Sáng kiến kinh nghiệm Phân tích một số sai lầm của học sinh khi học nội dung hàm số lớp 12

 A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lý do chọn đề tài:
 Môn Toán sẽ chuyển sang thi trắc nghiệm thay vì tự luận trong kỳ thi tốt 
nghiệp trung học phổ thông quốc gia năm nay, nên cách dạy và học cũng thay đổi 
theo:
 Khi chuyển qua hình thức thi trắc nghiệm môn Toán, học sinh không cần chú 
trọng tới cách trình bày cẩn thận trong bài thi nữa. Điều cần quan tâm là làm thế 
nào để giải nhanh, ngắn gọn và chính xác.
 Đối với hình thức trắc nghiệm khách quan, một trong những khó khăn lớn 
nhất là học sinh bị áp lực thời gian bởi phải vận dụng cả kiến thức và kĩ năng để 
tìm ra đáp án đúng trong khoảng thời gian tương đối ngắn.
 Nhiều học sinh đã quen với hình thức ôn luyện thi tự luận, các em chỉ chú 
trọng đến giải bài tập và thường không tập trung học chắc chắn lý thuyết.
 Năm học 2016 – 2017 dạy lớp 12 tại trường THPT Lý Thường Kiệt, tôi nhận 
thấy nhiều học sinh khi làm bài thi trắc nghiệm môn toán thường chọn phải các 
phương án nhiễu trong các câu hỏi. Việc các em chọn sai đáp án hầu hết là do 
không chú trọng đến lý thuyết khi học. Áp dụng các định lí, định nghĩa để làm bài 
thường quên điều kiện để áp dụng được định lí đó, định nghĩa đó. Do đó có nhiều 
sai lầm khi làm bài. Nôi dung sai nhiều nhất là nội dung hàm số giải tích lớp 12.
 Nội dung hàm số chương trình giải tích lớp 12 là một trong những nội dung 
quan trọng trong đề thi môn toán của kỳ thi trung học phổ thông quốc gia năm 
2017. Vì vậy tôi quyết định chọn đề tài: “Phân tích một số sai lầm của học sinh 
khi học nội dung hàm số lớp 12”
II. Nội dung đề tài gồm: 
 1 B. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
1 . SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
1.1. Học sinh thường mắc các sai lầm sau:
 * Không phân biệt được hàm số 풚 = 풇(풙) đồng biến trên 푫 là 풇′(풙) ≥ , ∀풙
 ∈ 푫 hay 풇′(풙) > , ∀풙 ∈ 푫.
 * Không phân biệt được hàm số 풚 = 풇(풙) nghịch biến trên 푫 là 풇′(풙) ≤ ,∀
풙 ∈ 푫 hay 풇′(풙) < ,∀풙 ∈ 푫.
 * 풇′(풙) ≥ , ∀풙 ∈ ( ; )⇔풇(풙) đồng biến trên ( ; )
 * 풇′(풙) ≤ , ∀풙 ∈ ( ; )⇔풇(풙) nghịch biến trên ( ; )
1.2. Nguyên nhân dẫn đến sai lầm
 * Không hiểu đúng định lí sgk trang 6 và định lí mở rộng sgk trang 7
1.3. Biện pháp khắc phục 
Chỉ rõ cho học sinh :
 * Định lí sgk trang 6 chỉ có chiều suy ra mà không có chiều ngược lại
 * Đối với định lí mở rộng sgk trang 7 thì 풇′(풙) = chỉ tại hữu hạn điểm.
1.4. Ta xét một số bài toán sau:
* Bài toán 1.4.1 : Cho hàm số 풚 = 풇(풙). Mệnh đề nào đúng trong những mệnh đề 
sau ?
