Sáng kiến kinh nghiệm Một số sai lầm phổ biến trong việc giải bài toán nguyên hàm, tích phân và hướng khắc phục

 MỤC LỤC
STT
1 1. MỞ ĐẦU
2 1.1. Lý do chọn đề tài
3 1.2. Mục đích nghiên cứu
4 1.3. Đối tượng nghiên cứu
5 1.4. Phương pháp nghiên cứu
6 2. NỘI DUNG
7 2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
8 2.2. Thực trạng và giải pháp thực hiện
9 2.3. Hiệu quả của sang kiến kinh nghiệm
10 3. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ
11 3.1. Kết luận
12 3.2. Kiến nghị
13 TÀI LIỆU THAM KHẢO
 1 góp phần nâng cao chất lượng dạy – học Toán ở trường phổ thông nói chung và 
giải các bài toán nguyên hàm, tích phân nói riêng.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
 Qua nhiều năm giảng dạy Toán ở trường phổ thông cũng như đọc nhiều 
tài liệu toán học đặc biệt là đọc các tài liệu toán học liên quan đến nguyên 
hàm, tích phân bản thân tôi nhận thấy cần phải giúp các em học sinh cũng 
như giáo viên có cách nhìn sâu sắc, chắc chắn khi giải Toán để tránh những 
sai lầm khi giải Toán.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
 Các phương pháp chủ yếu nghiên cứu trong sáng kiến này bao gồm:
- Nghiên cứu lý luận: Lựa chọn các ví dụ cụ thể để phân tích các sai lầm của học 
sinh, vận dụng năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để 
từ đó đưa ra lời giải đúng.
- Thực nghiệm sư phạm trên các lớp 12 của trường THPT Yên Định 1.
 3 2.2. Thực trạng và giải pháp thực hiện
Sau đây sáng kiến xin đưa ra một số ví dụ cụ thể trong đó có chỉ ra những sai sót 
và bình luận về những nguyên nhân sai lầm thường xẩy ra và đưa ra hướng khắc 
phục cho một số sai lầm đó:
2.2.1. Ví dụ 1. Tính I = (3x 2)3 dx .
a) Sai lầm thường gặp:
 (3x 2)4
Ta có I = (3x 2)3 dx = + C.
 4
b) Nguyên nhân sai lầm: 
 xn 1
Lời giải trên đã vận dụng công thức: xndx C, với n 1.
 n 1
Tuy nhiên trong trường hợp này phải đặt u = 3x + 2 du = 3dx.
c) Lời giải đúng:
 1 (3x 2)4
Ta có I = (3x 2)3 dx = (3x 2)3 d(3x 2) + C.
 3 12
d) Một số bài tập tương tự:
1) Tính nguyên hàm I = (5x 4)2015 dx
2) Tính nguyên hàm I = 2(1 4x)2014 dx
 0
2.2.2. Ví dụ 2. Tính I = (x 1)2 dx
 2
a) Sai lầm thường gặp:
 dt dt
Đặt t = (x + 1)2 dt = 2(x + 1)dx dx 
 2(x 1) 2 t
Với x = - 2 t = 1
 x = 0 t = 1.
 0 1 1
Khi đó I = I = (x 1)2 dx = tdt = 0.
 2 2 1
b) Nguyên nhân sai lầm: 
- Hàm số t = (x + 1)2 không phải là hàm số đơn điệu trên [- 2; 0] nên không 
thể đổi biến, đổi cận như lời giải trên mà cần viết thành hai hàm số đơn điệu 
trước khi đổi biến.
 5 2
1) I = dx .
 2
 1 x
 5
2) I = dx .
 4
 0 (x 2)
 2
3) I = dx
 2015
 0 (x 1)
 3 1
4) I = x(x 2 1) 2 dx .
 2
 2 1
5) I = dx
 4
 0 cos x
 3
2.2.4. Ví dụ 4. Tính tích phân sau I = x2 4x 4 dx
 1
a) Sai lầm thường gặp:
 3 3 3 2
 2 x 2 1 1
 x2 4x 4 x 2 dx x 2 d x 2 3 0
I = dx = 1
 1 1 1 2 2 2
b) Nguyên nhân sai lầm
- Nguyên nhân sai lầm ở trên là do học sinh nắm không rõ phép đưa ra khỏi dấu 
can bậc hai.
- Phép biến đổi x 2 2 x 2, với x 1;3 là không tưng đương.
c) Lời giải đúng
 3
I = x2 4x 4 dx 
 1
 3 3 2 3
 = x 2 2 dx x 2d x 2 [ x 2 ]d x 2 x 2 d x 2 
 1 1 1 2
 x 2 2 x 2 2
 = 2 3 1.
 2 1 2 2
* Chú ý. Ta có 2n f x 2n f x , n 1, n N 
 7 c) Lời giải đúng
 x 
 d 
 dx dx 2 4 x 
 tan tan 2
I = = 0 = tan .
 1 sin x 2 x 2 4 4 4 
 0 0 1 cos x 0 cos 
 2 2 4 
* Chú ý. Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là hàm 
số liên tục và có đạo hàm liên tục trên a;b.
d) Một số bài tập tương tự:
Tính các tích phân sau:
 dx
1) I = 
 0 sin x
 dx
2) I = .
