Sáng kiến kinh nghiệm Một số ứng dụng của phép biến hình vào giải toán trắc nghiệm lớp 12

 PHẦN 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1. Lý do chọn đề tài
 Năm học 2016-2017, Bộ Giáo dục và Đào tạo thực hiện đổi mới trong kỳ 
thi Trung học Phổ thông Quốc gia (THPTQG). Trong đó môn toán được đổi từ 
hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm. Việc thay đổi đã tạo nên 
nhiều bỡ ngỡ cũng như khó khăn cho cả giáo viên và học sinh trong việc ôn luyện. 
Hình thức thi trắc nghiệm môn toán đòi hỏi một số cách tiếp cận vấn đề mới so 
với hình thức thi tự luận. Hơn nữa nội dung của kỳ thi THPTQG năm học 2016-
2017 môn toán, theo chủ trương của Bộ Giáo dục và Đào tạo, chủ yếu là kiến thức 
lớp 12 và dựa trên nền các kiến thức các lớp trước đó.
 Phép biến hình trong mặt phẳng đã được đề cập ở các lớp trước lớp 12 và 
tập trung ở chương I hình học lớp 11 nên trong quá trình giải bài tập trắc nghiệm 
các em thường quên hoặc chưa nắm chắc cách vận dụng các phép biến hình vào 
giải bài tập.
 Vì những lý do trên, cùng với sự giúp đỡ chỉ đạo của Ban Giám hiệu nhà 
trường và tổ chuyên môn, tôi thực hiện viết sáng kiến kinh nghiệm với tên:” Một 
số ứng dụng của phép biến hình vào giải toán trắc nghiệm lớp 12”.
2. Cơ sở lý luận và thực tiễn
 Lịch sử toán học cho thấy đại số được phát triển trên nền tảng hình học 
trước đó. Rất nhiều công trình của các nhà toán học lớn như Descartes, Fermat 
đã nghiên cứu về vấn đề này. 
 Trong khuôn khổ của sáng kiến kinh nghiệm tôi đề cập đến hai nội dung: 
Hàm số và số phức.
 Trong nội dung hàm số, với mỗi hàm số y f (x) xác định trên D ta 
đơn ánh:
 D ¡ 2
 x (x; f (x))
Suy ra:
 3 PHẦN 2. 
 MỘT SỐ ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH 
 VÀO GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM LỚP 12
1. Ứng dụng phép biến hình vào nội dung hàm số
1.1. Dựng đồ thị của một hàm số thông qua các phép biến hình từ đồ thị của 
một hàm số đã cho
1.1.1. Đồ thị hàm số y f (x) m 
 Giả sử M (x; f (x)) thuộc đồ thị 
 hàm số y f (x) đặt tương ứng với 
 điểm M '(x; f (x) m) thuộc đồ thị 
 hàm số y f (x) m. Dễ thấy qui tắc 
 trên là một đơn ánh.
 Do đó, đồ thị hàm số 
 y f (x) m được suy ra từ đồ thị 
 hàm số y f (x) bằng phép tịnh tiến 
 theo véc tơ v (0;m) .
 Hình 1.1.1
 Từ đó ta thấy nếu m 0 thì từ đồ thị hàm số y f (x) ta “dịch lên” theo 
trục tung m đơn vị ta sẽ thu được đồ thị hàm số y f (x) m. Nếu m 0 từ đồ 
thị hàm số y f (x) ta “dịch xuống” theo trục tung m đơn vị ta sẽ thu được đồ 
thị hàm số y f (x) m. Hiển nhiên, m 0 thì phép tịnh tiến trên trở thành 
phép đồng nhất.
 Chú ý: Nếu m 0 thì không có điểm bất động.
 5 1 1
 Nếu k 1 0 1 do đó là phép co với hệ số co . 
 k k
 1 1
 Nếu 0 k 1 1đo đó là phép dãn với hệ số dãn . 
 k k
 Nếu k 0 thì ta dựng đồ thị hàm số y f ( kx) sau đó lấy đối xứng qua 
trục tung.
 Điểm bất động là những điểm nằm trên trục tung.
1.1.4. Đồ thị hàm số y kf (x),k 0 
 Giả sử M (x; f (x)) thuộc đồ thị 
 hàm số y f (x) đặt tương ứng với 
 điểm M '(x;kf (x)) thuộc đồ thị hàm 
 số y kf (x) . Dễ thấy qui tắc trên là 
 một đơn ánh.
 Do đó, đồ thị hàm số y kf (x) 
 được suy ra từ đồ thị hàm số 
 y f (x) bằng phép co dãn theo trục 
 tung. 
