Sáng kiến kinh nghiệm Phân tích những sai lầm của học sinh lớp 12 khi học chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số - hướng khắc phục

 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
 PHÂN TÍCH NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC 
 SINH LỚP 12 KHI HỌC CHƯƠNG ỨNG 
DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ 
 THỊ CỦA HÀM SỐ - HƯỚNG KHẮC PHỤC Trường THPT Trần Hưng Đạo - Đắk Mil - Đắk Nông 
 Nhằm giúp học sinh nắm chắc các kiến thức về đạo hàm, có kỹ năng 
 ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán liên quan đến hàm số, tôi chọn đề 
 tài “phân tích những sai lầm của học sinh lớp 12 khi học chương ứng 
 dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số - hướng khắc phục” 
II. Phân tích những sai lầm thông qua một số ví dụ minh hoạ 
1) Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số 
 Các em mắc phải sai lầm khi không nắm vững định nghĩa tính đơn điệu 
 của hàm số 
 Ví dụ minh hoạ 1: 
 x2 2 x 2
 Xét tính đơn điệu của hàm số: y . 
 x 1
 Một số học sinh trình bày như sau: 
 TXĐ: D = R\{-1}. 
 x2 2 x x 0
 Ta có y ' 2 , y ' 0 
 (x 1) x 2
 Bảng biến thiên: 
 x - -2 -1 0 + 
 y' + 0 - - 0 +
 y -2 + + 
 2
 - - 
 Suy ra: 
 Hàm số nghịch biến trên 2; 1  1;0 , 
 đồng biến trên ; 2  0; . 
 Phân tích: lời giải trên có vẻ như đúng rồi, nếu ta không chú ý đến kết 
 luận của bài toán! Chú ý rằng: nếu hàm số y f() x nghịch biến trên tập 
 D thì x1, x 2 D mà x1 x 2 f()() x 1 f x 2 . Trong kết luận của bài toán 
 3 1
 nếu ta lấy x < x 2; 1  1;0 , 
 1 2 2 2
GV. Tạ Ngọc Bảo – ĐT: 0983972303 2 Trường THPT Trần Hưng Đạo - Đắk Mil - Đắk Nông 
 Bảng biến thiên: 
 x -2 - 2 2 2
 y' - 0 + 0 -
 y -3 2 2 -1
 -1 1
 Suy ra: Hàm số đồng biến trên khoảng 2; 2 và nghịch biến trên các 
 khoảng 2; 2 và 2;2 . 
 Phân tích: Nếu để ý ở bảng biến thiên ta thấy ngay một điều vô lý là 
 trên đoạn 2; 2 giá trị của hàm số giảm từ -3 xuống -1??? Thực ra ở 
 đây 2 không phải là điểm tới hạn của hàm số. 
 Lời giải đúng là: 
 Tập xác định là: D = [-2; 2] 
 x
 Ta có f'( x ) 1 , 
 4 x2
 4 x2 x x 0
 4 x2 x
 f'( x ) 0 0 2 2 x 2 
 4 x2 4 x x
 Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f’(x) luôn giữ 
 nguyên một dấu, vì f’(0) > 0 nên ta có bảng biến thiên như sau: 
 Bảng biến thiên: 
 x -2 2 2
 y' + 0 -
 y 2 2 -1
 -3
 1
 Suy ra, hàm số đồng biến trên khoảng 2; 2 , nghịch biến trên khoảng 
 2;2 . 
2) Sai lầm khi chứng minh bất đẳng thức 
GV. Tạ Ngọc Bảo – ĐT: 0983972303 4 Trường THPT Trần Hưng Đạo - Đắk Mil - Đắk Nông 
 Một số học sinh trình bày như sau: 
 x
 Xét các hàm số f1 () x x và f2 () x e là các đồng biến trên R. Suy ra 
 hàm số f(). x x ex là tích của hai hàm đồng biến nên cũng đồng biến trên 
 1
 R. Suy ra, từ x 1 f ( x ) f ( 1) hay x. ex . 
 e
 Phân tích: 
 Lời giải trên sai lầm ở chỗ: Tích của hai hàm đồng biến là một hàm đồng 
 biến chỉ đúng khi hai hàm đó dương (!). 
 Lời giải đúng là: 
 Xét hàm số f(). x x ex , ta có f'( x ) ex ( x 1) 0,  x 1. Suy ra hàm số 
 1
 đồng biến trên  1; . Từ x 1 f ( x ) f ( 1) hay x. ex với x >-1 . 
 e
 (Đpcm) 
3) Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới đạo hàm 
 Sai lầm khi vận dụng các công thức tính đạo hàm. 
 Ví dụ minh hoạ 4: 
 Tính đạo hàm của hàm số y 2 x 1 x 
 Một số học sinh trình bày như sau: 
 Ta có y' x (2 x 1)x 1 (2 x 1)' 2(2 x x 1) x 1 
 Phân tích: 
 Lời giải trên đã vận dụng công thức ()'..'u u 1 u . Vận dụng như vậy là 
 sai, vì công thức này chỉ áp dụng cho số mũ là một hằng số. 
 Lời giải đúng là: 
 x y' 2 x
 Từ y 2 x 1 lny x .ln 2 x 1 ln(2x 1) 
 y2 x 1
 x 2x 
 y' (2 x 1) ln(2 x 1) 
 2x 1 
 Sai lầm khi tính đạo hàm của hàm số tại một điểm. 