 0 1 cos x
 1 x 2 1
2.2.6. Ví dụ 6. Tính tích phân sau I = dx
 4
 11 x
a) Sai lầm thường gặp:
 1 1 
 1 1 1 1 
 2 x 2 
I = x dx
 1 2
 1 x 2 1 1 
 2 x 2
 x x 
 1 1 
Đặt t = x+ dt 1 dx
 x x 2 
Đổi cận: Với x = -1 thì t = -2; 
 Với x =1 thì t =2.
 2 dt 2 1 1 t 2
I = = ( )dt = (ln t 2 - ln t 2 ) 2 ln 2
 2 2 2
 2 t 2 2 t 2 t 2 t 2
 2 2 2 2 2 2
 = ln ln 2 ln
 2 2 2 2 2 2
b) Nguyên nhân sai lầm
 9 Đổi cận: với x = 0 thì t = 1; 
 1 15
 với x = thì t = .
 4 4
 1
 4 x 3
Khi đó I = dx
 2
 0 1 x
 15 15
 4 2 4 3 15
 1 t tdt 2 t 15 15 15 2 33 15 2
 1 t dt t 4 
 = 1 .
 1 t 1 3 4 192 3 192 3
* Chú ý. Khi gặp tích phân của hàm số chứa 1 x 2 thì thường đặt x = sint 
hoặc gặp tích phân của hàm số chứa 1 + x 2 thì thường đặt x = tant, nhưng 
cần chú ý đến cận của tích phân đó. Nếu cận là giá trị lượng giác của góc 
đặc biệt thì mới chọn làm theo phương pháp này, còn nếu không thì phải 
chọn phương pháp khác.
d) Một số bài tập tương tự:
Tính các tích phân sau:
 7 x 3
1) I = dx 
 2
 0 1 x
 2 dx
2) I = 
 2
 1 x x 1
2.3. Hiệu quả của sang kiến kinh nghiệm
2.3.1. Hiệu quả thực tiễn
 Trong quá trình giảng dạy toán ở trường phổ thông đặc biệt là khi dạy học 
sinh giải các bài toán nguyên hàm, tích phân ban đầu học sinh gặp khó khăn, 
lúng túng đối với các bài toán như đã nêu trên. Tuy nhiên sau khi được thầy giáo 
chỉ rõ những sai lầm thường gặp, phân tích tỉ mỉ, cẩn thận để chọn lựa phương 
pháp phù hợp, hướng các em học sinh đi đến lời giải đúng.
 Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu các em học sinh giải cẩn 
thận một số bài toán nguyên hàm, tích phân trong sách giáo khoa Giải Tích lớp 
12 và một số bài toán trong các đề thi Đại học, cao đẳng của những năm gần đây 
các em đã thận trong hơn khi đi tìm và trình bày lời giải và đã giải không những 
 11 3. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.
 Sáng kiến tập trung nghiên cứu một số sai lầm của học sinh khi giải bài toán 
nguyên hàm, tích phân có ý nghĩa quan trọng trong quá trình dạy – học vì khi áp 
dụng sáng kiến này giúp học sinh nhìn thấy được điểm yếu, những hiểu biết 
chưa thực sự thấu đáo của bản thân. Từ đó các em học sinh có thể phát huy được 
tính chủ động, độc lập sáng tạo, năng lực tư duy, suy nghĩ sáng tạo, trau rồi thêm 
kiến thức về nguyên hàm, tích phân từ đó làm chủ được kiến thức, đạt được kết 
quả cao trong quá trình học tập để chuẩn bị hành trang kiến thức để các em học 
sinh tự tin bước vào kỳ thi THPT Quốc Gia đạt kết quả cao trong thời kỳ đẩy 
mạnh việc “Đổi mới căn bản và toàn diện Giáo Dục phổ thông” như hiện nay.
3.2. Kiến nghị
 Hiện nay trường THPT Yên Định 1 đẵ có một số sáng kiến kinh nghiệm mà 
chúng tôi đẵ nghiên cứu trong một số năm gần đây, có một số sách tham khảo. 
Tuy nhiên sách tham khảo viết về những sai lầm trong các chủ đề toán học còn 
hạn chế, chưa nhiều. Vì vậy, nhà trường cần quan tâm hơn nữ trong việc trang bị 
thêm các tài liệu tham khảo đặc biệt là các tài liệu viết về sai lầm thường gặp 
trong giải toán.
 Việc học sinh đọc các tài liệu viết về sai lầm khi giải toán còn hạn chế. Do đó 
nhà trường cần tuyên truyền, tổ Toán cần có những buổi ngoại khoá tuyên 
truyền để học sinh hiểu thêm, từ đó các em chủ động đến thư viện, mua thêm tài 
liệu đọc để góp phần thêm, trang bị thêm kiến thức toán học phổ thông cho bản 
thân. Từ đó các em tự tin bước vào kỳ thi THPT Quốc Gia.
 Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm 
 này là do bản thân tự làm, không sao chép 
 của người khác.
 Yên Định, ngày 26 tháng 5 năm 2016
 Người viết SKKN
 Thiều Thanh Hải
Xác nhận của BGH trường THPT Yên Định 1 
..
 13 1. Ý KIẾN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG
2. Ý KIẾN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP NGÀNH
..
 15