A. 풇′(풙) > , ∀풙 ∈ ( ; )⇒풇(풙) đồng biến trên ( ; )
B. 풇′(풙) > , ∀풙 ∈ ( ; )⇔풇(풙) đồng biến trên ( ; )
 3 
Bài toán 1.4.2: Xét sự biến thiên của hàm số 풙 
 풇(풙) = + 풙 +풙 + 
* Giải:
Ta có 풇′(풙) = 풙 + 풙 + = (풙 + ) ≥ 
Suy ra : 풇(풙) đồng biến trên ( ― ∞; + ∞) 
* Bình luận :
 Sau khi hướng bài toán 1.4.2 nhiều học sinh cho rằng lời giải trên chưa đúng vì 풇′
(풙) vẫn bằng 0 khi 풙 = ― , do đó nên khi hướng dẫn xong bài toán 1.4.2 cần nói 
thêm : 풇′(풙) vẫn bằng 0 chỉ tại một điểm 풙 = ― nên thỏa mãn điều kiện định lí 
mở rộng.
Bài toán 1.4.3 : Tìm để hàm số sau đồng biến trên tập xác định của nó
 풙 + 
 풇(풙) =
 풙 ― 
A. ≤ ― B. > ― . C. < ― D. ≥ ― 
* Sai lầm ở bài này : 
 Nhiều học sinh chọn đáp án A vì cho rằng hàm số đồng biến trên 푫 khi 풇′(풙)
 ≥ ⇔ ≤ ― nên chọn A
* Cách giải đúng:
Tập xác định : 푫 = 푹\{ }
Ta có 풇′(풙) = (풙 ) 
Để đồng biến trên tập xác định của nó thì
 5 ― > 
Với ≠ ta có 풚′ là tam thức bậc hai nên 풚′ ≥ ⇔ 휟 ≤ ⇔ < ≤ 
Vậy ≤ ≤ thì hàm số đồng biến trên 푫, nên chọn A.
2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
2.1. Học sinh thường mắc các sai lầm sau:
 * Giá trị cực tiểu của hàm số nhỏ hơn giá trị cực đại của hàm số
 * Nhầm lẫn giữa các khái niệm cực trị và điểm cực trị của hàm số
 * Nhầm lẫn giữa điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị của đồ thị hàm số
 * Phương trình 풇′(풙) = có bao nhiêu nghiệm thì hàm số có bấy nhiêu điểm 
cực trị
 * Hàm số 풚 = 풇(풙) đạt cực trị tại điểm 풙 = 풙 thì 풇′(풙 ) = 
 풇′(풙 ) = 
 * Hàm số 풚 = 풇(풙) đạt cực đại tại 풙 = 풙 ⇔
 풇′′(풙 ) < 
 풇′(풙 ) = 
 * Hàm số 풚 = 풇(풙) đạt cực tiểu tại 풙 = 풙 ⇔
 풇′′(풙 ) > 
2.2. Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:
 * Không nhớ rõ chú ý sgk trang 14
 * không nắm vững quy tắc xét dấu dẫn đến cho rằng 풇′(풙) đổi dấu khi qua 
các nghiệm của nó.
 * Không hiểu đúng định lí 1 sgk tra 14
 * Không hiểu đúng định lí 2 sgk tra 16
 7 풇′(풙 ) = 
+ Hàm số 풚 = 풇(풙) đạt cực đại tại 풙 = 풙 ⇔ và Hàm số 풚 = 풇(풙) đạt 
 풇′′(풙 ) < 
 풇′(풙 ) = 
cực tiểu tại 풙 = 풙 ⇔ , do đó cho rằng 풇′′(풙 ) = thì 풇(풙) không đạt 
 풇′′(풙 ) > 
cực trị tại điểm 풙 nên chọn C
* Cách giải đúng:
Trước hết nhắc lại định lý 2 sgk trang 16
Định lý : Giả sử hàm số 풚 = 풇(풙) có đạo trong khoảng (풙 ―풉;풙 +풉), với 풉 > . 
Khi đó :
 Nếu 풇′(풙 ) = , 풇′′(풙 ) > thì 풙 là điểm cực tiểu;
 Nếu 풇′(풙 ) = , 풇′′(풙 ) < thì 풙 là điểm cực đại.
