Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển tư duy cho học sinh lớp 12 qua các bài toán ứng dụng tỉ số thể tích trong hình học không gian

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
 TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 1
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH LỚP 12 
QUA CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH 
 TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
 Người thực hiện: Trịnh Thị Thu Huyền
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN môn: Toán học
 THANH HÓA NĂM 2016 2 sinh tự đặt câu hỏi cho mỗi bài toán có thể tính theo cách làm thông thường 
không, nếu làm được thì cách giải quyết có quá khăn không.Từ đó học sinh tự 
tìm con đường khác để giải quyết bài toán trên cơ sở các yếu tố có thể giải quyết 
đơn giản.Thông qua hệ thống câu hỏi mang tính chất gợi mở vấn đề và đến cách 
giải quyết học, sinh có thể tự tìm cách làm bài toán trên những kiến thức cơ bản 
đã được trang bị. Để học sinh tiếp cận vấn đề tôi chia các dạng bài thành 4 dạng, 
hệ thống ví dụ từ dễ đến khó, trước khi giải mỗi ví dụ có câu hỏi gợi mở phân 
tích để hướng học sinh tới suy nghĩ tìm các giải quyết.Sau các ví dụ có lời giải là 
các bài tập tham khảo để học sinh tự luyện tập.
2 – NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
 2.1. Cơ sở lí luận 
 Để thực hiện đề tài cần dựa trên những kiến thức cơ bản sau:
 Bài toán 1: (Bài 4 sgk HH12CB trang25)
 Cho khối chóp S.ABC, trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy các 
 V SA' SB' SC '
điểm A’, B’, C’ khác điểm S. CMR: S.A' B 'C ' . . (1)
 VS.ABC SA SB SC
 Giải: 
 Gọi H và H’ lần lượt là hình chiếu A
 vuông góc của A và A’ lên (SBC) A'
 Ta có AH//A’H’. Ba điểm S, H, H’ 
 cùng thuộc hai mp (AA’H’H) và (SBC) B'
 B S
 nên chúng thẳng hàng. Xét SAH ta có 
 SA' A'H ' H H'
 (*) C'
 SA AH C
 1
 A'H '.S
 V SB 'C ' A'H ' SB'.SC '.sin B·'SC '
 Do đó : S.A' B 'C ' 3 . (**)
 V 1 AH ·
 S.ABC AH.S SB.SC.sin BSC
 3 SBC
 Từ (*) và (**) ta được đpcm 
Trong công thức (1), đặc biệt hoá, cho B’  B và C’  C ta được
 V SA'
 S.A' B 'C ' (1’)
 VS.ABC SA
 Ta lại có 
 VS.ABC VS.A' BC VA'.ABC
 SA'
 (1') V .V V
 S.ABC SA S.ABC A'.ABC
 V SA' A' A
 A'.ABC 1 
 VS.ABC SA SA
 V A' A
 Vậy: A'.ABC (2)
 VS.ABC SA
 4 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp ụng sáng kiến kinh nghiệm
 Trường THPT Quảng Xương 1 là một ngôi trường dày truyền thống dạy và 
học.Nhiều năm qua trường luôn dẫn đầu trong thành tích học sinh giỏi và xếp 
tốp đầu trong kỳ thi Đại học –Cao đẳng trong tỉnh. Dưới sự lãnh đạo của Ban 
giám hiệu, đội ngũ giáo viên luôn trăn trở tìm tòi, đổi mới phương pháp giảng 
dạy nhằm nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện cho học sinh . Nhà trương 
không chỉ chú trọng truyền thụ tri thức mà còn phát triển tư duy cho học sinh 
thông qua các bài học, làm hành trang vững chắc cho các em bước vào tương 
lai.Tuy nhiên trong các môn học thì hình học không gian vẫn là môn học khó 
đối với đại đa số học sinh đặc biệt là học sinh trung bình và yếu.Khi giải các bài 
toán về hình học không gian,nếu tiến hành theo các bước cơ bản không được thì 
tâm lý học sinh thường nản và bỏ qua. Theo số liệu thống kê trước khi dạy đề 
tài này ở ba lớp tôi trực tiếp giảng dạy năm học 2015-2016 : 12T4,12T5,12C3 
trường THPT Quảng Xương 1, kết quả như sau: 
 Năm học Lớp Sĩ số Số học sinh giải được trước khi thực hiện đề tài
 12T4 48 15
 2015-2016 12T5 42 11
 12C3 44 5
 Đứng trước thực trạng tên tôi nghĩ nên hướng cho các em tới một cách giải 
quyết khác trên cơ sở kiến thức trong SGK. Song song với việc cung cấp tri thức 
tôi chú trọng rèn rũa kỹ năng giải toán,phát triển tư duy cho học sinh để trên cơ 
sở này học sinh không chỉ học tốt phần này mà còn làm nền tảng cho các phần 
kiến thức khác.
