Sáng kiến kinh nghiệm Phân loại cách viết phương trình mặt phẳng trong không gian tọa độ theo hướng phát triển tư duy từ dễ đến khó

 Sáng kiến kinh nghiệm "Phân loại cách viết phương trình mặt phẳng trong không gian tọa độ 
theo hướng phát triển tư duy từ dễ đến khó"
1.MỞ ĐẦU:
1.1. Lý do chọn đề tài:
 Trong chương trình toán học THPT, khi học đến chương phương pháp tọa 
độ trong không gian học sinh thường lúng túng khi gặp bài toán viết phương 
trình mặt phẳng và có nhiều dạng phương trình mặt phẳng. 
 Bản thân tôi nhiều năm được phụ trách lớp học theo ban Khoa học tự 
nhiên, các lớp cơ bản theo khối, qua nghiên cứu giảng dạy tôi thấy việc phân 
loại cách viết phương trình mặt phẳng trong không gian tọa độ theo hướng phát 
triển tư duy từ dễ đến khó là sát thực, phù hợp và cần thiết với việc giảng dạy, 
bồi dưỡng học sinh yếu kém, khá giỏi và ôn luyện cho học sinh thi Đại học cao 
đẳng. Do vậy tôi chọn đề tài " Phân loại cách viết phương trình mặt phẳng 
trong không gian tọa độ theo hướng phát triển tư duy từ dễ đến khó'' để nghiên 
cứu nhằm phần nào đáp ứng yêu cầu trên và góp phần vào nâng cao chất lượng 
dạy học cho nhà trường .
 Do đặc điểm lớp 12 là năm học sinh phải thi tốt nghiệp Trung học phổ 
thông, Đại học và Cao đẳng nên phần lớn học sinh có ý thức trong học tập và 
trang bị những kiến thức cần thiết cho các kỳ thi vào cuối năm học. 
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song đề tài nghiên cứu không trách khỏi những 
thiếu sót. Kính mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô 
và cá bạn đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn!
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Trang bị cho học sinh về một số phương pháp viết phương trình mặt phẳng 
trong không gian tọa độ Oxyz .
- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh 
nâng cao kỹ năng tư duy sáng tạo.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
 - Các bài tập viết phương trình mặt phẳng trong không gian tọa độ Oxyz nằm 
trong chương trình toán học phổ thông.Từ đó phân loại, tổng hợp các dạng và 
cách giải chúng.
1.4. Phương pháp nghiên cứu 
- Tích lũy qua nhiều năm giảng dạy phần này.
- Thông qua việc kiểm tra đánh giá năng lực tiếp thu của học sinh
- Thông qua sách giáo khoa, sách bài tập, hệ thống bài tập và tài liệu tham khảo
- Thông qua các đề thi tốt nghiệp, đại học cao đẳng và kỳ thi THPT Quốc gia 
năm 2015. 
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN
2.1.Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:
 Khi dạy bài toán viết phương trình mặt phẳng theo khi biết các yếu tố như 
mặt phẳng đó vuông góc với đường thẳng, hay song song với mặt phẳng, hay chỉ 
song song với một đường thẳng và tạo với mặt phẳng khác một góc cho trước, 
thì nhiều học sinh không định hướng ngay được cách giải, mà các em còn nhầm 
lẫn cả việc tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng đó. 
GV: Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh gia 2 1 Sáng kiến kinh nghiệm "Phân loại cách viết phương trình mặt phẳng trong không gian tọa độ 
theo hướng phát triển tư duy từ dễ đến khó"
thường lúng túng trước một bài toán viết phương trình mặt phẳng. Khi gặp các 
dạng toán:"Viết phương trình mặt phẳng thỏa mãn một điều kiện nào đó" học 
sinh thường gặp không ít khó khăn vì không tạo ra được các mối quan hệ biện 
chứng giữa các đối tượng đề bài đã cho hoặc không biết hướng giải hoặc không 
tìm được hướng giải.
 Trước khi áp dụng đề tài, tôi đã cho học sinh làm bài kiểm tra 45 phút về 
viết phương trình mặt phẳng. Kết quả :
 Sĩ Giỏi Khá Trung Bình Yếu Kém
 Lớp
 số SL % SL % SL % SL % SL %
12B11 42 6 14,3 9 21,4 15 35,7 8 19,0 4 9.5
 12B8 41 4 9,8 8 19,5 13 31,7 10 24,4 6 14,6
12C10 41 5 12,2 9 22 13 31,7 9 22 5 12,2
 Vì thế trong thực tiễn giảng dạy tôi đã yêu cầu học sinh nêu những yếu tố 
cần để viết phương trình mặt phẳng.Từ các giả thiết các em tìm ra các mối quan 
hệ biện chứng giữa các đối tượng trong không gian từ đó đưa ra hướng giải cho 
từng dạng toán tương ứng.