Dựa vào định lý ta nhận thấy rằng : đáp án đúng là D. 
* Bình luận:
+ Qua bài toán 2.4.1 cần chỉ rõ cho học sinh thấy 풇(풙) có thể không có đạo hàm tại 
풙 nhưng 풇′(풙) đổi dấu khi qua điểm 풙 thì 풇(풙) vẫn đạt cực trị tại điểm 풙 
+ Tại sao các đáp án A, B, C lại sai thì cần xét thêm các ví dụ sau để hiểu rõ hơn
Bài toán 2.4.2 : Tìm điểm cực trị của hàm số 풇(풙) = 풙 .
* Giải :
 풙
Ta có ′
 풇 (풙) = 풙 
Bảng biến thiên
 9 0
 x
 y' - 0 +
 y
Vậy hàm số đạt cực trị tại 풙 = 
* Bình luận :
Qua bài toán 2.4.4 cần chỉ cho học sinh nhận thấy : 풇′( ) = và 풇′′( ) = mà 
hàm số vẫn đạt cực trị tại 풙 = 
Bài toán 2.4.5 : Tìm điểm cực tiểu của hàm số 풚 = 풙 ― 풙 + 
A. 풙 = B. ( ; ― ) C. 풚 = ― D. 풙 = 
* Học sinh thường mắc các sai lầm ở bài này như sau:
+ Không phân biệt được điểm cực tiểu của hàm số và điểm cực tiểu của đồ thị hàm 
số nên chọn đáp án B.
+ Không phân biệt được điểm cực tiểu của hàm số và giá trị cực tiểu của hàm số 
nên chọn C. 
+ Cho rằng điểm cực tiểu nhỏ hơn điểm cực đại nên chọn D.
* Cách giải đúng :
 풙 = 
Ta có 풚′ = 풙 ― 풙 ; 풚′ = ⇔ 풙 = 
 11 * Đường thẳng 풚 = là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 풚 = 풇(풙) nếu thỏa 
mãn đồng thời hai điều kiện 풍풊 풇(풙) = và 풍풊 풇(풙) = .
 풙⟶ ― ∞ 풙⟶ + ∞
 * Quên điều kiện để có tiệm cận ngang là : Hàm số 풚 = 풇(풙) trên một 
khoảng dạng ( ; + ∞) ; ( ― ∞; ) ; ( ― ∞; + ∞).
 * Đường thẳng 풙 = là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 풚 = 풇(풙) nếu thỏa 
mãn đồng thời hai điều kiện 풍풊 풇(풙) = ―∞ ; 풍풊 풇(풙) = +∞ ; 
 풙⟶ + 풙⟶ +
 풍풊 풇(풙) = ―∞ ; 풍풊 풇(풙) = +∞.
풙⟶ ― 풙⟶ ―
 * Tìm tiệm cận đứng bằng cách cho mẫu số bằng , mẫu có bao nhiêu 
nghiệm thì đồ thị hàm số có bấy nhiêu tiệm cận đứng.
3.2. Nguyên nhân dẫn đến sai lầm
 * Không nhớ rõ nội dung định nghĩa sgk trang 28 và định nghĩa trang 29.
 * không cẩn thận trong làm bài, muốn làm nhanh
3.3. Biện pháp khắc phục
 * Ôn tập lại cho học sinh các cách tính giới hạn của hàm số
 * Cho học sinh làm các ví dụ dễ dẫn đến những sai lầm nói trên
3.4. Ta xét một số các bài toán sau:
Bài toán 3.4.1 : Cho hàm số 풚 = 풇(풙) có 풍풊 풇(풙) = và 풍풊 풇(풙) = ― . 
 풙→ + ∞ 풙→ ― ∞
Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.
 13 풙 = 
+ Qua ví dụ trên chúng ta thấy 풙 = ― là nghiệm của phương trình mẫu số bằng 
không nhưng không phải tiệm cận đứng.
