Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển năng lực biểu diễn toán học cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học luyện tập sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

 Danh mục chữ cái viết tắt, ký hiệu 
TT Viết tắt Ý nghĩa 
 1 BDTH Biểu diễn toán học 
 2 GQVĐ Giải quyết vấn đề 
 3 GV Giáo viên 
 4 HS Học sinh 
 5 NL Năng lực 
 6 NNTN Ngôn ngữ tự nhiên 
 7 NNTH Ngôn ngữ toán học 
 8 PPDH Phương pháp dạy học 
 9 SBT Sách bài tập 
 10 SGK Sách giáo khoa 
 11 SGV Sách giáo viên 
 12 THPT Trung học phổ thông 
 13 Tương đương (Khi và chỉ khi) 
 14 Suy ra 
 15  Với mọi 
 1 Phần I. Đặt vấn đề 
1.1. Lí do chọn đề tài 
 Công cuộc đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo đòi hỏi giáo dục 
phổ thông phải có “chuyển biến căn bản, toàn diện về chất lượng và hiệu quả; 
góp phần chuyển nền giáo dục nặng về truyền thụ kiến thức sang nền giáo dục 
phát triển toàn diện cả về phẩm chất lẫn năng lực”. Đặc điểm cơ bản của giáo 
dục định hướng nội dung là chú trọng việc truyền thụ hệ thống tri thức khoa học 
đã được quy định trong chương trình dạy học. Người ta chú trọng việc trang bị 
cho học sinh (HS) hệ thống tri thức khoa học khách quan về nhiều lĩnh vực khác 
nhau. Tuy nhiên chương trình giáo dục định hướng nội dung chưa chú trọng đầy 
đủ đến chủ thể người học cũng như đến khả năng ứng dụng tri thức đã học trong 
những tình huống thực tiễn. Mục tiêu dạy học trong chương trình định hướng 
nội dung được đưa ra một cách chung chung, không chi tiết và không nhất thiết 
phải quan sát, đánh giá được một cách cụ thể nên không đảm bảo rõ ràng về việc 
đạt được chất lượng dạy học theo mục tiêu đã đề ra. 
 Môn Toán là môn học không chỉ trang bị cho HS những tri thức toán học 
chính xác mà còn “hình thành ở HS những phương pháp suy nghĩ và làm việc 
của khoa học toán học”. Hơn nữa, “một trong những tư tưởng cơ bản của văn 
hóa toán học trong nhà trường là: toán học dành cho mọi người hay toán học 
dành cho mỗi người, chứ không phải toán học chỉ dành riêng cho một số người”. 
Trong chương trình Trung học phổ thông (THPT), môn toán tiếp tục tiếp nối 
chương trình Trung học cơ sở, cung cấp vốn văn hoá toán phổ thông một cách 
có hệ thống và tương đối hoàn chỉnh bao gồm kiến thức, kỹ năng và phương 
pháp tư duy. 
 Quan điểm dạy học (DH) hình thành năng lực toán học cho HS thông qua 
hoạt động và bằng hoạt động học tập đã được nhiều nhà giáo dục toán học khẳng 
định. Việc đổi mới phương pháp dạy học (PPDH) theo định hướng lấy HS làm 
trung tâm đã được triển khai thực hiện ở các nhà trường. Tuy nhiên, có thể nói 
cho đến nay, “không có nhiều bằng chứng cho thấy có sự thay đổi đáng kể trong 
PPDH” [4]. Trong các lớp học, mặc dù đã có cải tiến đôi chút về biện pháp, kĩ 
thuật DH và phương tiện DH nhưng vẫn chưa thay đổi bản chất của DH lấy giáo 
viên (GV) làm trung tâm [4]. Thông qua khảo sát phiếu hỏi, dự các giờ dạy thực 
tập, thao giảng, thi giáo viên dạy giỏi cấp trường môn toán ở THPT, và nghiên 
cứu vở ghi, bài kiểm tra môn toán, cho thấy: i) Nhiều GV chưa chịu khó đổi mới 
PPDH; chưa sáng tạo, mạnh dạn thiết kế các hoạt động học tập mang lại hiệu 
quả để tổ chức cho HS tham gia các hoạt động học tập nói chung và tham gia 
các hoạt động biểu diễn toán học (BDTH) của cùng một khái niệm toán học nói 
riêng. ii) một số bộ phận giáo viên và học sinh hài lòng với cách làm như sách 
hướng dẫn, mà ở đó, thường quá tập trung vào các phép suy luận logic; ít quan 
tâm đến việc định hướng cho học sinh tìm tòi lời giải bài toán một cách có hệ 
thống; việc tổ chức các hoạt động nghiên cứu sâu lời giải không chú trọng dẫn 
 3 1.3. Đối tượng nghiên cứu 
 Sự cần thiết của phát triển năng lực biểu diễn toán học trong dạy học bộ 
môn Toán ở trường THPT. 
