Sáng kiến kinh nghiệm Một số thủ thuật sử dụng máy tính cầm tay Casio để định hướng nhanh cách giải các bài toán hệ phương trình trong kì thi THPT Quốc gia

 SỞSỞ GIÁOGIÁO DỤCDỤC VÀVÀ ĐÀOĐÀO TẠOTẠO THANHTHANH HOÁHOÁ
 TRTRƯỜƯỜNGNG THPTTHPT NÔNGNÔNG CCỐỐNGNG 22
 SÁNGSÁNG KIẾNKIẾN KINHKINH NGHIỆMNGHIỆM
 MMỘỘTT SSỐỐ THTHỦỦ THUTHUẬẬTT SSỬỬ DDỤỤNGNG MÁYMÁY TÍNHTÍNH CCẦẦMM TAYTAY 
 CASIOCASIO ĐỂĐỂ ĐỊĐỊNHNH HHƯỚƯỚNGNG NHANHNHANH CÁCHCÁCH GIGIẢẢII CÁCCÁC BÀIBÀI 
TOÁNTOÁN HHỆỆ PHPHƯƠƯƠNGNG TRÌNHTRÌNH TRONGTRONG KÌKÌ THITHI THPTTHPT QUQUỐỐCC GIAGIA
 NgườiNgười thực thực hiện: hiện: Lê Lê Thị Thị Phương Phương
 ChứcChức vụ: vụ: Giáo Giáo viên viên
 SKKNSKKN thuộc thuộc môn: môn: Toán Toán
 THANH HOÁ NĂM 2016 1 I. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài.
 Hệ phương trình là một chuyên đề rất quan trọng trong hệ thống kiến thức 
chương trình môn Toán THPT nói chung và trong chương trình môn Toán lớp 
10 nói riêng. Trước đây trong hầu hết các đề thi đại học, cao đẳng đều có câu Hệ 
phương trình. Từ năm 2015 đến nay, Hệ phương trình là một trong ba câu phân 
loại học sinh giỏi trong đề thi THPT Quốc Gia.
 Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy học sinh rất ngại học chuyên đề 
hệ phương trình vì các em cho rằng có quá nhiều phương pháp giải hệ phương 
trình và rất khó định hướng chính xác phương pháp giải cho mỗi bài. Để giải 
quyết tốt bài toán hệ phương trình học sinh không những chỉ cần nắm vững kiến 
thức về các phương pháp giải hệ phương trình mà còn phải có đầu óc phân tích 
nhạy bén để định hướng đúng phương pháp giải. Chính vì thế mà đa số học sinh 
học yếu chuyên đề này, về phần giáo viên cũng gặp không ít khó khăn khi 
truyền đạt nội dung kiến thức. 
 Hiện nay, máy tính cầm tay Casio đã trở nên vô cùng quen thuộc và hữu 
dụng đối với học sinh phổ thông trong giải toán. Trong SGK hiện hành cũng 
lồng ghép rất nhiều bài thực hành giới thiệu cách sử dụng máy tính cầm tay 
Casio. Với tư tưởng dạy học sinh không chỉ dạy kiến thức cho các em mà còn 
cần phải dạy cả khả năng vận dụng, khả năng kết nối các môn khoa học, bằng 
những kinh nghiệm giảng dạy của cá nhân mình tôi đã đưa ra một số thủ thuật 
sử dụng máy tính cầm tay Casio nhằm hỗ trợ định hướng nhanh chóng và chính 
xác lời giải cho bài toán hệ phương trình. Hy vọng tài liệu nhỏ này sẽ tháo gỡ 
được những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong 
muốn nâng dần chất lượng dạy và học.
2. Mục đích nghiên cứu.
 Xuất phát từ thực tế kì thi THPT Quốc gia, với các em học sinh sử dụng 
kết quả môn Toán để xét tuyển đại học, thì sự cạnh tranh chủ yếu diễn ra ở bộ ba 
câu phân loại. Một trong bộ ba câu này thường rơi vào chủ đề Hệ phương trình 
với trọng số 1 điểm. Tôi đã viết tài liệu: “Một số thủ thuật sử dụng máy tính cầm 
tay Casio để định hướng nhanh cách giải các bài toán hệ phương trình trong kì 
thi THPT Quốc Gia” nhằm mục đích cung cấp thêm cho các em học sinh một tài 
liệu tham khảo hữu ích, một vũ khí đắc lực, kim chỉ nam mang tính chất định 
hướng để rút ngắn con đường đi tìm lời giải hệ phương trình.
 Ngoài ra, tác giả viết tài liệu này còn mong chờ nó sẽ là một tài liệu hay 
được bạn bè, đồng nghiệp đón nhận, đánh giá cao, sử dụng làm tài liệu trong quá 
trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh.
3. Đối tượng nghiên cứu.
 Đối tượng nghiên cứu trong đề tài này là các thủ thuật của máy tính cầm 
tay Casio giúp định hướng nhanh lời giải hệ phương trình.