 Với các vấn đề của thực trạng trên, tôi đã mạnh dạn triển khai cho các em 
mảng kiến thức này nhằm giải tỏa bớt những bất cập nói trên.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn 
đề.
Giải pháp: 
- Tổ chức một số buổi dạy phụ đạo đại trà cho tất cả các em, bồi dưỡng học sinh 
khá giỏi, ôn thi Đại học, ôn thi kỳ thi THPT Quốc gia. 
- Giới thiệu phần lý thuyết về tọa độ trong không gian, phương trình mặt cầu, 
mặt phẳng, đường thẳng. Sau đó phân loại các dạng và phương pháp giải
- Cuối chuyên đề cho học sinh làm bài kiểm tra để đánh giá chất lượng.
Nội dung giải pháp: 
I. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG KHI XÁC ĐỊNH ĐƯỢC VÉC 
TƠ PHÁP TUYẾN MỘT CÁCH TRỰC TIẾP:
LOẠI 1: Viết phương trình mặt phẳng khi có sẵn véc tơ pháp tuyến và đi 
qua một điểm.
Phương pháp chung: 
 - Tìm một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( là véc tơ khác véc tơ không, 
 có giá vuông góc với mặt phẳng)
 - Tìm điểm nằm trên mặt phẳng.
 - Thay vào phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Nhận xét: Thường khi gặp loại bài toán này học sinh có thể làm ngay được, bởi 
vì các em chỉ việc thay vào công thức.
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (x0 ; y0 ; z0 ) và có một 
véc tơ pháp tuyến n (A;B;C)
GV: Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh gia 2 3 Sáng kiến kinh nghiệm "Phân loại cách viết phương trình mặt phẳng trong không gian tọa độ 
theo hướng phát triển tư duy từ dễ đến khó"
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Do mặt phẳng ( ) song song với ( ) n n (4;3; 1)
 ptmp ( ) là: 4(x 7) 3(y 2) (z 0) 0 4x 3y z 34 0
Cách 2: Do mặt phẳng ( ) song song với ( ) nên mặt phẳng ( ) có dạng : 
 4x 3y z d 0
Mà A(7;2;0) ( ) 4.7 3.2 0 d 0 d 34
Vậy ptmp ( ) là: 4x 3y z 34 0
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M và vuông góc với 
đường thẳng d.
Phương pháp : 
 - Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng n ud 
 - Điểm M nằm trên mặt phẳng đó.
 x 1 t
VD 4: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d : y 1 2t và điểm M (3;2; 5)
 z 4t
Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua M và vuông góc với đường thẳng d .
Hướng dẫn giải:
Do mặt phẳng ( ) vuông góc với đường thẳng d n ud (1;2; 4)
 ptmp ( ) là: 1(x 3) 2(y 2) 4(z 5) 0 x 2y 4z 27 0
LOẠI 2: Viết phương trình mặt phẳng chứa hoặc song song với giá của hai 
véc tơ không cùng phương .
Phương pháp chung : 
 - Tìm vtpt của mặt phẳng là tích có hướng của hai véc tơ không cùng 
 phương đó.
 - Tìm một điểm nằm trên mặt phẳng đó.
Nhận xét: Trong những trường hợp này, đối với các em khá giỏi các em có thể 
nắm bắt ngay tính chất của tích có hướng hai véc tơ và khái niệm véc tơ pháp 
tuyến của mặt phẳng để tìm ngay ra hai véc tơ không cùng phương có giá song 
song hoặc nằm trên mặt phẳng. Từ đó tính được véc tơ pháp tuyến của mặt 
phẳng đoa.
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua 3 điểm M, N, P.
Phương pháp : 
 - Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng n MN;MP 
 - Điểm nằm trên mặt phẳng đó là M, N hoặc P.
VD 5: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua 3 điểm A(2; 1;3), B(4;0;1),C( 10;5;3) .
Hướng dẫn giải:
Ta có: AB (2;1; 2) ; AC ( 12;6;0)
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) là : n AB; AC (12;24;24)
 Mặt phẳng ( ) đi qua điểm A(2; 1;3) .
 ptmp ( ) là: 12(x 2) 24(y 1) 24(z 3) 0 x 2y 2z 6 0
GV: Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh gia 2 5 Sáng kiến kinh nghiệm "Phân loại cách viết phương trình mặt phẳng trong không gian tọa độ 
theo hướng phát triển tư duy từ dễ đến khó"
 ptmp ( ) là: 20(x 4) 4(y 1) 4(z 4) 0 5x y z 17 0
Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa d và song song với đường thẳng 
d'
Phương pháp : 
 - Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng n u d ;u d '  
 - Điểm M thuộc d nằm trên mặt phẳng đó .
 x t x 1 2t'
VD 9: Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng d : y t và d': y t' .
 z 2t z 1 t'
Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa d và song song với d' .