 2.3.Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề
 Để tính thể tích của một khối đa diện bất kì chúng ta chia khối đa diện đó 
thành các khối đa diện đã biết công thức tính ( Khối lăng trụ V B.h , Khối chóp 
 1
V B.h , Khối hộp chữ nhật V abc , ) rồi cộng các kết quả lại.
 3
 Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, việc tính thể tính của các khối lăng trụ 
và khối chóp theo công thức trên lại gặp khó khăn do không xác định được 
đường cao hay diện tích đáy, học sinh tự đặt câu hỏi các đỉnh trong hình đa diện 
cần tính có xác định được không (tính theo tỉ lệ độ dài so với các cạnh đã biết) 
do đó có thể chuyển việc tính thể tích các khối này về việc tính thể tích của các 
khối đã biết thông qua tỉ số thể tích của hai khối.
 Sau đây ta sẽ xét một số dạng toán ứng dụng tỉ số thể tích, mỗi dạng tôi đưa 
ra một số bài toán cơ bản và ví dụ minh hoạ, trên cơ sở lý thuyết đã có hướng 
dẫn học sinh tự đặt câu hỏi và lựa chọn cách giải đúng và ngắn gọn nhất.
DẠNG 1: TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN
*Mục đích của dạng này giúp học sinh tìm được tỉ lệ thể tích của khối đa diện 
 cần tính với thể tích của khối đa diện đã biết thể tích.
 6 Tam giác SAD vuông tại A nên
 SA2 2a
 SD SA2 AD 2 2a 2 AD ' .SD SA2 SD ' 
 SB 2
 V ' ' ' V ' ' V ' '
 Ta có S.AB C D S.AB C S.AC D
 ' '
 V ' ' V ' '
 S.AB C SA SB SC 4 4 16 1 S.AB C 8
 Mặt khác . . . mà VS.ABC VS.ABCD 
 VS.ABC SA SB SC 5 9 45 2 VS.ABCD 45
 ' '
 V ' ' V ' '
 S.AC D SA SD SC 1 4 2 1 S.AC D 1
 . . . mà VS.ACD VS.ABCD 
 VS.ACD SA SD SC 2 9 9 2 VS.ABCD 9
 V ' ' ' 1 8 13
 Vậy S.AB C D 
 VS.ABCD 9 45 45
 Ví dụ 3: 
 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình 
bình hành. Gọi B’, D’ lần lượt là trung điểm của SB S
và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính tỉ số 
thể tích của hai khối chóp được chia bởi 
 C ' D'
mp(AB’D’) B'
 I
 Giải: O '
 Gọi O là giao điểm của AC và BD và I là giao D
 A
điểm của SO và B’D’. Khi đó AI cắt SC tại C’ O
Ta có B C
 V SB' SC ' 1 SC '
 S.AB 'C ' . ; 
 VS.ABC SB SC 2 SC
 V SC ' SD' 1 SC '
 S.AC ' D ' . 
 VS.ACD SC SD 2 SC
 1 SC ' 1 SC '
Suy ra V V . (V V ) . .V
 S.AB 'C ' S.AC ' D ' 2 SC S.ABC S.ACD 2 SC S.ABCD
 Kẻ OO’//AC’ ( O' SC) . Do tính chất các đương thẳng song song cách đều 
nên ta có SC’ = C’O’ = O’C
 1 1 VS.A' B 'C ' D ' 1
 Do đó VS.A' B 'C ' D ' . .VS.ABCD hay 
 2 3 VS.ABCD 6
 Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A' B 'C ' .Gọi M là trung điểm của 
 CC ' ,I là giao điểm của B ' M và BC ' .Tính tỉ số thể tích của tứ diện A ’ABI và thể 
tích khối lăng trụ ABC.A' B 'C ' .
 *Câu hỏi gợi mở: 
 -Vị trí điểm I có gì đặc biệt.Có thể xác định vị trí của nó so với các điểm đã 
biết không?
 8 Giải:
 V DM DN
 Ta có DAMN .
 VDABC DB DC
 AM và AN lần lượt là các đường cao trong các tam giác vuông DAB và 
DAC bằng nhau nên ta có : _D
 DM DA2 4a2 DM 4
 2 2 4 
 MB AB a DB 5 _N
 DN 4 _2a
 Tương tự 
 DC 5
 4 4 16 _M _a
 Do đó VD.AMN = . .VD.ABC = .VD.ABC. 