 Các em hay mắc phải sai lầm ở dạng này là áp dụng công thức 
 (u )' . u 1 . u ', R , nhưng quên rằng nếu như không nguyên thì 
 công thức này chỉ đúng khi u nhận giá trị dương. 
GV. Tạ Ngọc Bảo – ĐT: 0983972303 6 Trường THPT Trần Hưng Đạo - Đắk Mil - Đắk Nông 
 TXĐ: D =R 
 2 a 0
 y' 3 x 2 mx 1. Hàm số đồng biến trên R y' 0,  x R 
 ' 0
 3 0
 2 3 m 3 . 
 m 3 0
 Phân tích: 
 Chẳng hạn hàm số y x3 đồng biến trên R, nhưng y 3 x2 0 x 0 ! 
 Nhớ rằng: Nếu hàm số y f() x xác định trên khoảng a; b , 
 f'( x ) 0,  x a ; b và f’(x) chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm thuộc khoảng 
 (a;b) thì hàm số y=f(x) đồng biến trên khoảng (a;b). 
 Lời giải đúng là: 
 Hàm số đồng biến trên R y' 0,  x R 
 a 0 3 0
 2 3 m 3 . 
 ' 0 m 3 0
 Khi sử dụng quy tắc 2 để xác định cực trị của hàm số các em cũng quên 
 rằng đó chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần. 
 Quy tắc: 
 f'( x0 ) 0
 x0 là điểm cực tiểu 
 f"( x0 ) 0
 f'( x0 ) 0
 x0 là điểm cực đại 
 f"( x0 ) 0
 Điều ngược lại nói chung là không đúng! 
 Ví dụ minh hoạ 7: 
 Cho hàm số y mx4 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt 
cực đại tại x = 0? 
 Một số học sinh trình bày như sau: 
 f '(0) 0 4m .0 0
 Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x = 0 là: Vô 
 f "(0) 0 12m .0 0
 nghiệm m. 
 Vậy không tồn tại giá trị m để hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 0. 
GV. Tạ Ngọc Bảo – ĐT: 0983972303 8 Trường THPT Trần Hưng Đạo - Đắk Mil - Đắk Nông 
 Phân tích: 
 4 3
 Ta thấy, với m = 0 thì hàm số y = y x 1 có y’ = 4x , y’ = 0 x = 0 
 Bảng biến thiên: 
 x - 0 + 
 y' - 0 +
 y + + 
 1
 Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 0! 
 Lời giải đúng là: 
 y'( x ) 0 khi x 0 (1)
 Để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 thì 
 y'( x ) 0 khi x 0 (2)
 x 0
 x 0 x 0 
 Từ (1) ta có 3 2 3m m 0 (3) 
 y'( x ) 0 4x 3 mx 0 x 
 4
 x 0
 x 0 x 0 
 Từ (2) ta có 3 2 3m m 0 (4) 
 y'( x ) 0 4x 3 mx 0 x 
 4
 Từ (3) và (4) suy ra m = 0. 
 Vậy với m = 0 thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 0. 
5) Sai lầm khi giải các bài toán tìm GTLN và GTNN của hàm số 
 Các em thường mắc sai lầm khi không nắm vững định nghĩa GTLN và 
 GTNN của hàm số trên một tập. 
 Ví dụ minh hoạ 9: 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 
 2 1 1 
 y f( x ) c os x 2 2 c osx+ 1. 
 cos x cosx 
 Một số học sinh trình bày như sau: 
 1 1
 Đặt t = cosx+ cos2 x t 2 2 . 
 cosx cos2 x
 Ta được hàm số g( t ) t2 2 t 3 t 1 2 4 4,  t . 
GV. Tạ Ngọc Bảo – ĐT: 0983972303 10 Trường THPT Trần Hưng Đạo - Đắk Mil - Đắk Nông 
 Phân tích: 
 Phương trình tiếp tuyến y = -9x - 5 là tiếp tuyến tại A (nhận A làm tiếp 
 điểm) tất nhiên là kẻ từ A. Nhưng vẫn có thể có tiếp tuyến của (C) đi qua 
 A mà không nhận A làm tiếp điểm. 
 Lời giải đúng là: 
 Phương trình đường thẳng d đi qua A(-1;4) và có hệ số góc k là: y = 
 k(x+1)+4 
 điều kiện để đường thẳng d là tiếp tuyến của (C) là: 
 k 3 x2 6 x
 3 2
 x 3 x k ( x 1) 4
 x 1
 PTTT y 9 x 5
 k 9
 x 2
 PTTT y 4
 k 0
III. Kết luận 
 Polya đã viết “con người phải biết học những sai lầm và những thiếu 
 sót của mình” thông qua những sai lầm nếu ta biết cách nhìn nhận ra nó 
 kịp thời uốn nắn và sửa chữa nó thì sẽ giúp ta nhớ lâu hơn tri thức đã 
 được học đồng thời sẽ giúp ta tránh được những sai lầm tương tự. 
 Trong khuôn khổ của bài viết này tôi không có tham vọng sẽ phân 
 tích được hết những sai lầm của học sinh và sẽ không tránh khỏi những 
 sai sót. Vì vậy tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy 
 cô. Tôi xin chân thành cảm ơn. 
GV. Tạ Ngọc Bảo – ĐT: 0983972303 12