 3 Ta sẽ xét biểu thức khi x 1000 . Dựa vào chữ số hàng đơn vị, hàng 
nghìn, hàng triệu, hàng tỉ,  ta sẽ tìm được hệ số tự do, hệ số x, hệ số x2 , 
Ví dụ xét: f x =ax3 bx2 cx d thì f 1000 a00b00c00d 109 a . Suy ra 
 f 1000 
 a .
 109
 Làm thế nào để tính nhanh giá trị biểu thức khi x 1000 . Ta sẽ dùng 
phím CALC, cho x 1000 và ấn “=” thì máy sẽ hiển thị kết quả của biểu thức 
khi x 1000 .
Để hiểu rõ hơn ta hãy xem cách làm ví dụ 1 ở trên:
Thực hiện: 
Bước 1: Nhập biểu thức vào máy.
Bước 2: Tính giá trị của f 1000 bằng cách bấm lần lượt: “CALC” “1000” “=”
Máy hiển thị: 9.9410992 1011 . 
Vậy f 1000 9.9410992 1011 1012 x4 .
Bước 3: Tính giá trị của f 1000 x4 bằng cách quay lại màn hình nhập biểu 
thức f X X 4 . Bấm tiếp: “CALC” “1000” “=”. Máy hiển thị: 5989007998. 
Vậy f 1000 x4 5989007998 6.109 6x3 .
Hoàn toàn tương tự ta tính được: 
 f 1000 x4 6x3 10992002 11.106 11x2 .
 f 1000 x4 6x3 11x2 7998 8.103 8x .
 f 1000 x4 6x3 11x2 8x 2.
Vậy f x x4 6x3 11x2 8x 2.
 2
Đáp số: A 2x 1 x2 3x 1 x4 6x3 11x2 8x 2.
3.1.2. Thủ thuật tìm nghiệm của phương trình (thủ thuật 2).
Ví dụ 2: Giải phương trình: 2x 1 x2 3x+1 0 
 (Đề thi đại học khối D năm 2006)
Ý tưởng : Thông thường với dạng toán này ta sẽ bình phương hoặc đặt ẩn để 
đưa về phương trình bậc 4. Ở đây ta làm theo hướng bình phương hai vế:
 1 
Điều kiện xác định: x ; 
 2 
 2
 2x 1 x2 3x+1 0 2x 1 x2 3x 1 0 
 x4 6x3 11x2 8x 2 0 1 (theo ví dụ 1)
 Câu hỏi đặt ra là làm sao để tìm các nghiệm của phương trình này? Câu 
trả lời là ta dùng phím SOLVE để tìm nghiệm, nhưng trong một số trường hợp 
 5 Phương trình f x 0 là phương trình bậc 3 nên ta có thể thực hiện như sau để 
giải: bấm lần lượt “MODE” “5” “4”. Nhập a 1 ; b 5 ;c 6 ;d 2 được 
 x1 3,414213562 ; x2 1; x3 0.5857864376. Vậy f x có thể phân tích 
thành nhân tử mà trong đó có một nhân tử là x 1 
 f x x3 5x2 6x 2
Dùng thủ thuật 1 để rút gọn : g x . 
 x 1 x 1
Ta được g x x2 4x 2.
Từ các kết quả trên ta có: A x2 4x 2 x 1 2 .
Kết quả: A x2 4x 2 x 1 2 .
3.1.4. Thủ thuật chia biểu thức một biến có chứa căn (thủ thuật 4).
a. Trường hợp biểu thức có một căn.
 2x 1 x2 3x+1
Ví dụ 4: Thực hiện phép chia sau: f x .
 x 2x 1 1 
Phân tích: f x ax b c 2x 1 hoặc f x ax b cx d 2x 1 
Xác định chỉ có căn thức: 2x 1 . Chọn x sao cho 2x 1 không nguyên. 
Chọn được x 2, x 3 .
Nhập biểu thức rồi “CALC” với x 2 được kết quả: 2 3 . Tiếp tục “CALC” 
với x 3 được kết quả: 3 5 . Nhận thấy hệ số của căn đều là 1 vậy 
 f x ax b c 2x 1 với c 1.
Quay lại biểu thức, để tìm a ta sửa biểu thức thành 
 2 
 2x 1 x 3x+1
 2x 1 : x rồi “CALC” với x thật to: x 1000 ra kết 
 x 2x 1 1 
quả là 1. Vậy a 1.
 2x 1 x2 3x+1
Quay lại biểu thức, sửa biểu thức thành 2x 1 x rồi 
 x 2x 1 1 
“CALC” với x tùy ý: x 2 ra kết quả là 0. Vậy b 0 .
Kết quả là f x x 2x 1 
b. Trường hợp biểu thức có nhiều căn.
Ví dụ 5: Thực hiện phép chia sau: 
 7x 2 6 x 1 8 x 1 8 x2 1
 f x 
 x 1 2 x 1 1
 7 căn: giải phương trình 2x 1 x2 3x+1 0. Ra một nghiệm xấu là 
3.414213562 , lưu nghiệm này là A.
