Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển hệ phương trình từ các bài toán cơ bản giúp học sinh THPT rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
 TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHÁT TRIỂN HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỪ CÁC BÀI TOÁN 
CƠ BẢN GIÚP HỌC SINH THPT RÈN LUYỆN KỸ NĂNG 
 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
 Người thực hiện: Lưu Thị Minh
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc môn: Toán
 THANH HÓA NĂM 2016 
 2. NỘI DUNG
2.1. CƠ SỞ LÝ LUẬN
 - Xuất phát từ một hệ, một phương trình đã biết thuật giải, một hàm số 
chúng ta thay thế hình thức của các biến có mặt trong hệ hoặc kết hợp với một 
phương trình giải được và biến đổi rút gọn ta thu được một hệ có hình thức hoàn 
toàn xa lạ với hệ ban đầu.
 2.2. THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
 2.2.1. Thuận lợi:
 - Bản thân tôi luôn nhiệt tình, tâm huyết, luôn chịu khó tìm tòi, sáng tạo, tự 
học và tự nghiên cứu. 
 - Có một bộ phận nhỏ các học sinh đặc biệt là học sinh lớp chọn có tố chất, 
tư duy, khả năng sáng tạo, nhiệt tình và luôn mong muốn tìm hiểu khám phá những 
vấn đề mới của toán học.
 2.2.2. Khó khăn:
 - Đặc thù môn Toán là rất trừu tượng nên học sinh có phần e ngại khi học 
môn Toán chứ chưa nói gì đến việc tìm tòi, sáng tạo, tự nghiên cứu về toán.
 2.2.3. Thực trạng của đề tài
 - Trong giảng dạy nếu đơn thuần chỉ truyền thụ kiến thức cơ bản mà quyên 
đi hoạt động tìm tòi, sáng tạo, nghiên cứu thì bản thân người giáo viên sẽ bị mai 
một kiến thức và học sinh cũng bị hạn chế khả năng suy luận, tư duy sáng tạo.
 - Một số học sinh mang khuynh hướng học đối phó để thi nên không muốn 
hiểu sâu, hiểu rộng một vấn đề nào đó của toán học.
2.3. PHÁT TRIỂN HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỪ CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN.
2.3.1. Xuất phát từ một hệ đã biết thuật giải, chúng ta thay thế hình thức của các 
biến có mặt trong hệ và biến đổi rút gọn ta thu được một hệ có hình thức hoàn 
toàn xa lạ với hệ ban đầu.
Từ một hệ đối xứng loại 1 đã biết cách giải sau: 
 a b 3 1 y2
Ví dụ 1: hệ Thay thế a ,b x 2y 2 
 ab 2 x
 2
 1 y 2
 x 2y 2 3 1 y x x 2y 5x
 x 
Ta có 2 Biến đổi hệ ta được hệ 
 1 y 1 y2 x 2y 2 2x
 x 2y 2 2 
 x
 2 2
 x y 1 5x 2xy
 2 2 
 xy 2y y y 1 x 2
 2 
 2 2
 2 2 x y xy 3
5)Thay a x 2xy, b y xy vào hệ (I) ta được hệ (5) 
 xy x 2y y x 2
 a b 3 x x x y 3
Ví dụ 2: Từ hệ 2 2 Thay a = x, b = x(x+y) ta có hệ: 2 2 2
 a b 5 x x x y 5
Với x 0 chia cả hai vế của phương trình thứ hai cho x2 ta được hệ: 
 x x y 1 3 0
 2 5 . Từ đó ta có bài toán sau:
 x y 2 1 0 
 x
 x x y 1 3 0 1 
Bài toán 2: Giải hệ phương trình sau: 5 (x, y R)
 x y 2 1 0 2 
 x2
 ( Đề thi đại học năm 2009-khối D).
Lời giải: ĐK: x 0
Đi ngược lại quy trình tìm ra bài toán hoặc có thể giải theo cách sau:
 3
 x y 1 0 a x y
 x a 3b 1 0
Hệ Đặt 1 Hệ trở thành: 
 2 5 b a2 5b2 1 0
 x y 1 0 x 
 x2
 1
 a 3b 1 a 2 a 
  2
 2 1
 4b 6b 2 0 b 1 b 
 2
 a 2 x y 2 x 1
Với 
 b 1 x 1 y 1
 1
 a x 2
 2 2x 2y 1 
Với 3 
 1 x 2 y 
 b 2
 2
 3 
Vậy hệ có 2 nghiệm 1;1 , 2; .
 2 
 a b 3
Nhận xét: Thay hệ xuất phát (I) bằng hệ xuất phát (II) 2 2 và làm tương tự 
 a b 5
như trên ta lại thu được các hệ mới khác. Chẳng hạn:
 4 
 1
 x y 1 0
 2x y
Bài toán 4: Giải hệ phương trình: 
 1
 2x y 2
 x y 1
Phân tích: 
Hai pt của hệ đều có phần chung là x y, 2x y
 x y 1 1
Lời giải: ĐK: Đặt a x y 1,b ;b 0
 2x y 0 2x y
 1 1
 2 ab 1 a 1 x 1
Hệ trở thành a b 
 a b 2 b 1 y 1
 a b 2 
Vậy hệ có 1 nghiệm duy nhất (x;y) = (1;-1).
