấy x 2 là nghiệm của (1)
Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x 2. 
Ví dụ 3. Giải phương trình: 4 4x 8 2x 4 6 (1)
Giải 
Tập xác định: D 2; 
Đặt f (x) 4 4x 8 2x 4
(1) f (x) 6 
Xét hàm số f (x) 4 4x 8 2x 4 trên D 
 1 1
Đạo hàm f '(x) 0; x 2
 3
 4 4x 8 2x 4
Vậy hàm số đồng biến trên D 
Nên phương trình (1) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất, ta thấy x 6 là 
nghiệm của (1)
Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x 6. 
Ví dụ 4: Giải phương trình x 1 x 6 x 2 6 (1)
Giải:
 Tập xác định: D 2; 
Đặt f (x) x 1 x 6 x 2
(1) f (x) 6 
Xét hàm số f (x) x 1 x 6 x 2 trên D 2; 
 1 1 1
Đạo hàm f '(x) 0,x 2
 2 x 1 2 x 6 2 x 2
Vậy f (x) đồng biến trên D 2; . Nên phương trình (1) nếu có nghiệm thì 
nghiệm đó là duy nhất.
Ta thây f (3) 6 . 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 3 .
Ví dụ 5. Giải phương trình : 2x3 3x2 6x 16 4 x 2 3 (1)
 9 3 1
Ta có f ' (x) 5x4 3x2 0,x 
 2 1 3x 3
 1 
Vậy hàm số f (x) đồng biến trên D ; phương trình (1) nếu có nghiệm 
 3 
thì nghiệm đó là duy nhất.
Ta thấy x 1 là nghiệm của phương trình.
Vậy nghiệm của phương trình là x 1. 
Ví dụ 8: Giải phương trình x2 15 3x 2 x2 8 (1)
 Giải:
Tập xác định: D R 
(1) 3x 2 x2 8 x2 15 0 (2)
 2 2
Nếu x 3x 2 0, x2 8 x2 15 0 Vì vậy x đều không là 
 3 3
nghiệm của (2).
 2
Xét x 
 3
Đặt f (x) 3x 2 x2 8 x2 15
Ta có (2) f (x) 0 
 2
Xét hàn số f (x) 3x 2 x2 8 x2 15 , với x 
 3
 ' 1 1 2
 Đạo hàm f (x) 3 x 0,x 
 x2 8 x2 15 3
 2 
 Vậy f (x) đồng biến trên khoảng ; phương trình (2) nếu có nghiệm thì 
 3 
nghiệm đó là duy nhất.
Ta thấy x 1 là nghiệm của phương trình .
Vậy nghiệm của phương trình (1) là x 1. 
Ví dụ 9.Giải phương trình:
 x 2 2x 1 3 x 6 4 x 6 2x 1 3 x 2 (1)
Giải: 
 1
Điều kiện xác định x 
 2
 1 
Tập xác định: D ; 
 2 
(1) 2x 1 3 x 2 x 6 4 (2)
Từ (2) ta thấy để phương trình có nghiệm thì 2x 1 3 0 x 5
 11 4) 27x3 54x2 36x 54 27 3 81x 8 
5) 2x3 10x2 17x 8 2x2.3 5x x3 0
3. Hiệu quả của sáng kiến:
Trong những năm được phân công dạy học sinh khối 12 và đặc biệt là ôn thi đại 
học cũng như ôn thi học sinh giỏi cấp tỉnh, tôi thấy học sinh gặp rất nhiều khó 
khăn khi giải những phương trình vô tỉ phức tạp. Điều đó làm tôi phải suy nghĩ 
và tìm tòi thêm những cách giải khác nữa cho phương trình vô tỉ ngoài các cách 
giải quen thuộc lâu nay. Chính đề tài “ Phát triển tư duy hàm cho học sinh qua 
các bài toán về phương trình vô tỉ” đã thúc đẩy được niềm đam mê và tính 
sáng tạo của học sinh khi giải các phương trình vô tỉ. Để kiểm tra tính hiệu quả 
của sáng kiến, trong năm học 2014-2015 được phân công dạy ở các lớp 12B1, 
12B2 của trường THPT Nông Cống 1-Thanh Hoá, tôi đã dùng sáng kiến này dạy 
trên lớp 12B2 còn lớp 12B1 chỉ dạy các phương pháp quen thuộc đã biết, mặc 
dù về khã năng nhận thức và tiếp thu kiến thức của hai lớp là tương đương nhau. 
Kết quả qua bài kiểm tra thử ở các lớp cụ thể như sau:
 Điểm 8 trở lên Điểm từ 5 đến 8 Điểm dưới 5
 Lớp Sĩ số
 Số lượng Tỷ lệ Số lượng Tỷ lệ Số lượng Tỷ lệ
 12B2 41 20 48,8% 18 43,9% 3 7,3%
 12B1 41 3 7,3% 20 48,8% 18 43,9%
Qua đó tôi thấy đề tài đã mang lại hiệu quả khá cao khi cho học sinh giải các 
phương trình vô tỉ.
III. KẾT LUẬN
- Hàm số có rất nhiều ứng dụng và một trong các ứng dụng đó là sử dụng tính 
đơn điệu của hàm số vào việc giải phương trình vô tỉ mà tôi đã trình bày ở trên. 
- Đề tài đã nêu được phương pháp giải cho các dạng toán về các loại phương 
trình, đồng thời cũng đưa ra được hệ thống bài tập tương đối đầy đủ với các mức 
độ khác nhau.
- Tuy vậy do nhiều nguyên nhân chủ quan cũng như khách quan nên đề tài 
không tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Rất mong nhận được sự góp ý của 
các bạn đồng nghiệp, hội đồng khoa học trường THPT Nông Cống 1, Hội đồng 
khoa học sở GD & ĐT Thanh Hoá để đề tài được hoàn thiện hơn.
 Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 6 tháng 5 năm 2016
 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của 
 mình viết, không sao chép nội dung của 
 người khác.
 (Ký và ghi rõ họ tên)
 Trần Thanh Minh
 13