Sáng kiến kinh nghiệm Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân

 Sáng kiến kinh nghiệm
 phần I: đặt vấn đề
 I. lí do chọn đề tài.
 Trong đề thi tốt nghiệp THPT , Đại học , Cao đẳng, THCN của các năm 
bài toán tích phân hầu như không thể thiếu nhưng đối với học sinh THPT bài toán 
tích phân là một trong những bài toán khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của 
định nghĩa, các tính chất , các phương pháp tính của tích phân. Trong thực tế đa 
số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là: tìm một nguyên hàm 
của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của tích phân hoặc phương 
pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần mà rất ít học sinh để ý 
đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên 
đoạn lấy tích phân hay không? phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số 
có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương đương không? vì thế trong quá 
trình tính tích phân học sinh thường mắc phải những sai lầm dẫn đến lời giải sai 
qua thực tế giảng dạy nhiều năm tôi nhận thấy rất rõ yếu điểm này của học sinh 
vì vậy tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến : “ Một số sai lầm thường gặp của học 
sinh khi tính tích phân”. Nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm 
nêu trên từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài toán tích phân nói riêng và đạt kết 
quả cao trong quá trình học tập nói chung.
 Xuất phát từ tầm quan trọng của nội dung, tính phức tạp hóa gây nên sự trở 
ngại cho học sinh trong quá trình tiếp cận với tích phân. Cùng với sự tích luỹ 
kinh nghiệm có được của bản thân qua một số năm giảng dạy. Kết hợp với những 
kiến thức mà tôi đã lĩnh hội được trong chương trình Đại học Toán mà đặc biệt là 
sự hướng dẫn tận tình của các thầy cô giáo. Tôi mạnh dạn chọn đề tài này.
 Qua đề tài, tôi mong rằng bản thân mình sẽ tìm hiểu sâu hơn về vấn đề 
này, tự phân loại được một số dạng toán tích phân, nêu lên một số phương pháp 
giải cho từng dạng bài tập. Từ đó giúp học sinh có thể dễ dàng hơn trong việc 
tính tích phân. Qua nội dung này tôi hy vọng học sinh phát huy được khả năng 
phân tích, tổng hợp, khái quát hoá qua các bài tập nhỏ. Từ đó hình thành cho học 
sinh khả năng tư duy sáng tạo trong học tập.
Nguyễn Khắc Hào 1 Trung tâm GDTX Yên Phong Sáng kiến kinh nghiệm
 Một số sai lầm của học sinh khi tính tích phân
 Bài tập minh hoạ
 2 dx
Bài 1: Tính tích phân: I = 
 2
 2 (x 1)
 2 dx 2 d(x 1) 1 1 4
* Sai lầm thường gặp : I = = =- 2 = - -1 = -
 2 2 2
 2 (x 1) 2 (x 1) x 1 3 3
* Nguyên nhân sai lầm :
 1
Hàm số y = không xác định tại x= -1  2;2 suy ra hàm số không liên 
 (x 1) 2
tục trên  2;2 nên không sử dụng được công thức newtơn – leibnitz như cách 
giải trên.
* Lời giải đúng
 1
Hàm số y = không xác định tại x= -1  2;2 suy ra hàm số không liên 
 (x 1) 2
tục trên  2;2 do đó tích phân trên không tồn tại.
* Chú ý đối với học sinh:
 b
Khi tính f (x)dx cần chú ý xem hàm số y=f(x) có liên tục trên a;b không? nếu 
 a
có thì áp dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho còn nếu không thì 
kết luận ngay tích phân này không tồn tại.
* Một số bài tập tương tự :
Tính các tích phân sau:
 5 dx 2 1
 1/ . 3/ dx
 4 4
 0 (x 4) 0 cos x
 3 1 1 x 3 .e x x 2
 2/ x(x 2 1) 2 dx . 4/ dx
 3
 2 1 x
 dx
Bài 2 :Tính tích phân: I = 
 0 1 sin x
Nguyễn Khắc Hào 3 Trung tâm GDTX Yên Phong Sáng kiến kinh nghiệm
* Lời giải đúng:
 4
I = x 2 6x 9 dx 
 0
 4 4 3 4
 = x 3 2 dx x 3d x 3 x 3 d x 3 x 3 d x 3 
 0 0 0 3
 x 3 2 x 3 2 9 1
 = - 3 4 5
 2 0 2 3 2 2
* Chú ý đối với học sinh:
 2n f x 2n f x n 1, n N 
 b b
I = 2n f x 2n f x dx ta phải xét dấu hàm số f(x) trêna;b rồi dùng tính chất 
 a a
tích phân tách I thành tổng các phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Một số bài tập tương tự: 
 2 1 
1/ I = 1 sin 2x dx ; 3/ I = x 2 2 dx
 2
 0 1 x 
 2
 3 3
 2/ I = x 3 2x 2 x dx 4/ I = tan 2 x cot 2 x 2 dx
 0 
 6
 0 dx
Bài 4: Tính I = 
 2
 1 x 2x 2
* Sai lầm thường gặp:
 0 d x 1 
I = arctan x 1 0 arctan1 arctan 0 
 2 1
 1 x 1 1 4
* Nguyên nhân sai lầm :
Học sinh không học khái niệm arctgx trong sách giáo khoa hiện thời
* Lời giải đúng:
 Đặt : x+1 = tant dx 1 tan 2 t dt
 Đổi cận: 
Nguyễn Khắc Hào 5 Trung tâm GDTX Yên Phong Sáng kiến kinh nghiệm
 t 0 ?
