Sáng kiến kinh nghiệm Một số thủ thuật làm đơn giản bài toán tính tích phân từng phần

 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Nguyễn Thị Thu Hà
 MỤC LỤC
 Trang
 1. MỞ ĐẦU 2
1.1. Lý do chọn đề tài 2
1.2. Mục đích nghiên cứu 2
1.3. Đối tượng nghiên cứu3
1.4. Phương pháp nghiên cứu3
 2. NỘI DUNG 4
2.1. Cơ sở lí luận 4
2.2 .Thực trạng của đề tài 4 10
2.3. Hiệu quả của đề tài 10
 3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 11
 1 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Nguyễn Thị Thu Hà
1.3, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 
 Chương : Nguyên hàm,Tích phân và chủ yếu là một số dạng toán tính tích phân 
từng phần .
1.4, PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau :
 a. Nghiên cứu tài liệu : 
- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục .... có liên quan đến nội dung đề tài.
- Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo.
 b. Nghiên cứu thực tế :
 - Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp về nội dung tích phân .
 - Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học.
 - Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án đã thông qua các 
tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi của đề tài.
 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Nguyễn Thị Thu Hà
 cách thông thường thì có thể phải tính tích phân từng phần nhiều lần . Cũng 
 trong chuyên đề này việc chọn hằng số C của hàm số v(x) cũng làm cho việc 
 b
 tính tích phân vdu đơn giản hơn rất nhiều làm giảm được thời gian làm bài và 
 a
 đơn giản bài toán khi tính tích phân sinh ra .
B. Cách giải quyết vấn đề và một số bài toán vận dụng :
Dạng 1 : Cách tách hàm số trong tích phân.
Khi tính tích phân bằng công thức tích phân từng phần nếu ta chọn u,v một cách 
 b
khéo léo thì việc tính tích phân vdu sẽ đơn giản . Phần này trao đổi với các bạn 
 a
một số kĩ năng khi tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần.Tách tích 
 b
phân thành 2 phần , lấy từng phần 1 phần sao cho phần còn lại khử vdu .
 a
 2
Ví dụ 1: Tính I e2x x2 4x 1 dx 
 0
Khi gặp bài toán này thì phần lớn học sinh sẽ làm :
 u x2 4x 1 du 2x 4 dx
 đặt : thì phải tính 2 lần tích phân từng phần thì mới 
 2x 1 2x
 dv e v e
 2
ra kết quả . Để tránh điều này ta thêm bớt để thành phần vdu khử hết phần còn lại . 
 2 2 2
 I e2x x2 4x 1 dx e2x x2 3x dx e2x x 1 dx
 0 0 0
Khi đó ta giải bài toán này như sau :
 u x2 3x du 2x 3 dx
Đặt : 
 2x 1 2x
 dv e v e
 2
 1 2 2 1 2
 I e2x x2 3x e2x 2x 3 dx e2x x 1 dx
 2 2 
Vậy : 0 0 0
 1 2 2 1 1 2 1 2 19e4 1
 e2x x2 3x e2xdx e2x x2 3x e2x 
 2 0 0 2 2 0 4 0 4
 5 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Nguyễn Thị Thu Hà
 u x4 x3 3x2 5x du (4x3 3x2 6x 5)dx
Đặt : 
 x x
 dv e v e
Vậy : 
 1 1
 1
 M ex x4 x3 3x2 5x ex 4x3 3x2 6x 5 dx ex 4x3 3x2 6x 1 dx
 0 
 0 0
 1
 2e 4exdx 2e 4
 0
Dạng 2: Cách chọn hằng số C: 
Đa số các bài tập học sinh đều ngầm chọn C = 0. Tuy nhiên, qua các ví dụ và 
phân tích sau đây cho thấy việc chọn C 0 làm cho tích phân đơn giản đi rất 
nhiều. Với mỗi bài toán tùy thuộc vào đặc điểm hàm số mà việc chọn C cũng thay 
đổi theo.
 1
Ví dụ 4: Tính N = 2x ln(x2 1)dx 
 0
 Đối với bài toán này thì đại đa số học sinh đều giải theo cách thông thường : 
 2 2x
 u ln x 1 du 2 dx
 Cách 1 : đặt : x 1 
 2
 dv 2xdx v x
 1 1 1
 1 2x3 1 2x
 Do đó : N x2 ln x2 1 dx x2 ln x2 1 2xdx dx 
 0 2 0 2
 0 x 1 0 0 x 1
Ta nhận thấy sau khi sử dụng công thức thì tích phân phải tính còn rất phức tạp , ta 
phải biến đổi và sử dụng tích phân đổi biến số mới làm được .
Tôi hướng dẫn học sinh cách chọn hệ số điều chỉnh sao cho tử của v chứa x2 1 để 
rút gọn.