 1 
 (x y) 1 5
 xy 
Bài toán 5 : Giải hệ phương trình: 
 1 
 (x 2 y 2 ) 1 49
 2 2 
 x y 
Phân tích: Trước hết ta thấy hệ này có dạng quen thuộc là hệ đối xứng loại 1, tuy 
nhiên nếu đặt ẩn phụ theo tổng và tích như cách thông thường ta sẽ gặp một hệ khó, 
phức tạp và không có nghiệm đẹp. Nhưng sau khi đặt điều kiện và khai triển ra ta 
được 
 1 1 1
 x y 5 x a
 y x x a b 5
 , và nếu đặt thì ta được 
 1 1 1 2 2
 2 2 y b a b 53.
 x 2 y 2 49
 y x y
Đến đây ta có một hệ quen thuộc.
 5
 x2 y x3 y xy2 xy 
 4
Bài toán 6: Giải hệ phương trình: 
 5
 x4 y2 xy(1 2x) 
 4
 ( Đề thi đại học khối A năm 2008)
 5
 x2 y xy(x2 y) xy 
 4
Lời giải: Hệ đã cho tương đương với .
 5
 (x2 y)2 xy 
 4
 6 
 2x3 y x 1 4x 2
Sau quá trình biến đổi và rút gọn ta được hệ mới sau: 
 2 6 4
 y 4x 5x
Ta được bài toán sau:
 2x3 y x 1 4x 2 1 
Bài toán 8. Giải hệ phương trình sau: 
 4 6 2
 5x 4x y 2 
Lời giải: 
Cách 1: Đi ngược lại quá trình tìm ra bài toán.
Ngoài ra dựa vào dấu hiệu pt(1) là bậc nhất đối với một ẩn y, vì vậy ta có thể rút y 
từ pt(1) thế vào pt(2).
Cách 2: Nếu x= -1 thay vào (1) không thỏa mãn.
 2x2 2 x 
Giả sử x 1.Từ (1) suy ra : y 
 x 1
Thay vào (2), ta được: 
 4 2
 4 2 4x 2 x x 0
 x 5 4x 2 2 2 2
 x 1 5 - 4x x 2x 1 4 4 4x x 
 x 0 x 0
 4 3 2 2
 4x 8x 3x 26x 11 0 x -1 2x 1 2x 7x 11 0
 1 1 1 
Hay x 0;1; . Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm 0;0 , 1;1 ; . 
 2 2 2 
Với dấu hiệu trên ta có thể giải được khá nhiều hệ phức tạp.
 x3 3xy2 49 (1)
Bài toán 9 : Giải hệ phương trình: 
 2 2
 x 8xy y 8y 17x (2)
 ( Đề thi HSG Quốc gia 2004 )
Nhận xét : Với hệ này, cả hai ẩn và ở hai phương trình đều khó có thể rút ẩn này 
theo ẩn kia. Tuy nhiên, nếu rút y2 từ (2) và thế vào (1) thì ta được một phương 
trình mà ẩn y chỉ có bậc 1: 
 x3 3x( x2 8xy 8y 17x) 49 24xy(x 1) 2x3 2x2 49x2 49 (3)
-Nếu x=0 thì (1) vô lí.
-Nếu x=-1 thì hệ trở thành y2 16 y 4.
 2x2 49x 49
-Nếu x 1& x 0 thì từ (3) suy ra y . 
 24x
Thế trở lại phương trình (2) ta được : 
 8 
Thay vào (2) ta được: 2 y 3 2 y 2 4 y 3 y 0
 2 y 1 x 2
 3y 9y 6 0 
 y 2 x 1
Nghiệm của hệ là (x;y) = (1;-2) và (x;y) = (2;-1).
Ví dụ 6: Xuất phát từ biến đổi tương đương sau: 
 x 2 4 y 4 4 x4 8x3 24x2 32x y4 16y3 96y2 256y 240 
Ta nhận thấy khi (x;y) = (-4;-2) thì (1) đúng. 
Với (x;y) = (-4;-2) thì x4 y4 240 2 . 
Từ (1), (2) ta được: x3 2y3 3 x2 4y2 4 x 8y 3 .
Từ (2),(3) ta có bài toán sau
 x4 y4 240 (1)
Bài toán 11: Giải hệ phương trình: 
 3 3 2 2
 x 2y 3 x 4y 4 x 8y (2)
 (Đề thi học sinh giỏi QG-2010)
Lời giải: Lời giải bài toán này tương tự bài toán 5 và được thực hiện như sau:
Nhân hai vế phương trình (2) với (-8) Rồi cộng với phương trình (1), ta được:
 x4 y4 8x3 16y2 240 24x2 96y2 32x 256y
 x4 8x3 24x2 32x 16 y4 16y3 96y2 256y 256
 4 4 y x 2
 x 2 y 4 
 y 6 x
Với y=x+2, thay vào pt(1) ta được: x3 3x2 4x 32 0 x 4 y 2
Với y=6-x, thay vào pt(1) ta được: x3 9x2 36x 64 0 x 4 y 2
Vậy hệ đã cho chỉ có 2 nghiệm là (4;2) và (-4;-2).
Nhận xét: Dấu hiệu để đưa về hằng đẳng thức là trong hệ có chứa các hạng tử sau: 
 x2 y2; x3 y3; x4 y4
Ví dụ 7: Xuất phát từ đẳng thức sau: v 5 3 u 3 3 0 biến đổi ta đưa về 
phương trình sau v3 u3 9u2 15v2 98 27u 75v 1 
Ngoài ra ta nhận thấy u = 3 và v = -5 thay vào (1) thỏa mãn
 khi đó v3 u3 98 (2). Từ (1),(2) ta có : 3u2 5v2 9u 25v . (3)
Đặt u = x+y; v = x-y. Thay vào (2),(3) ta được hệ phương trình sau: 
 10