Sáng kiến kinh nghiệm Phát huy năng lực, tư duy sáng tạo của học sinh qua việc giải một số bài toán cực trị trong hình học giải tích Lớp 12 THPT

 I. ĐẶT VẤN ĐỀ.
 Trong chương trình cấp THPT, nói đến môn “ Hình học”, đa phần học 
sinh cảm thấy “ngại” tiếp xúc, đặc biệt là hình học không gian. Yêu cầu người 
học phải có trí tưởng tượng không gian tốt, tư duy logic, chặt chẽ, chính xác. 
Khi học đến chương trình “Hình học giải tích trong không gian” thì các em 
học sinh có phần nào “đỡ sợ” hơn nhưng cũng đòi hỏi phải có trí tưởng tượng, 
suy luận logic. Còn khi gặp các bài toán “cực trị trong hình học giải tích” thì 
các em cảm thấy là một mảng kiến thức khó, nhưng lại có sức hấp dẫn mạnh 
mẽ đối với những người yêu toán học, học khá về môn toán.
 Trước tình hình đó, cùng với thực tế giảng dạy và nghiên cứu với mong 
muốn tháo gỡ khó khăn cho học sinh trong việc giải quyết một số bài toán cực 
trị, để góp phần nâng cao chất lượng học tập, giúp học sinh tự tin và giải 
nhanh một số bài toán cực trị, tôi chọn đề tài: “Phát huy năng lực, tư duy 
sáng tạo của học sinh qua việc giải một số bài toán cực trị trong hình học 
giải tích Lớp 12 THPT”.
II.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
 1.Cơ sở luận của đề tài.
Giải quyết bài toán cực trị trong hình học là bài toán tổng hợp yêu cầu học 
sinh phải tổng hợp tốt các kiến thức sau:
 • Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức, một 
 hàm số bằng: đạo hàm, véc tơ, bất đẳng thức cổ điển,
 • Suy luận hình học: Yêu cầu học sinh phải có khả năng tưởng tượng 
 không gian, suy luận logic.
 2. Thực trạng của đề tài nghiên cứu. 
Qua thực tế giảng dạy học sinh, khi gặp bài toán cực trị trong hình học giải 
tích, các em thường gặp những khó khăn sau:
 1 • Dạng 2: Một số bài toán cực trị trong hình học giải tích lớp12 
 liên quan đến tìm đường thẳng, mặt phẳng thoả
 3.2.Các biện pháp và tổ chức thực hiện 
 Do thời lượng các tiết học chính khóa không đủ để thực hiện nên tôi đã sử 
dụng một số tiết học tự chọn để thực hiện đề tài này. Vì thời gian có hạn nên 
tôi chỉ đưa ra được nội dung mà tôi sẽ hướng dẫn cho học sinh để sau những 
tiết học này các em có thể tự tin tìm hướng và giải tốt một số các bài toán cực 
trị trong không gian.
 Đối tượng áp dụng: Học sinh THPT. 
 Phạm vi nghiên cứu: Trường THPT. 
 Địa điểm tổ chức thực nghiệm: Học sinh lớp 12B5, 12B9 Trường THPT 
Yên Định 2. 
 a. Cơ sở lí thuyết: Để làm được phần này yêu cầu các em học sinh nắm 
vững toàn bộ kiến thức ở chương III: Phương pháp toạ độ trong không gian, 
sách giáo khoa hình học 12, làm tốt các bài tập trong sách giáo khoa. Nắm 
vững phương pháp tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, 
một khoảng. Ngoài ra yêu cầu các em học sinh phải nắm thêm một số kiến 
thức sau đây:
 -Cho mặt phẳng (α): ax + by + cz + d = 0 và 2 điểm A(xA;yA;zA), 
B(xB;yB;zB). Nếu:
 • (axA + byA + czA + d)(axB + byB + czB + d) > 0 thì 2 điểm A và 
 B ở cùng phía đối với (α).
 • (axA + byA + czA + d)(axB + byB + czB + d) < 0 thì 2 điểm A và 
 B ở khác phía đối với mặt phẳng (α).
 - Với u , v là hai véc tơ bất kỳ, ta luôn có:
 │ u + v │≥ │ u + v │. Dấu = xảy ra  u , 
 v cùng hướng hoặc một trong hai véc tơ bằng 0 .
 3 ra M là trung điểm của A’B. Vậy M là trung điểm của đoạn A’B thì MA+MB 
nhỏ nhất.
 Phương pháp chung cho bài toán này như sau:
 Phương pháp 1:
 Tìm điểm A1,B1 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A,B trên d
 Lấy điểm B’ thỏa mãn: B’ mp(d,A), khác phía với A qua d, B’B1  d và 
B’B1=BB1.
 Khi đó : MA+MB=MA+MB’ AB’. Do A,B, d cố định nên B’ cố định. Dấu 
đẳng thức xảy ra khi M thuộc đoạn AB’giao với d. d
 MA1 AA1 A A1
 Lại có , mà B’B1=BB1
 MB1 B ' B1
   M
 MA1 AA1 AA1
Suy ra: MA1 MB1 hình3
 MB1 BB1 BB1
 Chứng tỏ M là điểm chia đoạn AB 
 AA B'
Theo tỉ số k=- 1 . Từ đó tìm được tọa độ điểm M. B1
 BB1 B
Nhận xét: Cách giải này lập luận hơi dài, dễ bị sai sót nên yêu cầu các em 
học sinh phải tính toán hết sức cận thận.
 x xo at
 Phương pháp 2: -Viết phương trình d ở dạng tham số t: y y0 bt
 z z0 ct,t R
 -Gọi M(xo+at;yo+bt;zo+ct). Tính MA+MB.
 -Xét hàm số: f(t)=MA+MB. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 
f(t), từ đó suy ra t, suy ra tọa độ của điểm M.
 -Kết luận.
 x xo at
Phương pháp 3:-Viết phương trình d ở dạng tham số t: y y0 bt
 z z0 ct,t R
 -Gọi M(xo+at;yo+bt;zo+ct). Tính MA+MB.
 -Xác định tọa độ các véc tơ u,v để u MA, v MB,
 5   
 AB =(7;5;-4), véc tơ chỉ phương của d là ud =(2;-2;1). Suy ra 
   