 Một số năng lực chung cốt lõi mà môn Toán tiềm ẩn cơ hội hình thành và 
phát triển cho học sinh. 
 Một số biện pháp góp phần phát triển năng lực biểu diễn toán học ở trường 
Trung học phổ thông hiện nay. 
 Nghiên cứu cách thức tiếp cận, dấu hiệu nhận biết các biểu diễn toán học 
của khái niệm đồng biến và nghịch biến của hàm số. 
 Thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi và hiệu quả của việc “Phát 
triển năng lực biểu diễn toán học cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học 
luyện tập sự đồng biến, nghịch biến của hàm số”. 
1.4. Phương pháp nghiên cứu. 
1.4.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận. 
 Tìm hiểu SGK, SBT, SGV giải tích lớp 12 chương trình cơ bản, chương 
trình nâng cao; nghiên cứu tài liệu về các vấn đề liên quan đến đề tài của sáng 
kiến kinh nghiệm. 
 Nghiên cứu đổi mới đồng bộ PPDH, KTĐG trong giáo dục THPT theo 
định hướng tiếp cận năng lực. Tài liệu thực hành giới thiệu PISA và các dạng 
câu hỏi được OECD phát hành. 
1.4.2. Phương pháp điều tra - quan sát. 
 Nghiên cứu thực trạng dạy và học Giải tích lớp 12 chương trình chuẩn tại 
trường THPT qua các hình thức: quan sát, sử dụng câu hỏi, phỏng vấn trực tiếp 
GV, HS ở trường THPT. 
1.4.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm. 
 Tổ chức dạy thực nghiệm, làm bài kiểm tra tại trường THPT để xem xét 
tính khả thi và hiệu quả của các nội dung nghiên cứu đã được đề xuất. 
 5 Quan niệm về năng lực biểu diễn toán học 
 Theo OECD, biểu diễn là năng lực cơ bản và rất quan trọng cho hiểu biết 
toán học. Theo đó, năng lực BDTH là khả năng sử dụng và thao tác thành thạo 
nhiều loại biểu diễn khác nhau cho các đối tượng và tình huống toán học. Các 
biểu diễn bao gồm: đồ thị, bảng biểu, biểu đồ, hình ảnh, sơ đồ, văn bản cũng 
như các biểu diễn đại số và biểu diễn kí hiệu toán học khác. Trung tâm của năng 
lực này là khả năng hiểu và sử dụng mối quan hệ giữa các biểu diễn khác nhau 
[4]. Như vậy, BDTH (với nghĩa năng lực) được nhắc đến là khả năng biểu diễn 
bằng kí hiệu, đồ thị, bảng biểu, biểu đồ, hình ảnh, sơ đồ và kể cả văn bản. Vận 
dụng các kết quả nghiên cứu về BDTH nói trên, xem xét năng lực BDTH là một 
dạng thức của năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học, có sự tương giao với năng 
lực giao tiếp toán học, chúng tôi quan niệm rằng: năng lực BDTH là khả năng 
hiểu, sử dụng, lựa chọn, tạo ra và chuyển đổi các BDTH để suy nghĩ, ghi nhớ, 
mô tả, giải thích, lập luận, kết nối và trao đổi các ý tưởng trong giải quyết các 
vấn đề toán học. Rõ ràng, các biểu diễn toán là các mô hình nhận thức mà người 
dạy và người học có thể khai thác, tận dụng một cách hiệu quả để thúc đẩy việc 
hiểu biết toán và khám phá toán học. 