 Cách 2 : 
 2 2x
 u ln x 1 du 2 dx
 Đặt : x 1
 2
 dv 2xdx v x 1
 1 2 1
 1 2x x 1 1
 => N x2 1 ln x2 1 dx x2 1 ln x2 1 2xdx = 2ln2 – 1
 0 2 0 
 0 x 1 0
 b
Như vậy khi ta chọn C = 1 thì việc tạo ra vdu là đơn giản nên có thể tính được 
 a
ngay.
Giáo viên cho học sinh làm bài tương tự : 
 7 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Nguyễn Thị Thu Hà
 4 tan x(cos x sin x)
Sau đó tôi cho học sinh tính P = dx đây là tích phân phức tạp 
 0 sin x cos x
và không quen thuộc. Để tính được nó ta phải dùng phương pháp đổi biến nhiều và 
phức tạp khi tính toán
Cũng tương tự như ví dụ trên ta cần chọn hệ số điều chỉnh để tích phân sinh ra đơn 
giản. Chọn C để rút gọn được sinx + cosx của mẫu du.
Tôi hướng dẫn học sinh cách chọn và đưa ra lời giải như sau :
Giải :
 cos x sinx
 Đặt u ln(sin x cos x) thì du = dx 
 sinx cos x
 1
 dv = dx chọn v tan x 1 
 cos2 x
 sinx cos x
 Ta chọn c = 1 vì tan x 1 = khử nhân tử sinx cosx .
 cos x
 sinx cosx 4 4 cosx-sinx 4 sinx 
 P = ln(sinx cosx) dx ln 2 1 dx 
 cosx 0 0 cosx 0 cos x 
 1 
 = ln 2 x ln cos x 4 ln 2 
 0 2 4
Tương tự ta cho học sinh làm bài toán sau:
 4 ln(2sinx-3cos x)
Ví dụ 8 : Tính R = dx
 2
 0 sin x
 2cosx+3sinx
 u ln 2sin x 3cos x du dx
 2sin x 3cos x 3
Đặt : Chọn c = 
 1 3 2sin x 3cos x 2
 dv v tanx- 
 sin2 x 2 2cos x
 2sin x 3cos x 4 4 2cos x 3sin x
Vậy : R = ln 2sin x 3cos x dx ( tính như ví dụ 7 )
 2cos x 0 0 2cos x
Từ ví dụ 7 và ví dụ 8 ta có thể tổng quát bài toán tích phân dạng : 
 b ln(msin x ncos x) b ln(msin x ncos x) n n
 dx ; dx với cách chọn c= hoặc c = 
 2 2
 a sin x a cos x m m
 9 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Nguyễn Thị Thu Hà
3. KẾT LUẬN , KIẾN NGHỊ
3.1. KẾT LUẬN
 Việc giảng dạy cho học sinh theo hướng phát hiện các yếu tố của bài toán để 
làm cho bài toán đơn giản bằng cách cho học sinh hiểu rõ, hiểu sâu sắc phương 
pháp giải một dạng bài toán là tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh chủ động tư 
duy, tìm tòi ứng dụng và sáng tạo trong quá trình giải toán. Đồng thời giúp học sinh 
có mối liên hệ qua lại giữa các dạng bài toán có liên quan. 
 Qua kinh nghiệm nhỏ này tôi muốn vận dụng phương pháp mới vào quá trình 
giảng dạy đặc biệt là ôn luyện cho học sinh lớp 12 có kiến thức giải phần tích phân.
3.2.KIẾN NGHỊ
 Với đề tài này tôi đã triển khai trong quá trình dạy học sinh lớp 12 ban 
KHTN và các lớp ban Cơ bản học theo khối mang lại hiệu quả là rất tốt. Vì vậy tôi 
hy vọng đề tài này sẽ đóng góp vào việc giải bài toán đã nêu trên, và được đồng 
nghiệp khai thác mở rộng hơn nữa, là tài liệu tham khảo cho các em học sinh lớp 
12 trong quá trình học tập cũng như ôn thi kỳ thi THPT Quốc gia hàng năm.
Mặc dù đã cố gắng biên soạn chuyên đề nhưng không thể tránh khỏi thiếu sót và 
hạn chế rất mong được sự góp ý của quý bạn đọc và thầy, cô giáo để chuyên đề 
hoàn thiện hơn.
 Xin chân thành cảm ơn!
TÀI LIỆU THAM KHẢO
 + Sách giáo khoa Giải tích 12 - Nhà xuất bản giáo dục
 + Tài liệu tập huấn sách giáo khoa - Nhà xuất bản Giáo dục
 + Sách bồi dưỡng phương pháp tính tích phân – Hà Văn Chương
 + Báo Toán học tuổi trẻ- Nhà xuất bản giáo dục
 + Các đề thi đại học các năm trước . 
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 10 tháng 5 năm 2016 
 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của 
 mình viết, không sao chép nội dung của 
 người khác.
 Nguyễn Thị Thu Hà
 11