 AB . ud =0 nên đường thẳng d vuông góc với AB. Gọi (P) là mặt phẳng 
  
chứa AB và vuông góc với d,suy ra (P) qua A và nhận ud làm véc tơ pháp 
tuyến nên (P) có phương trình là: 2x-2y+z+9=0. Điểm M thuộc d thỏa mãn 
MA+MB nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của d và (P). Nên M(1+2t;-
2-2t;3+t) với tlà nghiệm của phương trình 2(1+2t)-2(-2-2t)+(3+t)+9=0
 t=-2.Vậy M(-3;2;1) thỏa mãn điều kiện bài toán. 
 Sau đây ta làm bài toán không thuộc dạng đặc biệt. 
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
 x 1 2t
 y 2 t và cho 2 điểm A(2;-2;1), B(0;2;-3). Tìm trên đường thẳng d 
 z 1 t,t R.
điểm M sao cho MA+MB nhỏ nhất.
Cách 1: Gọi A1(1+2t;2-t;1+t) là hình chiếu vuông góc của A trên d. Ta có:
  
 AA (2t 1;4 t;t)
  1 
 ud (2; 1;1)
   
 Ta phải có AA1.ud 0 2(2t 1) 1(4 t) t 0 6t 6 t 1
 Suy ra A1(3;1;2).
 Gọi B1(1+2t’;2-t’;1+t’) là hình chiếu vuông góc của B trên d, làm tương tự ta 
được B1(-1;3;0)
 Ta lấy điểm B’ sao cho: B’ mp(A,d), B’khác phía với A qua d, B’B 1=BB1 
và B’B1 vuông góc với d
 Khi đó : MA+MB=MA+MB’ AB’. Do A,B, d cố định nên B’ cố định. Dấu 
đẳng thức xảy ra khi M thuộc đoạn AB’giao vơi d.
 MA1 AA1
 Lại có , mà B’B1=BB1
 MB1 B ' B1
   
 MA1 AA1 AA1
Suy ra: MA1 MB1
 MB1 BB1 BB1
 Chứng tỏ M là điểm chia đoạn AB 
 7 Bài toán 2: Cho 2 điểm A, B và mặt phẳng (α). Tìm trênmặt phẳng(α) 
điểm M sao cho MA + MB nhỏ nhất. 
 Hướng dẫn giải:
 -Xét xem 2 điểm A, B ở cùng phía hay khác phía đối với (α).
 +TH1: Nếu 2 điểm A, B ở khác phía đối với (α)
 Khi đó: Với mọi điểm M ta có:
 A
MA + MB AB, dấu = xảy ra M AB.
 Vì M (α), A, B khác phía nên có M, hình 4
 dấu = xảy ra khi và chỉ khi M là 
 giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (α) M
 Vậy khi M là giao điểm của AB và (α) thì MA P+ MB nhỏ nhất.
 +TH2: Nếu 2 điểm A, B cùng đối xứng với A qua (α).
 ’
 Tìm tọa độ điểm A đối xứng với A qua (α). B
 Với mọi điểm M (α) ta có:
 A B
 MA + MB = MA’ + MB A’B (1).
Do A cố định, (α) cố định nên A’ cố định 
 H
=> A’B không đổi M hinh5
 P
 dấu = khi và chỉ khi M đoạn A’B
 ( xảy ra vì A’ và B ở khác phía đối với (α) ). A'
 => MA + MB nhỏ nhất M là giao điểm của A’B và (α).
 Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho mặt phẳng (α) có phương 
trình : x-2y-2z+4=0 và hai điểm A(1;2;1),B(2;0;2).Tìm điểm M trên mặt 
phẳng (α) sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất 
 Giải
 Thay tọa độ của A và B vào phương trình tơ (α) ta thấy hai điểm nằm về 
hai phía đối với mp (α) 
Ta có MA + MB có giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của AB và (α) 
  
