Sáng kiến kinh nghiệm Một số sai lầm thường gặp khi tính nguyên hàm, tích phân của các hàm số hữu tỉ và vô tỉ

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
 TRƯỜNG THPT THIỆU HÓA
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI TÍNH 
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN CỦA CÁC HÀM SỐ 
 HỮU TỈ VÀ VÔ TỈ
 Người thực hiện: Phạm Thị Hằng
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc môn: Toán
 THANH HÓA NĂM 2016 1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
 Toán học là nền tảng của mọi ngành khoa học, là chiếc chìa khóa vạn 
năng để khai phá và thúc đẩy sự phát triển cho các ngành khoa học kỹ thuật, 
kinh tế, quân sự và trong cuộc sống.
 Giải tích toán học nghiên cứu về các khái niệm: Giới hạn, đạo hàm, 
nguyên hàm, tích phân,... Phép toán cơ bản của giải tích là “Phép lấy giới hạn”, 
các yếu tố được nghiên cứu trong giải tích thường trừu tượng hơn trong đại số. 
Chính vì vậy mà phần lớn học sinh THPT rất lúng túng và gặp khó khăn khi học 
giải tích nói chung và nguyên hàm, tích phân nói riêng. Bên cạnh đó trong đề thi 
THPT Quốc Gia, bài toán nguyên hàm, tích phân là không thể thiếu.
 Trong thực tế, đa số học sinh tính nguyên hàm, tích phân đặc biệt là 
nguyên hàm, tích phân của các hàm số hữu tỉ và vô tỉ một cách hết sức máy móc 
đó là: Tìm nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của 
tích phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần 
mà rất ít học sinh để ý đến hàm số đó có xác định trên miền lấy nguyên hàm, 
tích phân hay không ? Phép biến đổi hàm số dưới dấu nguyên hàm, tích phân có 
tương đương không ? Phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa 
không ? Sử dụng phương pháp tích phân từng phần có hợp lí không ? Vì thế 
trong quá trình tính nguyên hàm, tích phân học sinh mắc phải rất nhiều sai lầm 
mà chưa có tài liệu nào giúp các em tránh được những sai lầm đó. Với hy vọng 
giúp học sinh khắc phục được những nhược điểm nói trên và đạt được kết quả 
cao trong kì thi THPT Quốc Gia, tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến kinh nghiệm: 
“Một số sai lầm thường gặp khi tính nguyên hàm, tích phân của các hàm số 
hữu tỉ và vô tỉ”.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
 Giúp bản thân tự học hỏi, tự nâng cao kiến thức về phần này.
 Vận dụng vào quá trình giảng dạy, đặc biệt là ôn cho học sinh thi THPT 
Quốc gia.
 Giúp học sinh nắm vững kiến thức, đạt kết quả cao trong quá trình học 
tập.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
 Một số sai lầm thường gặp khi tính nguyên hàm, tích phân của các hàm số 
hữu tỉ và vô tỉ.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
 Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin, lựa chọn các ví 
dụ cụ thể, phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học sinh để từ đó đưa ra lời giải 
đúng của bài toán.
 Thực nghiệm sư phạm.
 Kết hợp linh hoạt các phương pháp dạy học.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
 Dạy học là một quá trình luôn luôn vận động và phát triển không ngừng. 
 2 A B 3 A 10
 2A 3B 1 B 7
 4
 10 7 4
 I dx 10ln x 3 7ln x 2 17ln 2
 1
 1 x 3 x 2 
 Phân tích sai lầm: Học sinh không xét tính liên tục của hàm số 
 y 3x 1 trên đoạn 1; 4 và đa số học sinh cho rằng đề bài yêu cầu tính 
 x2 5x 6
tích phân thì mặc định tồn tại của phép tính tích phân đó.