+ Nhiều học sinh khắc phục sai lầm trên bằng cách thay nghiệm của mẫu vào tử 
nếu tử bằng 0 thì đó không phải tiệm cận đứng.
Bài toán 3.4.3: Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 풚 = (풙 ) là :
 풙 ퟒ
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
* Học sinh thường mắc các sai lầm ở bài này như sau:
 풙 = 
Cho 풙 ― ퟒ = ⇔ 풙 = ― 
Sau đó thay 풙 = ;풙 = ― vào tử thấy 풙 = làm cho tử bằng không và kết luận 
đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là 풙 = ― , từ đó chọn A
* Bình luận : 
+ Qua ví dụ trên ta thấy 풙 = làm cho tử bằng không nhưng vẫn là tiệm cận đứng 
của đồ thị hàm số.
+ Nhiều học sinh khắc phục sai lầm trên bằng cách rút gọn biểu thức rồi mới cho 
mẫu số bằng không để tìm tiệm cận đứng.
Bài toán 3.4.3: Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 풚 = ퟒ 풙 là :
 풙 
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
* Học sinh thường mắc các sai lầm ở bài này như sau:
 15 A. GTNN bằng -4 và GTLN bằng 5
B. GTNN bằng -4 và không có giá trị lớn nhất
C. Không có GTNN và GTLN bằng 5
D. Không có GTLN và không có GTNN
* Học sinh thường mắc các sai lầm ở bài này như sau:
 ퟒ 풙 = ∈ [ ― ; ]
Ta có : ′
 풚 = ― + 풙 = ⇔ 풙 = ― ∉ [ ― ; ]
+ 풚( ― ) = 
+ 풚( ) = ―ퟒ
Từ đó kết luận GTLN=5 và GTNN băng -4, dẫn đến chọn đáp án A
* Cách giải đúng : 
 ퟒ 풙 = 
Ta có ′
 풚 = ― + 풙 = ⇔ 풙 = ― 
Bảng biến thiên
 x -1 0 2
 + +
 y'
 + 5
 y
 -4
 - 
 17 A. Cực tiểu của hàm số bằng -3
B. Cực tiểu của hàm số bằng 1
C. Cực tiểu của hàm số bằng -6
D. Cực tiểu của hàm số bằng 2
Bài 3: (Đề minh họa lần 2 của Bộ Giáo dục và Đào tạo)
Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
 풙 ― ― 풙 + 풙 + 
 풚 =
 풙 ― 풙 + 
A. 풙 = ― và 풙 = ― 
B. 풙 = ― 
C. 풙 = và 풙 = 
D. 풙 = 
Bài 4 : (Đề minh họa lần 1 của Bộ Giáo dục và Đào tạo)
Cho hàm số 풚 = 풇(풙) xác định, liên tục trên 푹 và có bảng biến thiên:
 19 Hàm số 풚 = | 풙 ― | có mấy điểm cực trị?
A. 2
B. 0
C. 1
D. 4
Bài 7: (Thi thử lớp 12, lần 3, trường Kim Liên, Hà Nội) 
Cho hàm số 풚 = 풇(풙) có 풍풊 풇(풙) = và 풍풊 풇(풙) = ― . Mệnh đề nào dưới 
 풙→ + ∞ 풙→ ― ∞
đây đúng?
A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
B. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
C. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là các đường thẳng 풙 = và 풙 = ― .
D. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là các đường thẳng 풙 = và 풙 = ― .
Bài 8: (Thi thử thpt quốc gia, trường thpt chuyên, trường Đại Học Sư Phạm Hà 
Nội)
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số để hàm số 풚 = 풙 ― ( ― )풙 + 풙 + 
đồng biến trên ( ― ∞; + ∞)
A. ( ―∞; ― ] ∪ [ퟒ; + ∞)
B. [ ― ;ퟒ]
C. ( ―∞; ) ∪ (ퟒ; + ∞)
 21