Sáng kiến kinh nghiệm Một số ứng dụng của hàm số

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC 
 TRƯỜNG THPT LÊ XOAY 
 =====***===== 
 BÁO CÁO KẾT QUẢ 
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 
Tên sáng kiến: 
Một số ứng dụng của hàm số 
Tác giả sáng kiến: Nguyễn Thị Thanh 
Mã sáng kiến: 21.52 
 Vĩnh Phúc, năm 2020 
 1 
 MỤC LỤC 
1. Lời giới thiệu 4 
2. Tên sáng kiến 4 
3. Tác giả sáng kiến 4 
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến 4 
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến 4 
6. Ngày sáng kiến được áp dụng thử 4 
7. Mô tả bản chất sáng kiến 4 
 Cơ sở lí luận và thực tiễn 4 
 7.1. Nội dung của sáng kiến 5 
 A. Lí thuyết giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 5 
 B. Phương pháp hàm số tìm GTLN – GTNN 6 
 1. GTLN – GTNN của hàm số 6 
 2. GTLN – GTNN của biểu thức chứa nhiều biến 
 9 
 C. Ứng dụng của GTLN – GTNN 34 
 1. Ứng dụng vào bài toán giải phương trình, bất phương trình chứa tham số 34 
 2. Ứng dụng vào bài toán thực tế 
 39 
 D. Một số câu hỏi trắc nghiệm 4 5 
 7.2. Về khả năng áp dụng của sáng kiến 47 
8. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến 47 
9. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến 47 
 kinh nghiệm theo ý kiến của tác giả 
10. Danh sách những tổ chức cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng 48 
 sáng kiến lần đầu 
 3 
 sinh giỏi, đề thi THPT Quốc gia, những bài toán này thường ở dạng khó ở mức 
vận dụng cao phải sử dụng kết hợp các phương pháp. 
 Từ thực tế trên mục đích của đề tài là xây dựng được phương pháp tìm 
tòi có căn cứ để giải bài toán: dựa vào các bất đẳng thức, các hàm trung gian sau 
đó kết hợp với phương pháp hàm số để tìm được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 
của biểu thức. 
7.1. Nội dung của sáng kiến. 
A. Lí thuyết giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 
 1. Định nghĩa: 
 Định nghĩa: Cho hàm số y f() x xác định trên tập D 
 Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y f x trên tập D nếu: 
 f(), x M  x D
 x00 D,() f x M
 Kí hiệu: M max f ( x ) . 
 D
 Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập D nếu: 
 f(), x m  x D
 x00 D,() f x m
 Kí hiệu: m min f ( x ) 
 D
 2. Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên đoạn [a; b] 
a. Định lí: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có GTLN và GTNN trên đoạn 
đó. 
b. Qui tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên đoạn [a; b] 
 Tìm các điểm x12, x ,..., xn trên khoảng ab; tại đó fx'( ) bằng 0 hoặc không xác 
định. 
 Tính f( a ), f ( x12 ), f ( x ),..., f ( xn ), f ( b ) 
 Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên 
 M max f( x ), m min f ( x ) 
 [a; b] [a; b]
Nhận xét. 
 min f x f a 
 ab; 
 fx() đồng biến trên ab;  ; 
 max f x f b 
 ab; 
 min f x f b 
 ab; 
 nghịch biến trên ab;  . 
 max f x f a 
 ab; 
3. Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số trên (a; b) 
 5 
 1
Thử lại, ta thấy chỉ có x là nghiệm của fx 0. 
 3
 1
Ta có f( 2) 3; f (5) 4; f 2 
 3
 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2 tại x 
 3
Nhận xét: Sử dụng đạo hàm đối với bài này là không khó. Tuy nhiên học sinh lại 
khá lúng túng trong việc giải phương trình fx 0. Thế nhưng khi chuyển thành 
bài toán trắc nghiệm thì học sinh dễ dàng tìm ra được đáp án. Cách sử dụng máy 
tính casio để tìm GTLN, GTNN của hàm số giống với bài 1. 
 xx 192
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y trên khoảng 0; 
 81x2 
Giải 
 xx 1 92 1
Ta có: y . 
 81x2 91xx2 
Hàm số y đạt giá trị lớn nhất trên khoảng 0; khi hàm số 
 f x 91 x2 x đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng 0; 
Xét hàm số f( x ) 9 x2 1 x trên 0; 
 91x fx 0
 f x 1 x 
 2 
 91x x 0; 62
Bảng biến thiên 
 1
 x 0 
 62
 fx 0 + 
 1 
 fx 4
 32
 1 4 3 2
Từ bảng biến thiên ta có minf x f m ax y 
 0; 6 2 3 2 0; 4
Bài tập đề nghị 
 x 1
 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y trên đoạn  1;2 
 x2 1
 7 
 Vậy maxyf (2 2) 5 2 2 
  4;4
Nhận xét: Sau khi đổi biến thì việc tìm tập giá trị của biến mới luôn là phần khó 
và quan trọng, nếu không tìm đúng tập giá trị của biến mới sẽ dẫn đến đáp số sai. 