 Lời giải đúng: Hàm số y 3x 1 không xác định tại x = 2 và x = 3 
 x2 5x 6
thuộc đoạn 1; 4 suy ra hàm số không liên tục trên đoạn 1; 4, do đó tích phân 
trên không xác định.
 b
 Như vậy, cần lưu ý: Khi tính tích phân f (x)d(x) cần xét xem hàm số 
 a
 y f (x) có liên tục trên đoạn a; b không. Nếu có thì sử dụng các phương 
pháp đã học để tính tiếp, còn nếu không thì kết luận ngay tích phân đó không tồn 
tại.
2.3.2. Sai lầm khi sử dụng bảng nguyên hàm của một số hàm số thường 
gặp:
 1
 n
Ví dụ 2. Tính tích phân: I x2 1 x3 dx
 0
 Học sinh đã giải như sau:
 n 1 1
 1 1 3
 n n x 1 n 1
 I x2 1 x3 dx 1 1 x3 d 1 x3 2 1
 0 3 0 3 n 1 3 n 1 
 0
 Phân tích sai lầm: Học sinh không xét trường hợp n 1
 Lời giải đúng:
 +) Trường hợp 1: Với n 1, ta có:
 1 1 3 1
 2 d 1 x 
 I x dx 1 1 ln 1 x3 1 ln 2
 3 3 
 0 1 x 3 0 1 x 3 0 3
 +) Trường hợp 2: Với n 1, ta có:
 n 1 1
 1 1 3
 n n x 1 n 1
 I x2 1 x3 dx 1 1 x3 d 1 x3 2 1
 0 3 0 3 n 1 3 n 1 
 0
 Như vậy, cần lưu ý: Với các bài toán chứa tham số, chúng ta cần hết sức 
 1
thận trọng bởi công thức u du u C chỉ đúng khi 1. Còn khi 
 1
 4 Ví dụ 4. Tính nguyên hàm: I dx
 x(1 x)
 Học sinh đã giải như sau:
 I dx dx
 x(1 x) x. 1 x
 1 1 
 Đặt x 1 x t dx dt
 2 x 2 1 x 
 x 1 x dx dt dx 2dt
 2 x. 1 x x. 1 x t
 I 2 dt 2ln t C 2ln x 1 x C
 t 
 Phân tích sai lầm: Phép biến đổi 1 1 là không tương 
 x(1 x) x. 1 x
đương. Do đó, bài giải của học sinh chỉ đúng trong trường hợp x 0 .
 Lời giải đúng: 
 1 x 0
 Điều kiện tồn tại của hàm số f (x) là: x(1 x) 0 
 x(1 x) x 1
 Ta xét hai trường hợp:
 +) Trường hợp 1: Với x 0 , ta có:
 I dx dx
 x(1 x) x. 1 x
 1 1 
 Đặt x 1 x t dx dt
 2 x 2 1 x 
 x 1 x dx dt dx 2dt
 2 x. 1 x x. 1 x t
 I 2 dt 2ln t C 2ln x 1 x C
 t 
 +) Trường hợp 2: Với x 0 , ta có:
 I dx dx
 x(1 x) x. 1 x
 1 1 
 Đặt x 1 x t dx dt
 2 x 2 1 x 
 x 1 x dx dt dx 2dt
 2 x. 1 x x. 1 x t
 I 2 dt 2ln t C 2ln x 1 x C
 t 
 Như vậy, cần lưu ý: Trước khi biến đổi hàm số f (x) dưới dấu nguyên 
 6 2 2
 I x 1 dx x 1 dx
 4 
 x x 1 x2 x2 1
 x2
 1 1
 1 2 1 2
 x dx x dx
 2
 x2 1 1
 2 x 2
 x x 
 1 1 x 1 
 2 2 
 Đặt x 1 x 1 2 t 1 1 x x dx dt
 x x x2 2 
 x 1 2 
 x 
 x 1 
 1 1 1 x dx dt
 x2 2 
 x 1 2 
 x 
 2 
 1 1 x 1 2 x 1 
 x2 x x 
 dx dt
 2
 x 1 2
 x 
 1
 1 2
 x dx dt
 2 t
 x 1 2
 x 
 2
 I dt ln t C ln x 1 x 1 2 C
 t x x 
 2 4
 ln x 1 x 1 C
 x
+) Trường hợp 2: Với x 0 , ta có:
 2 2
 I x 1 dx x 1 dx
 4 
 x x 1 x2 x2 1
 x2
 1 1
 1 2 1 2
 x dx x dx
 2
 x2 1 1
 2 x 2
 x x 
 8 Lời giải đúng:
 6 6 6
 I x2 8x 16dx x 4 2 dx x 4 dx
 0 0 0
 4 6 4 6
 2 2
 4 x dx x 4 dx 4x x x 4x 
 0 4 2 0 2 4
 16 8 18 24 (8 16) 10
 Như vậy, cần lưu ý: 2n f 2n x f x n 1, n ¥ . Do đó, khi tính 
 b b
 I 2n f 2n x dx f x dx ta phải xét dấu hàm số f x trên đoạn a, b rồi sử 
 a a
dụng tính chất của tích phân tách I thành tổng của các tích phân không chứa dấu 
giá trị tuyệt đối.
