Sáng kiến kinh nghiệm Một vài mệnh đề về hàm số

 Sáng kiến kinh nghiệm : Một vài mệnh đề về hàm số 
 PHN M U 
1.Lí DO CHN  TÀI. 
Trong quỏ trỡnh hc toỏn, làm toỏn và dy toỏn khi 12 tụi nhn thy c i 
n v cõu hi ph ca hàm s luụn là nhng bài toỏn hay thng xuyờn 
xut hin trong c thi tt nghip ng nh c  thi i c. Rt nhiu hc 
sinh khi c ht chơng nh ri nhng vn cha thtng hp c c phơng 
p m i, ng nh khụng thm c i tp vcõu hi ph ca hàm s 
mc i tp khụng h. nh do nh vy tụi n i y vi 
hy ng rng trong c nm tip theo a snghip y c tụi p cho c 
sinh khi c phn hàm s thtng hp c phơng p m i th
nh hng nhanh khi gp mti tp liờn quan n cõu hi ph ca hàm s . 
2. MC ÍCH NGHIấN CU: 
Giỳp hc sinh tng hp c c kin thc liờn quan ti hàm s , nhn ng 
nhanh vi tp cõu hi ph ca hàm stnh hng c cỏch i và 
t tin hơn khi gp phi cỏc bài toỏn hàm s. 
3.NHIM V NGHIấN CU: 
Nghiờn cu c mnh v hàm snh hng ch mi tp liờn quan ti 
hàm s. 
 1 
Giáo Viên:Nguyễn Khắc Thành Tr−ờng THPT Thủy Sơn Sáng kiến kinh nghiệm : Một vài mệnh đề về hàm số 
Bài tp ỏp dng. 
Bài 1: Cho yx=3 −3 mx 2 + 2 mm( − 4) x + 9 mmCm 2 − ( ) . Tỡm m  (Cm) ct Ox 
 ti 3 im cú hoành  theo th t lp thành cp s cng. 
Gii: Gi x1,, x 2 x 3 ln lt là hoành  giao im ca  th hàm s vi trc 
 ⇒
hoành, thỡ x1,, x 2 x 3 theo th t lp thành cp s cng x1+ x 3 = 2 x 2 (1) 
Mt khỏc x1,, x 2 x 3 là 3 nghim ca phơng trỡnh hoành  : 
 x3−3 mx 2 + 2 m( m − 4) x + 9 m 2 − m = 0 
Theo nh lý viet cho phơng trỡnh bc ba ta cú: x1+ x 2 + x 3 = 3 m (2) 
Thay (1) vào (2) ta c : x2 = m . 
 3 3 2 2
Vy ta cú y( x2 ) = y( m) =0 ⇔ m − 3 m + 2 m( m − 4) + 9 m − m = 0 
 m = 0
 ⇔m2 − m =0 ⇔  
 m =1
Th li: +)Vi m= 0 ⇒ y= x3  th hàm s y= x3 ct Ox ti 1 im 
 ⇒ m = 0 loi 
 +)Vi m=1⇒ y= x3 − 3 x 2 − 6 x + 8 
 Xột phơng trỡnh hoành  : x3−3 x 2 − 6 x + 8 = 0 
 x = −2
 
 ⇔x =1 
 x = 4
Vỡ x = -2; x =1; x =4 theo th t lp thành cp s cng . vy m =1 tha món . 
Kt lun : m =1 là giỏ tr cn tỡm. 
Bài 2 : Cho y= x3 −3 x 2 − 9 x + m( Cm) Tỡm m  (Cm) ct Ox ti 3 im cú 
 hoành  theo th t lp thành cp s cng. 
Gii: Gi x1,, x 2 x 3 ln lt là hoành  giao im ca  th hàm s vi trc 
 ⇒
hoành, thỡ x1,, x 2 x 3 theo th t lp thành cp s cng x1+ x 3 = 2 x 2 (1) 
Mt khỏc x1,, x 2 x 3 là 3 nghim ca phơng trỡnh hoành  : 
 x3−3 x 2 − 9 x + m = 0 
Theo nh lý viet cho phơng trỡnh bc ba ta cú: x1+ x 2 + x 3 = 3 (2) 
Thay (1) vào (2) ta c : x2 =1. 