 5 5 25 _A _C
 9 _a _a
 Suy ra VA.BCMN = .VD.ABC 
 25
 _B
 1 a2 3 a3 3
 Mà VD.ABC = .2a. . 
 3 4 6
 3a3 3
 Vậy VA.BCMN = 
 50
 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có, SA  (ABCD) , SA 2a ; đáy ABCD là 
 
hình thoi cạnh a, BAD 1200 .Gọi I là trung điểm của SC.Mặt phẳng đi qua AI và 
song song với BD cắt SB, SC, SD lần lượt tại M,N,P. Tính thể tích hình chóp 
S.MNPI
 *Câu hỏi gợi mở:
 -Dựng các điểm M,N,P theo giả thiết bài toán sử dụng quan hệ song song
 -Ta có thể dựng đường cao SH của khối chóp S.AMNP không?(Ta có thể 
dựng được vì có MP//BD mà BD  AC BD  SC MP  SA, MP  SI. ;kẻ
 SH  AI SH  (AMNI)
 -Ta có thể tính SH và diện tích tứ giác AMNI không?(Có thể nhưng tính 
toán khá pức tạp)
 -Nhận thấy các điểm M,N,P,I nằm trên các cạnh bên của hình chóp và có 
thể xác định được tỉ lệ chia các đoạn thẳng đó.Vậy ta có thể giả quyết bài toán 
này theo cách dùng tỉ lệ để đơn giản bài toán.
 Giải: S
 Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ đường thẳng 
đi qua A và song song với BD cắt BC và CD 
 N F
lần lượt tại E và F.Ta có I
 IM  SD N , IF  SB N
 H D
Vì N là trọng tâm tam giác SCD và M là M A
 SM SN 2
trọng tâm tam giác SCE nên 
 SB SD 3
 E B C
Khi đó VSAMNI VS.AMI VSANI 
 10 đoạn thẳng AC sao cho AH = AC . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. 
 4
Chứng minh rằng M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC 
theo a.
*Câu hỏi gợi mở: 
 -Dựa vào giả thiết ta có thể tính diện tích hình chóp S.MBC không ?
 -Xác định đường cao SK của hình chóp S.MBC dùng kỹ thuật xác định chân 
đường vuông góc của S lên (MBC) và tính diện tích tam giác MBC khó khăn(có 
thể tính độ dài 3 cạnh và sử dụng công thức Hê-rông ) vì không có sẵn yếu tố 
vuông góc
-Vì vậy nên dùng tỉ số thể tích để tính thể tích khối chóp S.MBC thông qua thể 
tích khối chóp S.ABCD để có cách giải đơn giản hơn nhiều. 
 Giải:
 Từ giả thiết ta tính được .
 a 2 a 14 3a 2
 AH ;SH ; CH 
 4 4 4
 SC a 2 SC AC
 Do đó tam giác SAC cân tại C nên M 
là trung điểm của SA.
 VS.MBC SM 1 1
Ta có VS.MBC VS.ABC
 VS.ABC SA 2 2
 1 1 a2 a 14 a3 14
V .SH.S . . 
 S.ABC 3 ABC 6 2 4 48
 Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có góc giữa đường thẳng A'C 
 
và mặt phẳng (ABC) bằng 600, AB a ; AC 2a và BAC 1200 . Gọi M là trung 
điểm của CC ' ,I là giao điểm của B ' M và BC ' .Tính thể tích của tứ diện A’ABI. 
*Câu hỏi gợi mở: Tứ diện A ’ABI có xác định trục tiếp đường cao và diện tíc 
đáy không?
 -Câu trả lời là rất khó khăn đặc biệt là trong hình lăng trụ 
 -Quan sát và tìm xem vị trí điểm I có gì đặc biệt.Có thể xác định vị trí của 
nó so với các điểm đã biết không?
 -Tứ diện A’ABI đưa về hình chóp tam giác với đỉnh nào cho phù hợp?
 -Mối quan hệ giữa mặt đáy với các mặt của hình lăng trụ?Thiết lập mối 
quan hệ với thể tích của tứ diện với thể tích của các khối chóp có thể tính theo tỉ 
lệ trong các bài cơ bản.
Giải:
 Hình chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABC) là A nên
 
 (A'C,(ABC) (A'C, AC) A'CA 600 .Do đó
 A' A AC.tan 600 2a 3
 12