 1
 2
Ví dụ 7. Tính tích phân: I x 1dx
 4
 11 x
 Học sinh đã giải như sau:
 1 1
 1 1 1
 2 1 2 1 2
 I x 1dx x dx x dx
 4 1 2 2
 11 x 1 x 1 1
 2 1 2
 x x 
 Đặt: x 1 t 1 1 dx dt
 x x2 
 Đổi cận: Với x 1 thì t 2
 Với x 1 thì t 2
 2 2 
 I dt 1 1 dt
 2 
 2 t 2 2 t 2 t 2 
 2
 t 2 2 2
 ln 2ln
 t 2 2 2 2
 1 1
 x2 1 x2
 Phân tích sai lầm: Phép biến đổi: 4 không tương đương vì 
 1 x 1 x2
 x2
trong đoạn  1;1 chứa x 0. Nên không thể chia cả tử và mẫu cho x2 được.
 Lời giải đúng:
 2
 Xét hàm số:F x 1 ln x x 2 1
 2 2 x2 x 2 1
 10 π π π
 4 4 2 4
 2 tan t.2sin t costdt tan tdt tan2 td tan2 t
 4 2 
 0 4cos t 0 cos t 0
 π
 3 4
 tan t 1 .
 3 0 3
 Như vậy, cần lưu ý: Khi đổi biến cần phải đổi cận.
 7
 3 x 1 dx
Ví dụ 9. Tính tích phân: I 
 3
 0 3x 1
 Học sinh đã giải như sau:
 Đặt: 3x 1 t x t 1
 3
 Đổi cận: Với x 0 thì t 1
 Với x 7 thì t 8
 3
 7 t 1
 3 x 1 dx 8 1 8
 I 3 dt 1 t 2 dt
 3 3 3
 0 3x 1 1 t 3 1 t
 8 8
 2 1 5 2
 1 3 3 1 3 3 3 3 46
 t 2t dt t 2. t 
 3 1 3 5 2 1 5
 Phân tích sai lầm: Khi đổi biến 3x 1 t , học sinh không lấy vi phân 
3dx dt .
 Lời giải đúng:
 Đặt: 3x 1 t x t 1 3dx dt
 3
 Đổi cận: Với x 0 thì t 1
 Với x 7 thì t 8
 3
 7 t 1
 3 x 1 dx 8 1 8
 I 3  dt 1 t 2 dt
 3 3 3
 0 3x 1 1 t 3 9 1 t
 8 8
 2 1 5 2
 1 3 3 1 3 3 3 3 46
 t 2t dt t 2. t 
 9 1 9 5 2 1 15
 Như vậy, cần lưu ý: Khi đổi biến phải lấy vi phân hai vế.
 4
Ví dụ 10. Tính tích phân: I xdx
 2 2
 2 2x 1 3 x 1
 Học sinh đã giải như sau:
 12