Vy ta cú y( x2 ) = y(1) = 0 ⇔ 1 − 3 − 9 + m = 0 ⇔ m = 11 
Th li: 
 +)Vi m=11⇒ y= x3 − 3 x 2 − 9 x + 11 
 3 
Giáo Viên:Nguyễn Khắc Thành Tr−ờng THPT Thủy Sơn Sáng kiến kinh nghiệm : Một vài mệnh đề về hàm số 
 y( x) = y(2) = 0 ⇔ 8 − 4( 3 m + 1) + 2( 5 m + 4) − 8
 2 
 ⇔4 − 2m = 0 ⇔ m = 2
Th li: 
 +)Vi m= 2⇒ y= x3 − 7 x 2 + 14 x − 8 
 x =1
 3 2 
 Xột phơng trỡnh hoành  : x−7 x + 14 x − 8 = 0 ⇔ x = 2 
 x = 4
Nhn thy : x=1; x = 2; x = 4 theo th t lp thành cp s nhõn. 
vy m =2 tha món . 
Kt lun : m =2 là giỏ tr cn tỡm. 
Mnh  3 : ng thng qua im cc i ,im cc tiu (nu cú ) ca  th 
hàm bc ba ( y= a. x3 + b . x 2 + c . x + d( a ≠ 0))là phn d ca phộp chia y cho y′ . 
Chng minh:Xột hàm s y= a. x3 + b . x 2 + c . x + d( a ≠ 0) 
 TX: D = R 
 y′ =3 a . x2 + 2 b . x + c 
Gi s hàm s cú cc i, cc tiu, khi ú phơng trỡnh y′ = 0 cú 2 nghim phõn 
bit là x1; x 2 
 Gi im cc i là: (x1; y 1 ) ; im cc tiu là T(x2; y 2 ) 
Ta luụn cú y= y′( x)...*(α x +β ) + m x + n ( ) 
 (m. x+ n chớnh là phn dư ca phộp chia y cho y’) 
Thay ta  ca  vào (*) ta c : y1= m. x 1 + n ( 1) 
Thay ta  ca T vào (*) ta c : y2= m. x 2 + n ( 2) 
T (1) và (2) ta suy ra phơng trỡnh ng thng qua im cc i ,im cc 
tiu ca hàm s là y= m. x + n .(iu phi chng minh) 
Chỳ ý :Khi làm bài tp vit phương trỡnh ưng thng qua im cc i, im 
cc tiu ca hàm s bc 3 ta cn tỡm iu kin ca tham s  hàm s cú cc 
i, cc tiu trưc.sau ú mi vn dng cỏch làm ca mnh   làm bài. 
Bài tp ỏp dng : 
Bài 4. Cho hàm s y=2 x3 + 3( m − 1) x 2 + 6 m( 1 − 2 m) x( Cm) . 
a.Tỡm m  hàm s (Cm) cú cc i ,cc tiu . 
b.Vit phơng trỡnh ng thng qua im cc i, im cc tiu ca (Cm). 
c.Tỡm m  im cc i, im cc tiu ca (Cm) nm trờn ng thng 
(d): y= − 4 x 
Gii : 
 5 
Giáo Viên:Nguyễn Khắc Thành Tr−ờng THPT Thủy Sơn Sáng kiến kinh nghiệm : Một vài mệnh đề về hàm số 
 ⇔3x2 + 2 mx + 7 = 0 cú hai nghim phõn bit 
 m > 21
 ⇔ ∆′ =m2 −21 > 0 ⇔  
 m < − 21
 1m  2 7 m
 Ta cú : y= y′() x. x +  +() 21 − m2 . x + 3 − () * 
 3 9  9 9
 m > 21
 Vi  thỡ (Cm) cú cc i, cc tiu. 
 m < − 21
 Gi im cc i ca (Cm) là: (x1; y 1 ) ; im cc tiu ca (Cm) là 
 T( x2; y 2 ) 
 22 7m
Thay ta  ca  vào (*) ta c : y1=()21 − m . x 1 + 3 − () 1 
 9 9
 22 7m
Thay ta  ca T vào (*) ta c : y2=()21 − m . x 2 + 3 − () 2 
 9 9
T (1) và (2) ta suy ra phơng trỡnh ng thng qua im cc i ,im cc 
 2 7m
tiu ca hàm s (Cm) là y=()21 − m2 . x + 3 − () d 
 9 9
  tha món yờu cu bài toỏn ta phi cú 
 2 45 3 10
 ∆⊥⇔d()21 − m2 .3 =−⇔ 1 m 2 = ⇔=± m (tha món) 
 9 2 2
 3 10
 Kt lun: m = ± tha món yờu cu bài toỏn. 
 2
Bài 6:Tỡm m  hàm s y= x3 −3 x 2 + m 2 x + m( Cm) cú im cc i, im cc 
tiu i xng nhau qua ng thng (∆):x − 2 y − 5 = 0. 
