Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải toán hình học không gian ở trường THPT

 1. MỤC LỤC
 - Đối tượng nghiên cứu.............. 1
- Mục đích nghiên cứu ................ 1
- Đối tượng nghiên cứu.................... 1
-Phương pháp nghiên cứu.................... 1
 2. NỘI DUNG 2 
2.1. Cơ sở lí luận................... 2
2.1.1. Vài nét về sự hình thành vec tơ và tọa độ.................. 2
2.1.2. Căn cứ vào bản chất hình học............... 2
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm .............. 3
2.3. Thực hành giải một số dạng bài toán hình học không gian ................... 3
 thông qua 3 phương pháp giải khác nhau.
2.3.1. Các bài toán về tính thẳng hàng............... 3
2.3.2. Các bài toán về quan hệ song song.............. 6
2.3.3.Các bài toán về quan hệ vuông góc.............. 10
2.3.4. Các bài toán về tính khoảng cách.................. 13
2.3.5. Các bài toán về tính góc................ 16
2.4. Thực nghiệm sư phạm.............. 18
 3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 20
Tài liệu tham khảo 
Phụ lục
 0 2. NỘI DUNG
2.1. CƠ SỞ LÍ LUẬN
 2.1.1 Vài nét về sự hình thành kiến thức vec tơ và toạ độ.
 Phương pháp toạ độ đã có nguồn gốc trong lịch sử cổ đại. Các nhà thiên văn 
học Hy lạp(Hippocrates thế kỷ II-TCN,Ptolemaeus thế kỷ II ) đã dùng các toạ 
độ cầu (vĩ độ và kinh độ)để xác định các điểm khác nhau trên trái đất, tuy 
nhiên sự phát triển của phương pháp toán học này đã bị kìm hãm do chưa có 
ký hiệu bằng chữ và quan niệm tổng quát về số.
 Việc không có những phương pháp toán học tổng quát để giải các bài toán 
và chứng minh một số định lý hình học là một hạn chế rất lớn của hình học sơ 
cấp.Trong vật lý, cơ học, kỹ thuật ... người ta thấy hạn chế này một cách sâu 
sắc khi gặp những đường, những mặt phức tạp như đường Parabol, đường 
hypecbol, đường elip..., mặt Paraboloit, mặt Hypecboloit,....Cho đến thế kỷ 
XVII, nhà toán học Đêcac(R.Descartes)(1596-1650) đã sáng lập ra môn hình 
học giải tích một cách độc lập với Phecma(P.Fermat)(1601-1665). Hai ông đã 
cống hiến cho khoa học một phương pháp mới – phương pháp toạ độ làm cơ 
sở cho hình học giải tích, môn học đã dùng hệ toạ độ để chuyển những hình 
ảnh của hình học về ngôn ngữ của đại số.
 Có thể nói, sự ra đời của khái niệm toạ độ và sau đó là khái niệm vec tơ đã 
góp phần thúc đẩy sự phát triển của lý thuyết toán học và sự ứng dụng của 
toán học vào thực tế đời sống.
 2.1.2 Căn cứ vào bản chất toán học của kiến thức hình học.
 Một nội dung,một khái niệm toán học có thể diễn đạt theo ngôn ngữ,ký hiệu 
khác nhau.Chẳng hạn:
 + Khái niệm: “M là trung điểm của đoạn thẳng AB”
 M AB
 (theo ngôn ngữ tổng hợp)
 MA MB
 MA MB 0 ( theo ngôn ngữ vec tơ)
 x x
 x A B
 M 2
 yA yB
 yM (theo ngôn ngữ toạ độ)
 2
 zA zB
 zM 
 2
 + Khái niệm: “đường thẳng AB”
 2 + Chứng minh với điểm O tuỳ ý có: OC t.OB l.OA (t l 1)
* Phương pháp toạ độ Chọn hệ trục toạ độ Oxyz
+ Biểu thị toạ độ A,B,C theo hệ toạ độ đã chọn: A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB) 
,C(xC;yC;zC)
+ Tính toạ độ của AB(xB x A , y B y A , z B z A ) , AC(xC x A , yC y A , zC z A )
 xC x A t.(xB x A
+ Chỉ ra sự tồn tại t R sao cho yC y A t.(y B y A )
 zC z A t.(z B z A )
Hoặc thay toạ độ cuả điểm C vào phương trình đường thẳng AB thấy thoả mãn
Ví dụ 1:Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1. Gọi G là trọng tâm tam giác 
A1BD. Chứng minh rằng A,G,C1 thẳng hàng.
Lời giải
* Phương pháp tổng hợp: Chứng minh A,G,C1 cùng thuộc hai mặt phẳng khác 
nhau.
 A
Ta có: G A1O  (ACC1 A1 ) nên G (ACC1 A1 ) .
 O D
Vậy A,G,C1 (ACC1 A1 ) . B
 C
Mặt khác G DI  (ADC1 B1 ) nên G
 I
G (ADC1 B1 ) .
Vậy A,G,C (ADC B ) .