* Nguyên nhân sai lầm:
Khi gặp tích phân của hàm số có chứa 1 x 2 thì thường đặt x = sint nhưng đối 
 1
với tích phân này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận cụ thể với x = không tìm được 
 4
chính xác t = ?
* Lời giải đúng:
 x
 Đặt : t = 1 x 2 dt = dx tdt xdx
 1 x 2
 Đổi cận: 
 x 0 1/4
 15
 t 1 
 4
 1
 4 x 3
 I = dx =
 2
 0 1 x
 15 15
 4 2 4 3 15
 1 t tdt 2 t 15 15 15 2 33 15 2
 1 t dt t 4 
 1 
 1 t 1 3 4 192 3 192 3
* Chú ý đối với học sinh: 
Khi gặp tích phân của hàm số có chứa 1 x 2 thì thường đặt x = sint hoặc gặp 
tích phân của hàm số có chứa 1+x2 thì đặt x = tant nhưng cần chú ý đến cận của 
tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì mới làm được theo 
phương pháp này còn nếu không thì phải nghĩ đếnphương pháp khác.
*Một số bài tập tương tự:
 7 x 3 2 dx
 1/ tính I = dx 2/ tính I = 
 2 2
 0 1 x 1 x x 1
 1 x 2 1
Bài 6: Tính I = dx
 4
 11 x
Nguyễn Khắc Hào 7 Trung tâm GDTX Yên Phong Sáng kiến kinh nghiệm
 Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc giải những dạng tích 
phân như đã nêu.Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân 
tích một bài toán tích phân từ hàm số dưới dấu tích phân,cận của tích phân để lựa 
chọn phương pháp phù hợp trên cơ sở giáo viên đưa ra những sai lầm mà học sinh 
thường mắc phải trong quá trình suy luận,trong các bước tính tích phân này rồi từ 
đó hướng các em đi đến lời giải đúng.
 Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài 
tập tích phân trong sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 và một số bài trong các đề 
thi tuyển sinh vào đại học,cao đẳng và trung học chuyên nghiệp của các năm 
trước thì các em đã thận trọng trong khi tìm và trình bày lời giải và đã giải được 
một lượng lớn bài tập đó.
2/Kết quả thực nghiệm:
 Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2009-2010. 
Bài kiểm tra trên hai đối tượng lớp 12A(49 học sinh) không áp dụng sáng kiến 
vào 12B(47 học sinh) áp dụng sáng kiến như sau:
 Xếp loại
 giỏi khá Tb Yếu
 Đối tượng
 12A 50% 40% 10% 0%
 12B 0% 0% 40% 60%
 Sau khi thực hiện sáng kiến học sinh học tập rất tích cực và hứng thú đặc 
biệt là khi giải bài toán tích phân các em tính tích phân rất thận trọng và hiểu bản 
chất của vấn đề chứ không tính rập khuôn một cách máy móc như trước, đó là 
việc thể hiện việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh.
 phần III : kết luận – kiến nghị
 I. kết luận:
 Nghiên cứu, phân tích một số sai lầm của học sinh khi tính tích phân có ý 
nghĩa rất lớn trong quá trình dạy học vì khi áp dụng sáng kiến này sẽ giúp học 
Nguyễn Khắc Hào 9 Trung tâm GDTX Yên Phong Sáng kiến kinh nghiệm
5. Phương pháp giải toán Tích phân ( Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – NXB Hà 
Nội – 2005)
6. Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán ( Trần Phương và Nguyễn 
Đức Tấn – NXB Hà Nội – 2004)
 mục lục 
 trang
phần I : mở đầu1
I. Đặt vấn đề 1
II. Phương pháp nghiên cứu 1
phần II : Nội dung2
I. Cơ sở khoa học 2
II. Nội dung cụ thể 2
III. Hiệu quả của sáng kiến 8
phần III: Kết luận - kiến nghị9
Nguyễn Khắc Hào 11 Trung tâm GDTX Yên Phong