Khi tìm được tập giá trị của biến mới rồi thì bài toán trở nên dễ dàng khi đưa về 
dạng thường gặp 
Bài tập đề nghị 
 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y 33 x4 2 x 2 1 3 x 2 1 3. 
 sinx 1
 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y .. 
 sin2 xx sin 1
 x 12 2
 3. Cho hàm số fx(). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 
 x2 1
 hàm số y f( x ). f (1 x ) trên đoạn  1;1 
 4. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 
 2 1-x4 + 1 + x 2 + 1 - x 2 + 3
 fx( ) = 
 1+xx22 + 1 - + 1
2. GTLN – GTNN của biểu thức chứa nhiều biến 
2.1 Đưa trực tiếp biểu thức chứa nhiều biến thành biểu thức chứa 1 biến 
 5 41
Bài 1. Cho xy,0 và xy . Tìm GTNN của biểu thức P . 
 4 xy4
Nhận xét: Bài toán trên có thể cho học sinh lớp 10 làm được bằng cách sử dụng 
bất đẳng thức Cosi thế nhưng cái khó của bài toán là tìm điều kiện ẩn x, y để P đạt 
 41
GTNN. Nhưng khi thế y theo x vào biểu thức thì biểu thức thành P 
 xx54 
là một hàm số ẩn x, khi đó ta dễ dàng tìm được GTLN, GTNN của biểu thức 
Giải 
 5
Từ giả thiết suy ra 4yx 5 4 và 0, xy 
 4
 41 5
Do đó P với 0 x 
 xx54 4
 4 1 5
Xét hàm số: f x , x 0; 
 xx5 4 4
 44
Ta có: fx ; f x 01 x 
 x2 54 x 2
Bảng biến thiên 
 9 
 t 2 2
Xét hàm ft() . Ta có 
 2tt2 3 1
 2 4t32 ( t 1) 3(2 t t 3)
 f'( t ) 0,  t  1;2. 
 (2tt2 3) 2 (1 ) 2
 34
Suy ra ft() nghịch biến trên 1;2, do đó P P( xy ) f ( t ) f (2) 
 33
 z xy
Đẳng thức xảy ra : x x 4, y 1, z 2. 
 t 2
 y
 34
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng khi x 4, y 1, z 2 
 33
Bài 3. Cho xy 0, 0 và xy 1.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức S (4 x22 3 y )(4 y 3 x ) 25 xy 
Nhận xét: 
Từ giả thiết có thể đưa bài toán về một ẩn không ? 
Khai triển biểu thức S cố gắng làm xuất hiện xy để sử dụng giả thiết. 
Chú ý các hằng đẳng thức: x2 y 2 ( xy ) 2 2 xyx ; 3 y 3 ( xyxxyy )( 2 2 ) 
 Sau khi khai triển và thế vào , ta có S 16 x22 y 2 xy 12 
Vậy đến đây ta nghĩ đến việc có thể đưa S về hàm một biến số nếu đặt t xy 
 ()xy 2
Cần chặn biến t bằng cách sử dụng bất đẳng thức : 0 xy . 
 4
Giải 
Ta có : S (4 xyyx2 3 )(4 2 3 ) 25 xy 16 xy 2 2 12( xy 3 3 ) 34 xy 
 16x2 y 2 12( x y )( x 2 xy y 2 ) 34 xy 
 16x2 y 2 12[( x y ) 2 3 xy ] 34 xy , do x y 1 
 16x22 y 2 xy 12 
 (xy )2 1 1
Đặt . Do nên 00 xy t 
 4 4 4
 1
Xét hàm số f( t ) 16 t2 2 t 12 với 0 t . 
 4
 1
Ta có f'( t ) 32 t 2 ; f'( t ) 0 t . 
 16
Bảng biến thiên 
 11 
 Từ bảng biến thiên ta có 1 f ( t ) 4 1 A 16 
 1
Vậy giá trị lớn nhất của A là 16 khi xy . 
 2
Bài 5. Cho các số thực ab, thỏa mãn điều kiện b 1 và a b a. Tìm giá trị 
 a
 nhỏ nhất của biểu thức Pa log 2log 
 a b b
 b 
Giải 
 a 1
Từ điều kiện, suy ra . 
 b 1
 1 1 4
Ta có Pa 4 logb 1 4 . 
 1log ab 1log a b log a b
 1
Đặt tb log . Do a b a log a log b log a t 1 
 a a a a 2
 14
Khi đó P 4. 
 1 tt
 14
 ft( ) 4 1
Xét hàm số trên ;1 
 1 tt 2
 1 4 3tt2 8 4
Ta có ft 
 '( ) 2 2 2
 11 t t t t2
 2
 t 
 ft'( ) 0 3 
 t 2
Ta có bảng biến thiên 
 1 2
 t 1 
 2 3
 f’(t) – 0 + 
 6 
 f(t) 
 5 
 2
Từ bảng biến thiên ta có ft() đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 khi t . 
 3
 13