 Hình 1.1.4
 Nếu k 1 do đó là phép dãn với hệ số dãn k . 
 Nếu 0 k 1đo đó là phép co với hệ số co k . 
 Nếu k 0 thì ta dựng đồ thị hàm số y kf (x) sau đó lấy đối xứng qua 
trục hoành.
 Điểm bất động là những điểm nằm trên trục hoành.
 7 1.1.6. Đồ thị hàm số y f ( x ) 
 Giả sử M (x; f (x)) thuộc đồ thị 
 hàm số y f (x) đặt tương ứng với 
 điểm M '(x; f ( x )) thuộc đồ thị hàm 
 số y f ( x ). Dễ thấy qui tắc trên là 
 một đơn ánh. 
 Hình 1.1.6
 f (x), x 0
 Vì f ( x ) f (0), x 0 nên đồ thị hàm số y f ( x ) được suy ra 
 f ( x), x 0
từ đồ thị hàm số y f (x) bằng cách bỏ phần bên trái trục tung, lấy đối xứng 
phần bên phải trục tung qua trục tung.
 Những điểm nằm trên trục tung là những điểm bất động.
1.1.7. Đồ thị của y f (x) 
 f (x) 0
 Ta có y f (x) y f (x) đo 
 y f (x)
 đó đồ thị của y f (x) được suy ra 
 từ đồ thị của hàm số y f (x) bằng 
 cách bỏ phần bên dưới trục hoành, lấy 
 đối xứng phần bên trên trục hoành 
 Hình 1.1.7
 qua trục hoành.
 9 Hướng dẫn:
 Theo 1.1.1 và 1.1.5 thì đồ thị hàm số y f (x) m được suy ra từ đồ thị 
hàm số y f (x) bằng cách thực hiện phép tịnh tiến theo v(0;m) sau đó dựng 
đồ thị hàm trị tuyệt đối.
 Dễ thấy nếu m 1;m 3 thì 2 cực trị của hàm số y f (x) m nằm 
hoàn toàn bên dưới hoặc bên trên trục hoành. Do đó khi dựng đồ thị hàm trị 
tuyệt đối y f (x) m sẽ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
 Hình1.2.4 Hình 1.2.5
 Nếu hai cực trị hàm số
 y f (x) m nằm về hai phía trục 
 hoành thì khi đựng đồ thị hàm số 
 y f (x) m sẽ có 5 cực trị. 
 (Hình 1.2.6)
 Hình 1.2.6
Vậy chọn A.
 11 Hướng dẫn:
 x
 Theo 1.1.3 và 1.1.4 ta suy ra đồ thị hàm số y 3 f ( ) từ đồ thị hàm số 
 2
 y f (x) bằng cách thực hiện phép dãn theo trục hoành với hệ số dãn 2 ( Hình 
 3
1.2.10) sau đó thực hiện phép dãn theo trục tung với hệ số dãn (Hình 1.2.11).
 2
 Hình 1.2.10 Hình 1.2.11
Vậy M 3,m 0 M m 3 . Chọn D.
Bài 5. Tìm m để hệ phương trình sau có ba nghiệm phân biệt
 x3 2x 1 m 0 .
 9 4 6 9 4 6 9 4 6
A. m B. 0 m 
 9 9 9
 9 4 6 9 4 6 9 4 6
C. m 0 D. m 
 9 9 9
Hướng dẫn: 
 13 Cho hàm số y f (x) có đồ thị như 
 hình bên ( Hình 1.3.2). Số đường tiệm 
 cận của hàm số y f ( x ) là
 A. 1 B. 2
 C. 3 D. 5
 Hình 1.3.2
 x 1
Bài 5. Giá trị của m để phương trình m có 4 nghiệm phân biệt là
 x 1
A. m 1 B. m 1 C. m 1 m 1 
 15 biểu diễn cho z, w thì điểm N được suy ra từ điểm M bằng cách thực hiện liên 
 1
tiếp phép quay tâm O góc quay và phép vị tự tâm O tỉ số .
 r '
2.1.5. Phép lấy số phức liên hợp
 Dựa trên định nghĩa số phức liên hợp ta có nhận xét sau:
 Nếu M biểu diễn cho số phức z và M ' biểu diễn cho số phức z thì M 
và M ' đối xứng với nhau qua trục Ox .
2.1.6. Phép lấy mô đun
 Giả sử điểm M biểu diễn số phức z khi đó OM z .Giả sử điểm M 
biểu diễn số phức z1 , điểm N biểu diễn số phức z2 . Khi đó MN z2 z1 .