 1 1 1 A1
 D1
Từ trên suy ra ba điểm A,G,C1 thẳng hàng
 B1
 C1
Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc,biểu diễn các dữ kiện của bài toán sang ngôn ngữ vec tơ:
 - Chọn hệ vec tơ gốc AA1 , A1 B1 , A1 D1 .Theo bài ra, G là trọng tâm tam giác 
 2
A1BD nên A G .A O .
 1 3 1
 - Để chứng minh rằng A,G,C1 thẳng hàng, ta chứng minh A1G t.AC1
+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán.
 2
Ta có: AC AA A C A A A B A D , AG AA A G A A .A O
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1
 1 1 1
 = AA .(A B A D) = .( A A A B A D ) . AC
 1 3 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1
+ Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp
 2
 Như vậy,ta có: A G .A O hay A,G,C1 thẳng hàng.
 1 3 1
 4 + Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán.
 3
Tacó: CN .(CD DM ) (1 ).CP .(c x.a) (1 ). .b (1)
 2
 3
 .x.a (1 ). .b .c .
 2
 3
Lại cóCN .(CC CD) (1  ).CB .(b c) (1  ). a (1  ).a .b .c (2)
 1 2
 .x 1 
 3 3 2 2 MD
Từ (1) và (2)suy ra: .(1 )   ; x .Vậy DM .DA 2.
 2 5 3 3 MA
 
 • Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ toạ độ,chuyển các dữ kiện bài toán sang ngôn ngữ toạ độ
 Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: C  O , B Ox , D Oy ,C1 Oz .
 3c 
 Khi đó: C(0;0;0), B(a;0;0), D(0;b;0),C1(0;0;c) ,D1(0;b;c), D 0;0; .
 2 
+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ.
 z
Mặt phẳng (BD1P) (chứa N) đi qua B(a;0;0) 
có vec tơ chỉ phương là P
 3c
 BP ( a;0; ) và BD ( a;b;c)
 1 D1
 2 C1
nên có phương trình: 3bcx+acy+2abz-3abc = 0 A1
 B1
(3) N
 x a.t
 y
 D C
Đường thẳng AD có phương trình: y b (4) M C
 1
 z 0 A B
 M
 do đó M có toạ độ là nghiệm của hệ (3) x
 2a 2a a 
và (4) nên M= ;b;0 ,từ đó có DM ;0;0 , MA ;0;0 DM 2MA .
 3 3 3 
+ Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp 
 MD
 DM 2MA 2.
 MA
 2.3.2 CÁC BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ SONG SONG.
Dạng toán 1: Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng, đường 
thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song.
 • Phương pháp tổng hợp:
 + Để chứng minh hai đường thẳng a và b song song với nhau,ta chứng minh 
chúng đồng phẳng rồi áp dụng các cách chứng minh trong hình học phẳng 
như: tính chất đường trung bình, định lý Talet đảo...hoặc chứng minh hai 
đường thẳng đó cùng song song với một đường thẳng thứ ba,...
 6 + Bước 1: Chọn hệ toạ độ,chuyển các dữ kiện z
bài toán sang ngôn ngữ toạ độ. P
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: C  O , 
 D
 B Ox , D Oy ,C1 Oz . Giả sử ba kích thước của 
 1
hình hộp là a,b,c, khiđó: A1
C(0;0;0),B(a;0;0),D(0;b;0),C (0;0;c), B
 1 N 1
A(a;b;0),A1 a;b;c . M là điểm chia đoạn AD theo 
 1 4a 3a 3b 3c x
tỉ số ,nên M=( ,b,0) ,N=( , , ) D C
 4 5 5 5 5 M
 A B
 M y
+ Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ.
 x y z
Mặt phẳng (BC1D) có phương trình là: 13 bcx+acy+abz+abc = 0
 a b c
 a 2b 3c
Đường thẳng MN có vec tơ chi phương MN ( , , ) .
 5 5 5
+ Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp
Vì n.MN 0 nên n  MN hay MN//(BC1D)
Dạng toán 2:Cho biết các quan hệ song song,từ đó suy ra các tính chất hình học khác.
Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 1B1C1D1. M là điểm trên đường chéo 
AC của mặt phẳng (ABCD), N là điểm trên đường chéo thẳng C 1D của mặt 
 MN
phẳng (CDD1C1) sao cho MN//BD1. Tính tỉ só .
 BD1
* Phương pháp tổng hợp: 
Đặt I = BM  D1 N , vì I BM  (ABCD) và I D1 N  (CDD1C1 ) nên I CD
 IN DN DI
Ta có: do CD // C1 D1 ,
 ND1 NC1 C1 D1
 IM CM CI A1
 do AB // CD mặt D1
 MB MA AB
 IN IM B1
 C
khác do MN // BD1 . nên 1
 ND1 MB
 DI CI
suy ra: do đó DI = CI hay 
 N
 C1 D1 AB
 A
I là trung điểm của CD. D
 I
 M
 B C
 IM 1 IM 1 MN
Vậy hay .
 MB 2 IB 3 BD1
* Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài toán gồm:
+ Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn các dữ kiện của bài toán sang ngôn ngữ 
vec tơ:
 8