Hướng dẫn giải:
Hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc được chứa trong mặt 
phẳng ( ) là: u d (1;1;2),u d ' ( 2;1;1) .
 vtpt của mặt phẳng ( ) là : n u d ;u d '  ( 1; 5;3)
 Mặt khác d đi qua điểm 0(0;0;0) nên mặt phẳng ( ) đi qua điểm O(0;0;0) .
 ptmp ( ) là: x 5y 3z 0
Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa 2 đường thẳng cắt nhau d và d'.
Phương pháp : 
 - Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng n u d ;u d '  
 - Điểm M thuộc d nằm trên mặt phẳng đó .
 x 1 2t
VD 10: Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng cắt nhau d : y 2 3t và 
 z 5 4t
 x 7 y 2 z 1
 .Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa d và d'.
 3 2 2
Hướng dẫn giải:
Hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc được chứa trong mặt 
phẳng ( ) là: u d (2; 3;4),u d ' (3;2; 2) .
 vtpt của mặt phẳng ( ) là : n u d ;u d '  ( 2;16;13)
 Mặt khác d đi qua điểm M (1; 2;5) nên mặt phẳng ( ) đi qua điểm M (1; 2;5) .
 ptmp ( ) là: 2(x 1) 16(y 2) 13(z 5) 0 2x 16y 13z 31 0
Dạng 11: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và vuông góc với mặt phẳng 
 ( )
Phương pháp : 
 - Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng n P u d ;n  
 - Điểm M thuộc d nằm trên mặt phẳng đó .
GV: Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh gia 2 7 Sáng kiến kinh nghiệm "Phân loại cách viết phương trình mặt phẳng trong không gian tọa độ 
theo hướng phát triển tư duy từ dễ đến khó"
Phương pháp : 
 - Điểm M, N lần lượt thuộc đường thẳng d, d' nên M, N thuộc mặt phẳng 
 (P)
 - Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng n P MN;u d  
VD 14: Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng song song 
 x 1 y 2 z x 2 y 2 z
 d : và d': .Viết phương trình mặt phẳng 
 1 2 2 2 4 4
 (P) chứa 2 đường thẳng d, d' .
Hướng dẫn giải:
Do mặt phẳng (P) chứa d, d' nên nó đi qua M (1;2;0), N(2;2;0)
Hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc được chứa trong mặt 
phẳng (P) là: u d (1;2; 2), MN (1;0;0) .
 vtpt của mặt phẳng (P) là : n P u d ;MN (0; 2; 2)
 Mặt khác mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1;2;0) .
 ptmp (P) là: 0(x 1) 2(y 2) 2(z 0) 0 y z 2 0
LOẠI 3: Viết phương trình mặt phẳng khi tìm được ngay véc tơ pháp tuyến 
và liên quan đến khoảng cách và mặt cầu.
Phương pháp chung: 
 - Tìm vtpt của mặt phẳng?
 - Dựa vào yếu tố đã biết suy ra phương trình mặt phẳng đó.
Nhận xét: Sau khi đã được học hai loại trên thì các em sẽ dễ dàng làm hơn với 
loại này, tuy nhiên các em cũng sẽ hơi lúng túng khi vận dụng các kiến thức về 
khoảng cách và mặt cầu.
Dạng 15: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng ( ) và cách 
 A một khoảng bằng h.
Phương pháp : 
 - Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng n P n . Suy ra dạng phương trình 
 mặt phẳng đó.
 - Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) bằng h .
VD 15: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( ) : 2x 2y z 6 0 và điểm 
 A(3;0;5) .Viết phương trình mặt phẳng ( ) song song với mặt phẳng ( ) và cách 
điểm A một khoảng bằng 4.
Hướng dẫn giải:
Do mặt phẳng ( ) song song với ( ) nên mặt phẳng ( ) có dạng:
 2x 2y z D 0
 6 0 5 D D 1
Ta có: d(A;( )) 4 4 D 11 12 
 4 4 1 D 23
Vậy có hai mặt phẳng ( ) là: 2x 2y z 1 0
 2x 2y z 23 0 
Dạng 16: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với 2 đường thẳng d, d' và 
tiếp xúc với mặt cầu (S) tâm I bán kính R.
GV: Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh gia 2 9