Thực hiện : Trước hết chọn c 1 nhập vào MODE TABLE biểu thức 
 f X XA 2A 1 . (X là để dò, A là biến chứa nghiệm đã giải được).
Khoảng chạy khuyên dùng là  14;14 với Step 1 
Nhận được f 1 1 là đẹp. Suy ra a 1 ; b 1. Vậy xuất hiện một nhân tử 
là x 2x 1 1 ? Nên nhớ ta vừa đổi dấu trước căn nên nhân tử của ta phải 
là: x 2x 1 1 x 2x 1 1 .
Sử dụng kết quả của Ví dụ 4 trong thủ thuật 4 ta thu được kết quả là:
 2x 1 x2 3x+1 x 2x 1 1 x 2x-1 
Kết quả: 2x 1 x2 3x+1 x 2x 1 1 x 2x-1 
b. Trường hợp phương trình có nhiều căn.
Ví dụ 6: Phân tích thành nhân tử
 7x 2 6 x 1 8 x 1 8 x2 1
Phân tích: Điều kiện: x 1 
Nhập biểu thức rồi SHIFT SOLVE với x 10 ra kết quả 3.398111694 . Lưu 
nghiệm này vào A. Tiếp tục giải với các giá trị khởi tạo khác đều cho ta nghiệm 
A.
Tìm thêm một nghiệm ngoại lai bằng cách đổi dấu trước các căn x 1 , x 1 
và không đổi dấu trước căn x2 1, ta có phương trình mới 
 7x 2 6 x 1 8 x 1 8 x2 1 0 . Nhập biểu thức rồi SHIFT SOLVE 
với x 10 ra kết quả 1.046332751. Lưu nghiệm này vào B. Tiếp tục giải với các 
giá trị khởi tạo khác đều cho ta nghiệm B.
 40 32 20 4 7
Nhận thấy A B ; AB và A B . Từ đó tìm được A . Suy 
 9 4 9
 1 2 7 2 7
ra x 1 , x 1 . Suy ra tiếp được x 1 2 x 1 1 0 . 
 3 3
Vậy xuất hiện nhân tử là: x 1 2 x 1 1 .
 7x 2 6 x 1 8 x 1 8 x2 1
Thực hiện phép chia f x . Từ kết quả 
 x 1 2 x 1 1
của ví dụ 5 ta được kết quả: 7x 2 6 x 1 8 x 1 8 x2 1
 x 1 2 x 1 1 3 x 1 2 x 1 3 . 
 9 Y 0 1 2 3 4
 X 0 0 0.5 1 1.5
Vậy ta dự đoán Y 2X 1.
Ta thử phân tích nhé:
 2 2x x2 y y x2 y x2 y 0 x2 y 2x y 1 0 
Kết quả hoàn toàn như mong đợi!
Hướng giải quyết thứ hai tuy có lâu hơn hướng 1 nhưng giúp ta dự đoán nhân tử 
dễ dàng hơn.
3.1.7. Thủ thuật nhẩm nghiệm của hệ phương trình hai ẩn (thủ thuật 7).
 xy x 1 7y 1 
Ví dụ 8: Nhẩm nghiệm của hệ 
 2 2 2
 x y xy 1 13y 2 
Phân tích: Thật ra cách nhẩm nghiệm này dựa vào phương pháp thế. Từ một 
phương trình rút 1 ẩn ra theo ẩn còn lại rồi thế vào phương trình thứ hai đưa về 
phương trình 1 ẩn có thể tìm nghiệm dễ dàng.
 7y 1
Thực hiện: 1 x do y 1 không thỏa mãn hệ.
 y 1
Thế vào phương trình hai ta được: 
 2
 2 7y 1 7y 1 2
 y y 1 13y 0 
 y 1 y 1 
 y2 7y 1 2 y y 1 7y 1 y 1 2 1 13y2 0 
Dùng thủ thuật 1 đưa về : 36y4 33y3 5y 2 y 1 0 
 y 1 x 1
Nhập biểu thức vào máy rồi dùng SHIFT SOLVE được nghiệm: 1 
 y x 3
 3
3.2. Định hướng lời giải hệ phương trình nhờ thủ thuật Casio.
3.2.1. Hệ phương trình đa thức hệ số nguyên.
 xy x 2 0 1 
Ví dụ 9: Giải hệ phương trình: 
 3 2 2 2
 2x x y x y 2xy y 0 2 
 (Đại học khối D năm 2012)
Ý tưởng
 Ta có thể dùng thủ thuật 7 để nhẩm nghiệm của hệ rồi tìm mối quan hệ 
giữa x, y nhưng từ phương trình (1) rút y theo x hoặc x theo y rồi thế vào 
phương trình (2) thì phương trình (2) sẽ trở nên khá cồng kềnh, phức tạp. Vậy ta 
quay sang xem xét phân tích phương trình (2) thành nhân tử nhờ thủ thuật 6. Ở 
ví dụ 7 bằng thủ thuật 6 ta đã phân tích phương trình (2) thành nhân tử. Vậy ta 
có lời giải cho bài toán:
 11