Đường thẳng AB qua điểm B ,nhận AB =(1;-1;0) làm vecto chỉ phương 
 9 Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình :
 3 13 4
 2+t-1+2(1-3t)=0 5t 3 0 t hay M( ;1; )
 5 5 5
 13 4
 Vậy với M( ;1; ) thì MA +MB có giá trị nhỏ nhất 
 5 5
 Bài toán 3: Cho các điểm phân biệt A 1, A2,,An và các số thực t1, t2,,t n 
và cho đường thẳng d hay mặt phẳng (α). Tìm điểm M trên đường thẳng d 
hay trên mặt phẳng (α) sao cho: │t 1. M A1 + t2. M A2 ++ tn. M An │ đạt 
giá trị nhỏ nhất.
 Từ ví dụ sau , học sinh hoàn toàn có thể suy luận được phương pháp giải 
dạng toán này.
 x 4 y 1 z
 Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho d: và hai 
 1 1 1
   
điểm A(0;1;5),B(0;3;3) .Tìm M trên d để MA 4MB có giá trị nhỏ nhất 
 Giải
Cách1
 Gọi M(4+t;-1+t;t)
   
 Ta có MA ( 4 t;2 t;5 t) ; MB ( 4 t;4 t;3 t)
  
 4MB (16 4t; 16 4t; 12 4t)
   
 MA 4MB (12 3t; 14 3t; 7 3t)
   
 MA 4MB (3t 12)2 (3t 14)2 (3t 7)2 27t 2 54t 389
 = 27(t 2 2t 1) 362 27(t 1)2 362 362
 Dấu “ =” xảy ra t=1 t=1 M(5;0;1)
 Vậy M(5;0;1) thõa mãn điều kiện bài toán .
Cách2:
   13 7
 Trước hết ta tìm điểm I sao cho IA 4IB 0 I (0; ; )
 5 5
           
 Ta có MA 4MB MI IA 4(MI IB) IA 4IB 3MI 3MI
     
 MA 4MB 3MI 3 MI 
 11 x 3 t 4
 t 
 y 3 2t 9
 z 2t 23 35 8
 x , y , z 
 x 2y 2z 7 0 9 9 9
 23 35 8
 Vậy M ( ; ; ) thõa mản điều kiện bài toán 
 9 9 9
 Dạng 2: Các bài toán cực trị liên quan đến tìm đường thẳng, mặt phẳng 
thoả mãn điều kiện cho trước.
 Bài toán 5: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d cho trước 
và tạo với mặt phẳng cho trước một góc nhỏ nhất.
 Hướng dẫn giải: Gọi phương trình mặt phẳng (P) cần tìm có dạng: 
ax+by+cz+d=0.
 Lấy hai điểm có toạ độ cụ thể thuộc d thay vào phương trình mp(P) ta rút 
được hai ẩn c,d theo a và b
 Tính sos của góc giữa hai mặt phẳng, Tìm điều kiện để cos của góc giữa hai 
mặt phẳng lớn nhất.
 Ví dụ 8: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho A(1;4;2) ,B(-1;2;4) và đường 
 x 1 y 2 z
thẳng d : .Viết phương trình mp (P) chứa d và tạo với mp(Oxy) 
 1 1 2
một góc nhỏ nhất 
 Giải
 Gọi mp (P) có dạng : ax+by+cz+d=0 
 Nhận thấy M1(1; 2;0), M 2 (0; 1;2) là 2 điểm thuộc d 
 Vì (P) chứa d nên M1 (P) và M 2 (P)
 d a 2b
 a 2b d 0 
 a b
 b 2c d 0 c 
 2
 a b
 PT (P) : ax by z a 2b 0
 2
 2ax +2by+(a-b)z-2a+4b=0
  
 (P) có VTPT nP (2a;2b;a b)
 Mp(0xy) có VTPT k(0;0;1)
 Gọi là góc tạo bởi (P) và (Oxy)
 13