 Gii: Xột hàm s y= x3 −3 x 2 + m 2 x + m 
 TX: D = R 
 y′ =3 x2 − 6 x + m 2 
 Hàm s cú cc i, cc tiu khi và ch khi phơng trỡnh y′ = 0 cú hai 
 nghim phõn bit 
 ⇔y′ =3 x2 − 6 x + m 2 = 0 cú hai nghim phõn bit 
 ⇔ ∆′ =9 − 3m2 > 0 ⇔ − 3 < m < 3 
 1 1  2 m2
 Ta cú : y= y′() x. x −  +() m2 − 3 . x + + m () * 
 3 3  3 3
 Vi −3 <m < 3 thỡ (Cm) cú cc i, cc tiu. 
 7 
Giáo Viên:Nguyễn Khắc Thành Tr−ờng THPT Thủy Sơn Sáng kiến kinh nghiệm : Một vài mệnh đề về hàm số 
 2 
 x= t x= ± t1
Khi ú ta cú  1 ⇔  
 x2 = t 
  2 x= ± t2
Nh vy theo th t t nh n ln ta cú : x1= − t 2,,, x 2 = − t 1 x 3 = t 1 x 4 = t 2 
Mà x1,,, x 2 x 3 x 4 theo th t lp thành cp s cng 
⇒
 x4− x 3 = x 3 − x 2 ⇔ t 2 =3 t 1 ⇔ t 2 = 9 t 1 (iu phi chng minh) 
Chỳ ý :Khi làm bài tp tỡm tham s   th hàm trựng phương ct trc hoành 
ti 4 im cú hoành  theo th t lp thành cp s cng thỡ lờn vn dng cỏch 
chng minh mnh  trờn  làm bài, cn chỳ ý tỡm iu kin  phương trỡnh 
hoành  cú 4 nghim phõn bit. 
Bài tp ỏp dng : 
 4 2
Bài 7. Cho hàm s y= x −2( m + 1) x + 2 m + 1( Cm) .Tỡm m   th hàm s 
(Cm) ct Ox ti 4 im phõn bit cú hoành  theo th t lp thành cp s cng. 
Gii : Gi x1,,, x 2 x 3 x 4 ln lt là hoành  giao im ca  th hàm s vi trc 
hoành, thỡ x1,,, x 2 x 3 x 4 là 4 nghim phõn bit ca phơng trỡnh hoành  giao 
im : x4−2( m + 1) x 2 + 2 m + 1 = 0 
Xột phơng trỡnh: x4−2( m + 1) x 2 + 2 m + 1 = 0( 1) 
t x2 = t iu kin (t ≥ 0) 
Ta cú phơng trỡnh : t2 −2( m + 1) . t + 2 m + 1 = 0( 2) 
 phơng trỡnh (1) cú 4 nghim phõn bit ⇔ phơng trỡnh (2) cú 2 nghim 
phõn bit ln hơn 0 
 2
 ⇔t −2( m + 1) . t + 2 m + 1 = 0 cú 2 nghim phõn bit t1; t 2 ln hơn 0 
 
 2
 ∆′ =()m +1 − 2 m − 1 > 0 m2 > 0
   1
 ⇔S =+= t1 t 2 2() m +>⇔ 1 0  m >−⇔−<≠ 1 m 0 
   2
 P= t. t = 2 m + 1 > 0 1
  1 2 m > −
  2
(gi s 0 <t1 < t 2 ) 
 2 
 x= t x= ± t1
Khi ú ta cú  1 ⇔  
 x2 = t 
  2 x= ± t2
Nh vy theo th t t nh n ln ta cú : x1= − t 2,,, x 2 = − t 1 x 3 = t 1 x 4 = t 2 
Mà x1,,, x 2 x 3 x 4 theo th t lp thành cp s cng 
⇒
 x4− x 3 = x 3 − x 2 ⇔ t 2 =3 t 1 ⇔ t 2 = 9 t 1 
 9 
Giáo Viên:Nguyễn Khắc Thành Tr−ờng THPT Thủy Sơn Sáng kiến kinh nghiệm : Một vài mệnh đề về hàm số 
H qu: ng thng qua im cc i và im cc tiu ca hàm s 
 ax 2 +bx + c 2ax b
 y=() a. a1 ≠ 0 là y = + . 
 a1 x+ b 1 a1a 1
(Cỏch chng minh h qu tương t như chng minh mnh  5) 
Chỳ ý : Khi làm bài tp vit phương trỡnh ưng thng qua im cc i và 
im cc tiu ca hàm s phõn thc hu t,ta cn chỳ ý tỡm iu kin  hàm s 
cú cc i , cc tiu. Sau ú cn ưa ra mnh  5 và chng minh mnh  sau 
ú ỏp dng vào bài tp. 