 Nhiều nghiên cứu cho thấy, kĩ năng BDTH của HS là chìa khóa dẫn đến 
thành công trong giải quyết vấn đề. Việc học tập của HS cần luôn hướng đến 
việc hình thành kết nối giữa các loại biểu diễn khác nhau như: vật liệu, tranh 
ảnh, các biểu tượng, các kí hiệu, hình vẽ, sơ đồ, biểu, bảng,...; biểu diễn bằng lời 
nói và bằng hình ảnh; biểu diễn bên trong và biểu diễn bên ngoài. 
2.1.1.3. Các biểu hiện đặc trưng của năng lực BDTH 
 Khung đánh giá lớp học toán xác định năng lực BDTH bao gồm: (1). Giải 
mã, giải thích và phân biệt giữa các dạng biểu diễn khác nhau của các đối tượng 
và tình huống toán học, mối tương quan giữa các cách biểu diễn khác nhau; (2). 
Lựa chọn và chuyển đổi giữa các dạng biểu diễn khác nhau tùy theo tình huống 
và mục đích [16]. Các quan niệm trên đều tập trung vào khả năng hiểu và sử 
dụng BDTH của HS trong học tập toán. GV cần phải biết tạo ra và hướng dẫn 
HS tạo ra các sơ đồ, mô hình, biểu đồ,... cần thiết cho việc tư duy, ghi nhớ trong 
học tập. Trên cơ sở đó, chúng tôi xác định 3 thành tố và các biểu hiện đặc trưng 
của năng lực BDTH bao gồm: 
 Thành tố Biểu hiện đặc trưng 
1. Hiểu và sử dụng hiệu quả các BDTH 1.1. Phân biệt, hiểu đúng nội dung của 
để suy nghĩ, ghi nhớ hay trình bày nội các đối tượng và quan hệ toán học 
dung toán học trong các BDTH. 
 1.2. Sử dụng được hệ thống BDTH để 
 suy nghĩ, ghi nhớ hay trình bày nội 
 dung toán học. 
 7 Mức độ 5: Vận dụng linh hoạt, sáng tạo các BDTH trong phân tích, tổng hợp, 
suy luận, khái quát hóa và chứng minh toán học. Sử dụng và tạo ra các BDTH 
phù hợp để mô hình hóa trong giải quyết các vấn đề toán học gắn với bối cảnh 
cụ thể. 
2.1.2. Vai trò của biểu diễn toán học trong dạy học bộ môn toán 
 Trong dạy học toán, BDTH vừa hỗ trợ phát triển khả năng suy luận, nhận 
thức toán học vừa là phương tiện để trao đổi thông tin về nội dung toán học mà nó 
làm đại diện. Trong thực tế, vì bản chất trừu tượng của toán học, mọi người có thể 
tiếp cận đến ý tưởng toán học thông qua các đại diện của chúng. Từ quan điểm 
của ngôn ngữ toán học, có thể thấy năng lực BDTH có sự gắn kết chặt chẽ với 
khả năng giải mã, tạo mã, chọn mã và chuyển mã bằng ngôn ngữ toán học, ngôn 
ngữ biểu tượng, ngôn ngữ hình thức và mối quan hệ của chúng với ngôn ngữ tự 
nhiên. 
 Trong dạy học toán, việc thiết lập được nhiều BDTH khác nhau cho cùng 
một khái niệm có tác dụng thúc đẩy việc hiểu khái niệm toán của HS một cách 
chắc chắn. HS có thể chứng tỏ việc hiểu sâu sắc một khái niệm bằng cách chuyển 
từ biểu diễn này sang kiểu biểu diễn khác của cùng khái niệm đó [14],[17]. 
 Biểu diễn toán học còn là những cách cụ thể hóa khác nhau cho một khái 
niệm, được sử dụng để giảm bớt độ khó và làm cho toán học hấp dẫn, thú vị hơn. 
HS sử dụng biểu diễn để hỗ trợ giải quyết vấn đề toán học hoặc học các khái niệm 
mới. Bởi vậy, biểu diễn là một phần không thể tách rời trong quá trình nhận thức 
toán học của HS 
 Không chỉ sử dụng các BDTH, HS cần có khả năng tạo ra các biểu diễn cho 
riêng mình (biểu diễn không theo qui ước), điều này tiềm ẩn một nội lực sáng tạo 
mạnh mẽ, một sự linh hoạt về ngôn ngữ, khả năng hiểu biết toán học vượt trội 
trongcác tìn h huống học tập, đặc biệt khi toán học được đặt trong những bối cảnh 
cụ thể. 