2.2. Một số biểu diễn hình học của số phức thường gặp
2.2.1. Đường thẳng 
 Phương trình ARe z B Im z C 0, A2 B2 0 biểu diễn cho đường 
thẳng. Đường thẳng còn có thể được biểu diễn bởi phương trình 
 2 2 2
 z a1 b1i z a2 b2i k .
2.2.2. Đường tròn, hình tròn
 Phương trình z (a bi) R biểu diễn đường tròn tâm I(a;b) bán kính 
 R . Phương trình z (a bi) R biểu diễn hình tròn tâm I(a;b) bán kính R .
2.2.3. Đường Elip
 Phương trình z (a1 b1i) z (a2 b2i) 2a , a 0, 
 2 2
 2a (a2 a1 ) (b2 b1 ) biểu diễn cho Elip có tiêu điểm F1(a1;b1 ), F2 (a2 ;b2 ) 
và độ dài trục lớn là 2a . 
 Nếu F1  F2 thì Elip suy biến thành đường tròn.
 17 Theo 2.1.3, để biểu diễn số phức 2z ta thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 
quay Arg2 0 ( Đây là phép đồng nhất) và phép vị tự tâm O tỉ số 2 2. Do 
đó chọn C.
 Bài 2. Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 1. Biết rằng các điểm biểu 
diễn số phức w (1 i)z 5 2i là một đường tròn. Tìm tâm và bán kính đường 
tròn đó.
Hướng dẫn:
 Vì z 1 2i 1 nên các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm 
 I(1; 2) bán kính R 1. 
 Chú ý rằng:
 Phép quay biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính, biến tâm 
thành tâm. Phép vị tự tỉ số k biến đường tròn thành đường tròn có bán kính k R
, biến tâm thành tâm.
 Do đó theo 2.1.3, các điểm biểu diễn số phức (1 i)z là đường tròn (C ') . 
Vì (1 i)(1 2i) 3 i nên tâm của (C ') là I '(3; 1). Bán kính của (C ') là 
 R ' 1 i .1 2 .
 Theo 2.1.1, các điểm biểu diễn số phức w (1 i)z 5 2i là đường tròn 
 (C ''). Vì (1 i)(1 2i) 5 2i 3 i 5 2i 8 3i nên tâm của (C '') là 
 I ''(8; 3) . Phép tịnh tiến không làm thay đổi bán kính nên bán kính của (C '') là 
 R '' R ' 2 .
 Vậy tâm là (8; 3) , bán kính là 2 .
 19 C. D.
Hướng dẫn:
 Để tìm hình biểu diễn cho số phức w ta thực hiện lần lượt các phép biến 
hình sau:
Ě Phép đối xứng trục Ox .
Ě Phép quay tâm O góc quay 90 .
Ě Phép tịnh tiến theo v (1;1).
Do đó chọn A.
 Bài 4. Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i z 3 i 20 , w1,w2 là hai số 
phức thỏa mãn phương trình w (3 4i)z 1 2i . Tìm giá trị lớn nhất của 
 w1 w2 .
Hướng dẫn:
 Theo 2.2.3 thì z 1 2i z 3 i 20 là một đường elip có độ dài trục 
lớn là 20. Theo 2.1.1 và 2.1.3 thì w (3 4i)z 1 2i cũng là elip có độ dài trục 
lớn là (3 4i)20 100. Do đó max w1 w2 100.
 21 Bài 1. Cho số phức z1 thỏa mãn z1 2 và số phức z2 thỏa mãn z2 5 1. Giá 
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z1 z2 là M ,m . Khi đó Mm là
A. 16 B. 8 C. 2 D. 4
Bài 2. 
 Cho số phức z có miền biểu 
 diễn là miền trong kể cả biên của hình 
 vuông như hình vẽ ( Hình 2.4.1). Diện 
 tích miền biểu diễn số phức 
 w (4 i)(z 2 3i) 5 3i là.
 A. 17 B. 17 
 17
 C. 1 C. Hình 2.4.1
 2
 2 2
Bài 3. Cho số phức z1 thỏa mãn z1 2 z1 i 1 và số phức z2 thỏa mãn 
 z2 4 i 5 . Giá trị nhỏ nhất của z1 z2 
 2 5 3 5
A. B. 5 C. 2 5 D. 
 5 5
Bài 4. Cho số phức z 1 i . Khi đó z100 bằng 
A. 250 ( 1 i) B. ( 1 i) C. 250 D. 2100 ( 1 i)
Bài 5. Trong mặt phẳng phức cho elip có phương trình z 1 z 1 4 . Biết 
rằng số phức w (1 2i)z 1 i được biểu diễn bởi một elip. Tính diện tích elip 
đó.
A. 5 3 B. 10 3 C. 10 3 D. 5 
 23