Bài tp ỏp dng : 
 x2 −2 x + m + 2
Bài 8. Cho hàm s y = (Cm) .Vit phơng trỡnh ng thng i 
 x+ m −1
 qua im cc i và im cc tiu ca (Cm). 
 x2 −2 x + m + 2
 Gii: Xột hàm s : y = 
 x+ m −1
 TX: D= R\{ 1 − m} 
 x2 +2( m − 1) x − 3 m
 Cú y′ = 
 ()x+ m −1 2
Hàm s cú cc i, cc tiu ⇔y′ = 0 cú 2 nghim phõn bit ≠1 − m 
 x2 +2( m − 1) x − 3 m
 ⇔ = 0 cú 2 nghim phõn bit ≠1 − m 
 ()x+ m −1 2
 ⇔x2 +2( m − 1) x − 3 m = 0 cú 2 nghim phõn bit ≠1 − m 
 2
 ∆′ =()m −1 + 3 m > 0 m2 + m +1 > 0
 ⇔ ⇔ ⇔ ∀m ∈ R 
 2  2
 ()()()1−m + 2 m − 1 1 − m − 3 m ≠ 0 −m − m −1 ≠ 0
 f( x)
B : Cho hàm s y = . Gi s hàm s cú im cc tr là M(;) x y 
 g() x 0 0
 f( x0) f′( x 0 )
Khi ú ti im M(;) x0 y 0 ta cú = 
 g() x0 g′() x 0
(vi g( x0) ≠0; g′( x 0 ) ≠ 0) 
(Chng minh như ó trỡnh bày  mnh  5) 
∀m ∈ R thỡ hàm s (Cm) luụn cú cc i, cc tiu 
 11
Giáo Viên:Nguyễn Khắc Thành Tr−ờng THPT Thủy Sơn Sáng kiến kinh nghiệm : Một vài mệnh đề về hàm số 
 2
 −x1 +3 x 1 + m
yC = y1 = y() x 1 = = −2. x 1 + 3
 x − 4
 1 
 −x2 +3 x + m
y= y = y x =2 2 = −2. x + 3
 CT 2() 2 2
 x2 − 4
Vy yC − yCT =⇔−+−−+=⇔4( 2 x1 3) ( 2 x 2 3) 4 2 x 2 −=⇔−= x 1 4 x 2 x 1 2 
 2 2
⇔( x2 − x 1) =4 ⇔( x 1 + x 2) − 4 x 1 . x 2 = 4( *) 
 2
Mt khỏc x1; x 2 là hai nghim ca phơng trỡnh −x +8 x − m − 12 = 0 . Theo nh 
 x+ x = 8
lý Viet ta cú  1 2 Thay vào (*) ta c: 
 x1. x 2 = m + 12
644−(m + 124164) = ⇔ − m = 4 ⇔ m = 3 (Tha món iu kin m < 4) 
Kt lun: m = 3 là giỏ tr cn tỡm. 
 x2−( m +1) x − m 2 + 4 m − 2
i 10: Tỡm m  hàm s : y= () Cm cú cc tr và 
 x −1
( yC . yCT )nh nht . 
 x2−( m +1) x − m 2 + 4 m − 2
Gii: Xột hàm s : y = 
 x −1
 TX: DR= \{ 1} 
 x2−2 x + m 2 − 3 m + 3
 Cú y′ = 
 ()x −1 2
Hàm s cú cc i, cc tiu ⇔y′ = 0 cú 2 nghim phõn bit ≠ 1 
 x2−2 x + m 2 − 3 m + 3
 ⇔ = 0 cú 2 nghim phõn bit ≠1 
 ()x −1 2
 ⇔x2 −2 x + m 2 − 3 m + 3 = 0 cú 2 nghim phõn bit ≠ 1 
 ∆′ =1 −m2 + 3 m − 3 > 0  − m 2 + 3 m − 2 > 0
 ⇔ ⇔  ⇔1 <m < 2 
 1− 2 +m2 − 3 m + 3 ≠ 0  m 2 − 3 m + 2 ≠ 0
 f( x)
 B  : Cho hàm s y = . Gi s hàm s cú im cc tr là M(;) x y 
 g() x 0 0
 f( x0) f′( x 0 )
Khi ú ti im M(;) x0 y 0 ta cú = 
 g() x0 g′() x 0
(vi g( x0) ≠0; g′( x 0 ) ≠ 0) 
(Chng minh như ó trỡnh bày  mnh  5) 
Vi 1<m < 2 thỡ hàm s (Cm) cú cc i, cc tiu 
 13
Giáo Viên:Nguyễn Khắc Thành Tr−ờng THPT Thủy Sơn