 Niss Mogens khẳng định mỗi năng 
lực dựa trên những kiến thức và kỹ năng cụ 
thể để thực hiện một loại hoạt động toán 
học và mô tả mối quan hệ này bằng hình 
ảnh “Bông hoa năng lực” (hình bên). Theo 
đó, Niss Mogens xác định năng lực BDTH 
thuộc cụm năng lực sử dụng ngôn ngữ và 
các công cụ toán học (the ability to deal 
with mathematical language and tools) 
[16]. Nói cách khác, BDTH liên quan đến 
sự hiểu biết, sử dụng ngôn ngữ và công cụ 
toán học để giải quyết các bài toán của 
cùng một khái niệm. 
 9 trong hoạt động và bằng hoạt động”. Đó vừa là mục tiêu, vừa là cách thức để bồi 
dưỡng năng lực BDTH và GTTH. Trong quá trình học tập môn toán, HS thực 
hiện 5 dạng hoạt động học tập chủ yếu: Nhận dạng và thể hiện; Những hoạt 
động toán học phức hợp; Những hoạt động trí tuệ phổ biến; Những hoạt động trí 
tuệ chung; những hoạt động ngôn ngữ [8], [10], [11]. Để thực hiện hiệu quả các 
hoạt động học tập nêu trên, không thể không có các hoạt động BDTH với vai trò 
vừa là phương tiện vừa là hoạt động thành phần quan trọng của các hoạt động 
học tập nói trên. 
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 
2.2.1. Các vấn đề trong chương trình giáo dục phổ thông 
2.2.1.1. Nội dung chương trình toán học THPT 
 Các bài tập liên quan đến xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trong 
sách giáo khoa, sách bài tập Giải tích 12 mới chỉ đề cập tới một số dạng bài tập 
như: xét tính đồng biến của các hàm số cho bởi công thức cụ thể; ứng dụng tính 
đồng biến nghịch biến để chứng minh bất đẳng thức, bất phương trình. Hệ thống 
bài tập xét tính đơn điệu của hàm số biểu diễn bằng đồ thị của hàm số y= f( x) 
; đồ thị của hàm số y= f ( x); bảng xét dấu của đạo hàm fx ( ) ; bẳng biến thiên 
của hàm số , ... Đặc biệt, các bài toán nâng cao từ các dạng toán nêu 
trên xuất hiện rất nhiều trong kỳ thi THPT QG vài năm trở lại đây hầu như 
SGK, SBT không đề cập đến. 
 Đổi mới kiểm tra, đánh giá trong dạy học, đặc biệt là kỳ thi THPT QG đã 
góp phần không nhỏ cho công cuộc đổi mới căn bản, toàn diện trong giáo dục và 
đào tạo của nước nhà. Song, vẫn còn một bộ phận giáo viên chưa thật sự thay 
đổi; chưa chịu khó đổi mới hình thức dạy học, kiểm tra đánh giá; chưa ứng dụng 
công nghệ thông tin để bắt kịp với công cuộc đổi mới căn bản, toàn diện. Do đó, 
học sinh khó có cơ hội để được tìm tòi, khám phá, giải quyết các bài toán của 
cùng khái niệm bằng các BDTH khác nhau; dẫn đến hạn chế các hoạt động tư 
duy, khả năng giao tiếp và hoạt động sử dụng NNTH đối với học sinh. 
2.1.1.2. Thời lượng dạy học 
 Thời lượng chính khóa dành cho môn toán gần như chỉ đủ để giải quyết các 
bài toán cơ bản của sách giáo khoa. 
 Thời gian ngoài giờ chính khóa thì giáo viên chưa quan tâm, đầu tư thời 
gian; chưa mạnh dạn tổ chức dạy học theo chủ đề. 
2.2.1.3. Cơ sở vật chất, thiết bị dạy học 
 Cơ sở vật chất phục vụ cho việc dạy và học khá đầy đủ. Song, việc ứng 
dụng CNTT còn nhiều hạn chế. SGK viết các dạng bài toán trên còn ít, các tài 
liệu hướng dẫn cách tiếp cận các bài toán trên một cách khoa học chưa nhiều. 
2.2.2. Các vấn đề về phong cách học tập của người học 
 11